光电子技术基础第二章 光学基础知识与光场传播规律 - 图文

第2章 光学基础知识与光场传播规律

本章旨在回顾信息光电子技术基础课程学习中所需的一些光学基本知识，系统概括总结有关光的基本属性与波动光学的有关内容。

2.1光学基础知识

2.1.1 光的基本属性

17世纪中期，有关光属性的两种学说——胡克和惠更斯的波动学说以及牛顿的粒子学说——都得到了发展，接下来的l00多年中，许多学者的进一步观测支持了波动学说，尤其是1864年麦克斯韦(Maxwell)建立了普遍电磁波方程，并通过方程式证明了横向电磁波的存在，还推导出了光波在真空中的传播速度为

c?1?0ε0?2.998?108m/s （2-1）

式中，?0为真空中的磁导率，?0为真空中的介电常量。这一学说给出了在极宽频率范围内产生电磁波的前景。20年后，赫兹第一次在实验上证实了光波就是电磁波，肯定了麦克斯韦的理论。表2-1给出了电磁波谱及其主要产生方式。

表2-1 电磁波谱及其主要产生方式

电磁波谱 长波 中波 无 线 波 短波 真空中的波长 3～30km 200m～3km 10～200m 1～10m 1mm～3m 0.1～lmm 0.76?m-0.6mm 频率／Hz 10～10545 主要产生方式 由振荡电路所产 生的电磁辐射 本质 10～l.5M 1.5M～30M 30M～300M 100M～300G 300M～3T 电 超短波 微波 亚毫米波 红外线 可见光 紫外线 x射线 500G～400T 由炽热物体、气体放电或其他0.40～0.76?m 400T～750T 光源激发分子或原子等微观0.03～0.40?m 750T～104T 客体所产生的电磁辐射 0.1nm～0.03?m 104T～3×106T 用高速电子流轰击原子中的 内层电子而产生的电磁辐射 外层电 子跃迁 内层电 子跃迁 原子核衰 变或裂变 ?射线 放射性原子变或用高能粒子63×10T～3×1.0pm--0.1nm 与原子核碰撞时所发出的电810T 磁射射

可见，光波与电波虽然同是电磁波，但其产生的本质原因不同，因而波长(频率)相差很大，且频率越高，粒子性与波动性相比越加明显；另外，电波的波导由金属导体构成，而光波的波导是由电介质构成的。

波动学说成功地将光归结为一种横电磁波，但是直到与真正电波电源一样相位一致的激光出现以前，光只是杂乱无章的、相位不整齐的噪声光，一般人根据经验很难相信光是一种横电磁波的说法。激光的出现，促进了人们对光本质的直观认识。但波动学说虽能解释光的干涉、衍射、偏振等现象，而用在能量交换场合，如光的吸收与发射、光电效应等，就完全失效了。

粒子学说将光看做一群能量零散的、运动着的粒子，爱因斯坦提出用光频率?与普朗克常量h的乘积所得的能量值h?作为最小单位，认为光是以h?的整数倍发射与吸收的，这种最小单位称为光子。粒子学说可以合理地解释光的吸收、光的发射与光电效应等现象。

综上所述，迄今为止，说到光的本质，粒子性与波动性各有其存在合理性，因而通常称光具有波粒二象性。

2.1.2 折射、反射、全反射

光波射在镜面上会发生反射，射在介质界面上会发生反射、折射或全反射。这些物理现象均遵从界面波前匹配、相位相等的原则。如图2-1所示，设界面法线方向为x方向，与入射面垂直的方向为y方向，若一波矢为k1的光以入射角?1从折射率为n1的介质中射入折射率为n2的介质，折射波波矢为k2，折射角为?2，反射波波矢为k1'。反射角为?1'，则在界面上所有点均满足

k1?r?k2?r?k1?r （2-2） 式中，r为方位矢量，定义为：r位矢量。

由式(2-2)可推导出反射定律与折射定律。

光波射在镜面或介质界面上时，会有光波发生折回原介质中的方向转折过程，称为光的反射，如图2-1(a)所示，满足反射定律：

1)反射光位于入射光与界面法线所决定的平面内； 2)反射角等于入射角，即

'?xex?yey?zez,ex、ey、ez分别为x、y、z方向单

?1??1' (2-3)

光波射在介质界面上时，一部分光波会被界面反射(遵从反射定律)，另一部分光波则通过界面后发生前进方向改变的折射现象，如图2-1(b)所示，折射光线满足如下定律：

1)折射光线位于界面法线与入射光线所决定的平面内； 2)折射角满足

n1sin?1?n2sin?2 (2-4) 当n1?n2时，逐渐增大?1角会发现，当?2增加到?c时，如图2-1(c)所示，?2?90o，其中?c满足

sin?c?n2 (2-5)

1当?1??c时，入射光的能量全部被界面反射回光密介质，这种现象称为全反射，如图2-1(d)所示。

n

(a)反射 (b)折射

(c)临界角 (d)全反射

图2-1反射、折射与全反射

2.1.3 光的独立传播原理

几列波在空间某点相遇后，仍保持各自的特性(频率、波长、振幅、偏振)不变，按照

各自原来的方向继续传播，相遇点的电场为各波在该点单独作用的电场的矢量和，这就是所谓的光的独立传播原理。

任一频率为?的空间平面波可表示为正弦函数形式

Ei?E0isin(?t?kz??i) （i=1,2,3,.） (2-6)

多波叠加的结果为

E?式中

2E0?(?Eii（i=1,2,3,.） (2-7a) ?E0sin(?t?kz??)

?iiE0icos?i)2?(20i?iE0isin?i)2

??E???Eij0i0iE0jcos(?j??i) (i??j) (2-7b)

??tan?1?E?Eiisin?i (2-7c)

0icos?i如果光来自各自完全独立的光源，则(?j??i)将随机变化，但cos(?j??i)平均

22值为0，于是合成场强为E0??E0i，这种光源称为非相干光源。

若来自各光源的光不仅叫相同，而且相位关系维持不变，则所涉及各光源称为相干光源。多个相干光源照射时，其光场叠加形成干涉花纹。

当全部相干光源间保持相位相同或为2?的整数倍时，有 I?(?Ei0i)2 (2-8)

当频率相同、传播方向相反的两个波

E1?E0sin(?t?kz) (2-9a) E2?E0sin(?t?kz) (2-9b)

叠加时(即入波与返波叠加)，则有

E?E1?E2?2E0coskzsin?t (2-10)

可见合成波为驻波。

2.1.4 偏振

1. 线偏振与部分偏振

如果空间传播的电磁波，其电场矢量在某一特殊的平面内振动，就称这种电磁波为平面偏振波或线偏振波。许多实际的光束都是由许多个别的光波合成的，而一般情况下这些个别光波的电场矢量取向都是任意的，于是合成光波方向不断变化，因而光束是非偏振的。由于一般光源包含各个方向上平均振幅相等的电场矢量，因而称为自然光。而部分偏振光可以看成是偏振光和非偏振光的混合，用偏振度来描述。

由自然光得到偏振光的过程称为起偏，所用器件为起偏器；如该器件用来检验某一光束是否为偏振光，则称之为检偏器。常见起偏方式有以下几种： (1)基于晶体双折射原理的起偏

这是最有效的一种起偏方式，将在晶体光学与光调制中学习。 (2)布儒斯特(Brewster)角起偏

这是利用光在界面上的反射与吸收过程获得偏振光的一种起偏方式。如图2-2所示，当自然光入射到折射率分别为n1、n2的两种介质界面上时，若将入射光分为平行和垂直入射面的两部分振动，则其反射光和折射光都变成了部分偏振光。介质表面对垂直和平行入射面的电场分量反射率均是入射角臼1的函数，如图2-2(c)所示。尤其是在某一特定角?1??B 时，平行分量的反射率为0，反射部分只剩下垂直分量，成为线偏光，这一角度?B称为布儒斯特角。根据斯涅耳(Snell)定理可知，此时，反射光与折射光互相垂直，于是可得 tan?B?n2 (2-11)

1称为布儒斯特定律。

n

(a)反射和折射偏振 (b)布儒斯特角时的偏振

(c)偏振光反射率与?1的关系 图2-2 反射与吸收起偏

(3)基于介质的二向色性的人造偏振片起偏

介质对一个偏振分量的吸收远大于其对另一个与之正交的偏振分量的吸收的现象称为介质的二向色性。人造偏振片就是基于介质的二向色性而制作的。这种偏振片的透射轴决定了透过偏振片的光波电场矢量的方向：电场矢量中与透射轴平行的光波几乎无损耗地透过，而电场矢量与透射轴垂直的光波则被偏振片所吸收或衰减。一块理想的线偏振片能够完全透过在透射轴方向上的线偏振光，同时完全阻挡掉与透射轴正交方向上的线偏振光。

让我们考察一束非偏振光入射到一块理想线偏振片时的情形。此时瞬时电场E0始终可以分解成两个相互垂直的分量E1和E2，其中E1是沿偏振片透射轴方向的线偏振光。如果入射光场E0与透射轴成一角度?，则透射场大小为

E1?E0cos? (2-12)

透射光强度为

2I?E0cos2??I0cos2? (2-13)

2式中，I0?E0表示入射光强。

对非偏振光而言，振动在所有的?角上都是相等的，因此，非偏振光透过一个理想线偏振片的透射因子为cos2?的平均值，也就是0.5。

2. 圆偏振光与椭圆偏振光

考虑两个振幅均为E0、偏振方向互相垂直、相位差为?／2的平面偏振光，并选择坐

标轴使两个波的电矢量分别位于x轴和y轴方向上，则两个光场可分别表示为

E1?E0cos(kz??t)ex (2-14a)

E2?E0sin(kz??t)ey (2-14b)

式中，ex、ey为x、y方向的单位矢量，则其合成电场为

E?E1?E2?E0[excos(kz??t)?eysin(kz??t)] (2-15) 说明合成矢量为大小不变、以角频率?旋转的圆偏振光。如果迎着光传播方向看，上式表示的电矢量在空间给定点上是顺时针方向旋转的；同时，在给定瞬间，场矢量符合右手定则，因而称为右旋圆偏振光。同样，如果E2的方向为-ey方向，则合成场电矢量逆时针方向旋转，形成左旋圆偏振光。

若E1、E2为

E1?exE01cos(kz??t) (2-16a) E2?eyE02sin(kz??t) (2-16b) 且E01??E02,则空间某处合成矢量为末端轨迹是椭圆的、以角频率?旋转的偏振波，称为椭圆偏振光，迎着光传播方向观察，上式相应的电矢量是顺时针方向旋转的，则称为右旋椭圆偏振光；相反，若E2沿-ey方向，则对应为左旋椭圆偏振光。如上的相位差为?／2的椭圆偏振光其长轴与短轴正好为x轴、y轴。

若E1、E2相位差为?，则合成矢量点仍是一个椭圆，但其轴相对坐标轴倾斜

220.5tan?1[(E01E02cos?)/(E01?E02)]。

2.1.5 干涉

两列波产生干涉的条件是：彼此频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定。于是如式(2-6)定义的两列波干涉所得光强为

22I?E01?E02?2E01E02cos(?2??1)

?I1?I2?2I1I2cos(?2??1) (2-17) 其中I1?E01,I2?E02,最后一项称为干涉项，它决定了I可以大于I1?I2,也可以小于

22I1?I2,具体值由相位差????2??1决定：

1）若E01?E02,则

2I?2E01[1??s(?2??1)]

2 ?4E01cos2(?2??12)?4I1?s2(?2??12) (2-18)

于是I在0到4I1间变化，即0?I?4I1。

222） 若E01??E02,则I在(E01?E02)和(E01?E02)间变化。

总之，两束光干涉相长的条件是 ???或

??m? (m?0,?1,?2,?) (2-19b)

式中，?为光程差。

两束光干涉相消的条件是

???(2m?1)? (m?0,?1,?2,?) (2-20a) 或

??2????2?m (m?0,?1,?2,?) (2-19a)

?2(2m?1) (m?0,?1,?2,?) (2-20b)

证明光相干性的基本方法有波前分割法和幅度分割法两大类，杨氏双缝干涉与迈克耳孙干涉仪分别为其代表。

演示光的干涉的最古典的实验首次由杨氏(Thomas Young)在1802年完成。原始实验用阳光作光源(不过任何一种像钨丝灯泡或弧光灯的亮光源也适用)，如图2-3所示，光通过针孔S来照亮由两条狭缝Sl和S2组成的光阑。如果在狭缝另一边放一白色屏，就能看到明暗相间的干涉带图样。实验的关键在于用单个狭缝S来照亮光阑，提供了来自两狭缝Sl和S2的光之间的互相干性。

杨氏实验的基本分析是找出到达距离狭缝为d1和d2的定点P处两列光波之间的相位差。假定光波是球面波，具有形如e根据产生相长干涉的条件得

k(d2?d1)?2m? (2-21a)

?(k?r??t)J的相位因子，则P点处的相位差为k(d2-d1)。

或

|d2?d1|?m? (2-21b) 即出现亮条纹时，光程差等于波长的整数倍。

采用如图2-3(b)的坐标系，图中h为两狭缝的间距，x为从光阑到接收屏的距离，距离y从屏中心轴量起。于是方程(2-21b)相当于

h2h22 [x?(y?)]2?[x?(y?)]2?m? (2-22)

22211用二项式展开得近似表达式

yh?m? (2-23) x当y和h均远小于x时，这种近似是正确的。出现亮条纹的位置为 y?0,?.?xh,?2?x,? (2-24) h

(a)实验结构

(b)在实验中分析干涉的几何图形

图2-3 杨氏双缝实验

人们最熟悉和最通用的干涉装置是1880年提出的迈克耳孙干涉仪，其基本设计如图2-4

所示。Ml、M2为两个镀银或镀铝的平面反射镜，其中M2固定在仪器基座上，Ml可沿导轨前后精密移动，Gl、G2为两块折射率与厚度均相同的平行平板，Gl分光面镀以半透半反膜，G2不镀膜，作为补偿板使用，G1、G2与M1、M2成45度角。从光源S发出的光束被Gl分成两部分，分别经由M1和M2重新反射回到G1处。它们都由S发出的一束光分解而来，因而为相干光，进入观察系统T后形成干涉图样。T处，光看似从平面Ml和M2发出，其中M2

'''''是M2经G1分光面所形成的虚像，在两个平面上对应的虚点光源S和S是互相干的。通过移动Ml来调节Ml、M2的相对位置，可以改变到达T的两条光线的光程差d，从而改变T处的干涉图样。由方程式(2-18)，辐照度正比于

1?cos(?2??1)?1?coskd?1?cos2?d? (2-25)

图2-4 迈克耳孙干涉仪

若两面镜子稍有夹角，使得Ml和M2不完全平行，则从T处观察，就可以看到亮条纹和暗条纹交替地越过视场，这些条纹好似来自于M1和M2的区域，称为定域条纹；如果M1和M2平行，则条纹看起来是圆环形的，并且好似来自无穷远处。

'''2.1.6 衍射

把不透明的物体放在光源和观察屏之间，就会发现投射在屏幕上的影子并不十分清晰。这种使光绕过障碍物，进入几何阴影区的现象称为光的衍射。

衍射的本质可用惠更斯．菲涅耳原理解释：波在介质中传播到的各点均可视为产生子波的新波源，同一波前上各点发出的子波传播到空间某一点时，各子波间也可以互相叠加而产生干涉现象，由于波前边缘各点发出的子波离开轴心，所以边缘部分的波发生某些弯曲，后续的波前越来越弯曲，因而发生了衍射现象。

将惠更斯原理用菲涅耳一基尔霍夫积分公式描述可对衍射现象做定量分析。衍射现象可分为夫琅和费衍射和菲涅耳衍射，前者是指光源和接收屏等效于在离狭缝无限远时的衍射；后者是指光源和接收屏两者都离狭缝有限距离时的衍射。

单缝夫琅和费衍射很有代表性。如图2-5所示，二透镜实现了“等效无穷远”的条件，其衍射强度分布如图2-5(b)所示，可见：约80％通过窄缝的光照射在中心最大值上，在最大值的两边，对称地出现极小值与次极大值。极小值发生处衍射角?满足

sin??m?D (m??1,?2,?) (2-26)

式中，D为狭缝宽度，m为整数，由此可见：波长越长，衍射角?越大，衍射性能越强。

(a)单缝或小孔产生夫琅和费衍射的装置 (b)光强随?角的分布

图2-5 夫琅和费单缝衍射

另一种更有意义的情况是小孔衍射，其衍射花样是中心为亮斑的明暗相间的圆环，且约84％的光能集中在称为爱里斑的中心光斑上。利用菲涅耳-基尔霍夫公式，可算出第一暗环衍射角?满足

??sin??1.22?D (2-27)

式中，D为小孔直径。爱里斑规定了光学仪器的分辨率极限，称为衍射极限。

双缝或多缝干涉花样的辐照度分布呈一包络，该包络就是单缝衍射的光强分布曲线。包络使某些干涉花样出现“缺级”。

2.2 麦克斯韦方程

我们知道，在连续介质中，电场强度矢量E(r,t)(单位：V／m)、磁感应强度矢量B(r,t)(单位：Wb／m)、电位移矢量D(r,t)(单位：C／m)、磁场强度矢量H(r,t)(单位：A／m)均为位置r和时间t的函数，它们满足麦克斯韦方程

2

2

?B (2-28a) ?t?D??H?J? (2-28b)

?t??E????D?? (2-28c) ??B?0 (2-28d)

以及介质的电磁性质方程(又称物质方程、介质方程)

D??0E?P??E (2-29a) B??0H??0M??H (2-29b)

J??E?Js (2-29c)

式中，?为介电常量，?为磁导率，?为电导率；???(r,t)为封闭曲面内的自由电荷密度标量(单位：C／m)，J?J(r,t)为电流密度矢量(单位：A／m)。由式(2-29c)可知，它可看做由传导电流密度?E和空间自由电荷电流密度JS组成；P(r,t)为介质的电极化强度矢量，M(r,t)为介质的磁极化强度矢量。以上各量之间及其与极化电荷密度?P及极化分子电流密度JM之间有关系

3

2

??J???? (2-30a) ?t??P???P (2-30b) ??M?JM (2-30c)

??p??JP???t (2-30d)

以上各式中，?0为真空中的介电常量，?0为真空中的磁导率，二者在SI单位制中的取值分别为

ε0?8.854?10?12F/m

?0?4??10?7H/m

式(2-28)是麦克斯韦方程的微分形式。它概括了静电场和似稳电流磁场的性质以及时变场情况下电场和磁场之间的联系。将式(2-28a)对所围面积进行面积分，并考虑斯托克斯定得

????E?ds??E?dl??s?B?ds (2-31a) ??s?t这即为微分方程式(2-28a)相应的积分形式。依此类推，得麦克斯韦方程积分形式

?E?dl??

??t??B?ds (2-31b)

s?H?dl?J?s?D?ds (2-31c) ??s?t??D?ds?q (2-31d) ??B?ds?0 (2-31e)

s以上各式中，式(2-31b)来源于法拉第电磁感应定律，指出变化的磁场会产生感应的电场，这是一个涡旋场，其电力线是闭合的，不同于闭合面内有电荷时的情况，且只要所限定的面积中磁通量发生变化，不管导体存在与否，必定伴随电场的变化；式(2-31c)来源于安培环路定律，但麦克斯韦将其加上了由电场变化感生的位移电流项

ddt??D?ds(其中

sJD??D位移电流密度)，说明在交变电磁场作用下，磁场既包括传导电流与空间自由电?t荷产生的部分，也包括位移电流产生的部分，变化的电场产生的位移电流与传导电流以及空间自由电荷电流在产生磁效应方面是等效的；式(2—31d)来源于电场的高斯定律，表示电场可以是有源场；式(2-31e)来源于磁通量连续定律，即通过一个闭合面的磁通量等于零，磁场是一个无源场，磁力线永远是闭合的。

2.3 电介质

本节讨论电介质的种类、不同电介质的D与E关系以及不同介质的折射率咒。 1．电介质的特性 由于极化强度

p???0E

介质折射率

n??r?式中，?r?(1??)为相对介电常量，因而

??1?? ?0D??E??0E?P??0E???0E

??0(1??)E??0?rE??0n2E (2-32)

由此可见，电介质中的折射率事实上是由?，即P与E的关系决定的。二者关系不同，介质呈现不同的特性，这些特性主要包括：

1) 线性特性：若P(r,t)线性正比于E(r,t)则称该电介质具有线性。叠加原则适用于具有线性特性的介质。

2) 非色散特性：某一时刻t的P(r,t)的值仅由该时刻的E(r,t)决定，而不受前些时刻

E(r,t)的取值影响，这种介质特性称为非色散性。

3) 均匀性：指P与E的关系与位置r无关，即?与位置无关的介质特性。

4) 各向同性：P与E的关系与矢量E(r,t)的取向无关的介质特性称为各向同性。这时，P与E是平行的。

5) 空间非色散性：某一位置r处的P(r,t)的值由该位置的E(r,t)决定，而不受其他位置E(r,t)的取值影响的介质，称为空间非色散性。

2．电介质的分类

根据所具有的以上不同特性组合，可将电介质分为以下几类： (1)简单电介质

线性、非色散、均匀、各向同性的电介质称为简单介质。这是最简单的介质情况，此时P与E在任一时间、空间都是各向同性且成正比的，?为标量，因而

D??0(1??)E??E (2-33)

式中，?为标量，从而n为常量。该类介质中无源情况下的波动方程形式为

n2?2E?E?2?0 (2-34)

c?t22(2)非均匀介质

非均匀但线性、非色散、各向同性的介质称为非均匀介质。这种介质中，?为r的函数，即???(r),于是D与E的关系

D??0(1??(r))E??(r)E (2-35)

从而，n=n(r)也是位置的函数。该类介质中的波动方程为

n(r)2?2E???E?E?2??()?0 (2-36) 2c??t2(3)各向异性介质

如果P与E的方向不一致，且各方向的极化率不同，则称这种介质为各向异性介质。这种介质中，极化率?为二阶张量

?11?12???21?22?31?32?????????13????23? ???33???ij的大小决定于坐标轴相对于晶格结构的选择，即坐标系选择。此时，介电常量?亦为相

应张量

????0????1??11???0?r??0(I??)??式中，I为单位张量

?21?31?12?13???1??22?23? (2-37) ???321??33???100??

I??010????001??因而，折射率n亦为张量

?????????1??11n??21?31?121??22?32?13????23??

?1??33???(4)非线性介质

如果P与E的关系为非线性、均匀、非色散、各向同性的，则这种介质称为非线性介质。这种介质中，任何位置P与E的关系可表达为P=f(E)。这类介质中的波动方程为

1?2E?2f(E)?E?22??0 (2-38) 2c?t?t2大多数光学介质为线性或近似线性的，当光强很高(如聚焦激光射到介质中)时，会出现非线性光学现象，有关问题将在“非线性光学”课程中学习。 (5)色散介质

如果P与E的关系为线性、均匀、各向同性的，但不是即时的，有时延，则这种介质为色散介质。色散介质中，P与E的关系有时可近似写为

d2Pdp?12??2??3P?E (2-39)

dtdt式中，?1、?2、?3为常量。

若t=0时刻一单位电脉冲作用于一个线性、色散介质，感生出一个时延极化量?(t),?(t) 经傅里叶变换将由时域变到频域

?(f)???(t)exp(?j2?ft)dt (2-40)

????于是

?(f)??0[1??(f)] (2-41a)

D??(f)E (2-41b)

因而折射率为

n(f)?1??(f) (2-42)

可见，色散介质中折射率是频率的函数。

(6)谐振介质

光波电场作用频率与介质原子本身振动的固有频率一致时，被激活的介质称为谐振介质。这类介质中的行为无法用波动理论解释，有关内容将在激光原理与技术一章中学习。

2.4 波动方程

对式(2-28a)取旋度，根据矢量运算法则，并考虑式(2-28b)得

??(??E)??(??E)??2E

????(??B)???0??(H?M)?t?t

?J?2D?E????02??0???0s??0(??M) (2-43 )

?t?t?t?t在电介质中，一般有M?0，从而???0,B??0H，于是上式可化为

?Js?2D?E?(??E)??E???0?????00?t 2?t?t2?2(?0E?P)?Js?E???0?????00?t (2-44)

?t?t2?J1?2E?2P?E??22??02??0???0s

?t?tc?t?t2.4.1 简单电介质中的时域波动方程

在简单电介质中，D??E,??D????E????E?E?????，且?、?为常量，所以???0，于是??E?2?1,?(??E)???，因而方程(2-44)变为 ???Js?En2?2E1?E??0??2?????0?t (2-45a)

?tc?t2?同样可得磁场方程

?Hn2?2H?H??0??2????Js (2-45b) 2c?t?t2 这两式均为均匀简单介质中电磁场有源矢量波动方程，为非齐次广义波动方程，属时域方程。其中，对时间的二次偏导项代表波动过程，一次偏导项为阻尼项，表示损耗。该方程是电磁场广义波动方程最普遍的形式，在一定条件下可化简。 1．不同情况波动方程的简化

下面分别讨论不同情况下波动方程的形式。

(1)不导电介质中的有源波动方程

不导电介质中??0，于是式(2-45)化为

?Jsn2?2E1?E?2????? (2-46a)

?tc?t2?2n2?2H?H?2????Js (2-46b)

c?t22该式中没有了阻尼项，为非齐次波动方程，表示场辐射来源于源激励。 (2)无源波动方程

无源时，??JS?0，式(2-45)化为

R2?2E?E?2?0 (2-47a)

c?t22n2?2H?H?2?0 (2-47b)

c?t22为齐次波动方程，没有阻尼，为等幅波。 (3)有源扩散方程

若系统为低频缓变电磁场，即?很大，但场随时间变化率很小，则式(2-45)化为

?2E??0??2H??0??J?E1?????s (2-48a)

?t?t??H????Js (2-48b) ?t变为了非齐次扩散方程(即有源扩散方程)。 (4)无源扩散方程

若系统为无源低频缓变电磁场，则式(2-48)进一步简化为齐次扩散方程

?E?0 (2-49a) ?t?H?2H??0??0 (2-49b)

?t?2E??0?满足扩散方程的电磁场不具有波动性。 (5)恒定场

不随时间变化的场为恒定场，此时，式(2-45)化为

?2E?1???， 也即 ??E?? (2-50a ) ??2H????Js， 也即 ??H?Js (2-50b)

可见，这种情况下不存在相互感应，电场与磁场不发生相互作用，可分别进行研究。 2．一维电磁波的场解

从电介质中无源波动方程可以看到，最简单的沿z一维传播情况下，式(2-47)可化为最简单的一维齐次标量波动方程

?2Exn2?2Ex?2?0 (2-51a) ?z2c?t2?2Hyn2?2Hy?2?0 (2-51b) ?z2c?t2其解为

zzEx(z,t)?Af(t?)?Bf(t?) (2-52a)

vvHy(z,t)??zz[Af(t?)?Bf(t?)] (2-52b) ?vvEx??/?，常量A、B分别表示朝+Z与-Z方向传播的波Hy式中，定义平面波的波阻抗??的幅值。可见，该介质中电场(磁场)为分别沿+Z与-Z方向以速度

vp?1?? (2-53)

传播的一维均匀平面波。一般取沿Z正向传播的形式，这是一个行波，表示源点的振动经过一定的时间推迟才传播到场点，电磁场是逐点传播的。

情况不同，场解的形式不同。若电场与磁场均为横向分布，则形成横电磁波——TEM波；若电场为横向分布，磁场没有横向分量，则为横电波——TE波；若磁场为横向分布，电场没有横向分量，则为横磁波——TM波。

2.4.2 简单电介质中时谐场复数形式波动方程——频域波动方程

在时谐条件下，均匀简单介质中有源矢量波动方程(2-45)化为

1?2E?j??0?E??2??E????j??Js (2-54a)

ε?2H?j??0?H??2??H????Js (2-54b)

以下为不同条件下时谐场的波动方程形式。

1) 在高频低电导有源时，?????，上两式化为

?2E??2??E?1????j??Js (2-55a)

?2H??2??H????Js (2-55b)

2) 在高频低电导无源时，化为亥姆霍兹(Helmholtz)方程

?2E??2??E?0 (2-56a) ?2H??2??H?0 (2-56b)

3) 在导电介质中的无源波动方程为

?2E?j??0?E??2??E?0 (2-57a) ?2H?j??0?H??2??H?0 (2-57b)

4) 在缓变有源电磁场中，?????，化为有源扩散方程

?2E?j??0?E?1????j??Js (2-58a)

?2H?j??0?H????Js (2-58b)

5)在缓变无源电磁场中，化为无源扩散方程

?2E?j??0?E?0 (2-59a)

?2H?j??0?H?0 (2-59b)

令

k2??2???j??0? (2-60)

则将以上各式与常用的格式统一为

?2E?k2E?0 (2-61a)

?2H?k2H?0 (2-61b)

在低频高电导介质中，有近似关系

k2??j??0? (2-62)

电磁波在微波波导中的传播属此类。

在电介质或高频低电导介质中，有近似关系

k2??2?? (2-63)

我们平时所见的光场在无损介质中的传播情况就是这种情况，在电磁场的复数表达式中正好对应波场振荡部分。以后的学习中我们大多遇到的是这种情况。

光场在无损介质中的传播时，应注意以下几个重要的关系式

k0???0?0??c?2??2? (2-64a) ?c?0 k?k0n??????v?2?? (2-64b)

式中，k0为真空中的波矢，k为介质中的波矢，?为光的频率，?0为真空中的波长,?为介质中的波长，C为真空中的光速，?为介质中的光速。

2.5 光波的表示与传播特性

2.5.1 光波的电磁表示

在光电子学中，常用光波的电场分量来表示光波电磁场。这主要有两方面原因。一方面是因为根据麦克斯韦方程，电磁场的磁场分量与电场分量之间有确定关系，因而电场分量求出后，可直接根据关系推写出磁场分量，另一方面是因为光强(即单位面积上的光功率)常用光波电场E振幅的平方来表示。以后学习中我们一般是以光波电场为主要研究对象，且考虑光波电场为时谐单色波(具有单一频率，在时间和空间上无限连续的波)，用复数表示为

E(r,t)?E(r)eJ?t?E(r)ej2?ft也可表达为三角函数形式

(2-65a)

e(r,t)?e(r)cos?t?e(r)cos(2?ft) (2-65b)

式中

e(r,t)?1[E(r,t)?E*(r,t)] 2表示某一时刻波在空间是一个以波长?为周期的周期分布；对于空间固定点，波在该点是以时间T为周期的一个周期振动。

位置分量还可分为振幅部分与位相部分

E(r)?E0(r)ej?(r) (2-66a)

用三角函数表示为

e(r)?e0(r)cos?(r) (2-66b)

?(r)为常量的等相面为波前。

该光波电场相应的光强为

I(r)?|E(r)|2 (2-67)

2.5.2 各种类型的传播光波

根据E(r)的不同形式，可将光波电场分为平面波、球面波、抛物面波等。 1．平面波

平面波是E(r)具有以下形式的波

E(r)?Ae?jk?r (2-68)

这是一种在与传播方向正交的平面上各点电场或磁场具有相同值的波，其光强

I(r)?|E(r)|2?|A|2

为一常量，波前为一垂直于波矢k的平面。 设波沿直角坐标系的z方向传播，则波动方程为

?2E??2??E??2E?k2E?0

2．球面波

将一个点光源放在各向同性均匀介质中，从点光源发出的光波以相同的速度沿径向传播，某一时刻电磁波所达到的各点将构成一个以点光源为中心的球面，这种光波就是球面波，其E(r)具有形式

E(r)?A?jk?re (2-69) r其波前为一组垂直于波矢k，相间为?的同心圆，其光强

|A|2 I(r)?|E(r)|? (2-70)

r22与r成反比。

当上述球面波的考察面离开波源很远，并且只注意考察平面上一个小范围时，r的变化对球面波的振幅影响可以忽略，这时球面波在考察范围内可视为平面波。

2

3．柱面波

柱面波是一种无限长线光源发出的光波，其波面为圆柱形，E(r)具有形式

E(r)?其径向光强为

A?jk?r (2-71) er|A|2I(r)?|E(r)|?r (2-72)

2轴向光强为常量。

4．抛物面波

在光学系统中，我们经常考虑旁轴条件，此时，认为原点在r=0的球面波沿z传播到了近轴且远离原点的考察点，即x2?y2??z2，于是

r?(x?y?z)

x2?y22) ?z(1?z2x2?y2) ?z(1?2z2x2?y2 ?z? (2-73)

2z将之代入球面波表达式(2-69)，并考虑近轴、远离原点条件，即r?z得

122212AAE(r)?e?jk?r?erz?jk(z?x2?y2)2zA?jkz?jkx2?y2 (2-74) ?eez2x 由于光在电介质中的传播对应于无源波动方程式(2-47)，将式(2-74)代入,可得抛物面波满足Helmholtz方程

?2E??2??E??2E?k2E?0 (2-75)

2.5.3 边界条件及光在简单电介质界面上的反射和折射

当电磁场由一种介质传播到另一种介质时，由于介质的折射率不同，电磁场在界面上不再连续，此时需要根据电磁场方程找出界面两边电磁场量之间的边界连续条件

D2n?Dln?? (2-76a) B2n?Bln?0 (2-76b) E2t?E1t?0 (2-76c)

H2t?H1t?? (2-76d)

式中，?为自由电荷面密度，?为自由电荷线密度。

边界连续条件可以用以讨论两介质界面反射波和折射波的存在以及反射、折射时的传播方向。我们以简单电介质为例进行讨论。

图2-6介质界面上光的折射与反射

如图2-6所示，一波矢为kl的光以入射角?1从折射率为n1的介质中射入折射率为，n2的介质，折射波波矢为k2，折射角为?2，反射波波矢为k1'，反射角为?1'。将各光波电场E分解成垂直于入射面分量E?上与平行于入射面分量E//。以垂直分量为例进行研究，则可得入射波、反射波与折射波表达式分别为

E1??E1y(r,t)

?E1yexp[j(?1t?k1?r)]

?E1yexp[j(?1t?k1x?s?1?k1zsin?1)] (2-77a)

E1??E1y(r,t)

''?E1yexp[j(?1t?k1?r)]

''?E1yexp[j(?1't?k1xcos?1?k1zsin?1)] (2-77b)

????

E2??E2y(r,t)

?E2yexp[j(?2t?k2?r)]

?E2yexp[j(?2t?k2xcos?2?k2zsin?2)] (2-77c)

据式(2-76c)可得

E1??E1'??E2? (2-78)

将式(2-77)代人式(2-78)可得

E1yexp[j(?1t?k1?r)]?E1yexp[j(?1t?k1'?r)]

??E2yexp[j(?2t?k2?r)] (2-79)

该式对于任何时刻及界面z=0上任何位置(x,y)均成立，因而有

?1??1'??2 (2-80a)

k1?r?k2?r?k1?r (2-80b)

同时有

?E1y?E1y?E2y (2-81a)

由此可得反射波与折射波传播方向遵从的折反射定律。

反射定律：反射光位于入射光与界面法线所决定的平面内且?1??1。

折射定律：折射光位于界面法线与入射光线所决定的平面内且n1sin?1?n2sin?2。

根据式(2-81a)，同时考虑界面磁场连续条件得

'?H1//cos?1?H1//cos?1?H2//cos?2 (2-81b)

再根据麦克斯韦方程给出的电场与磁场关系，可得界面反射系数(反射波与入射波振幅之比)、折射系数(折射波与入射波振幅之比)表达式，即著名的菲涅耳公式

?Encos?1?n2cos?2 (2-82a) r??1??1E1?n1cos?1?n2cos?2t??E2?2n1cos?2 (2-82b) ?ncos??ncos?E1?1122?由反射系数与折射系数表达式可以推导出反射率?(反射波与入射波功率之比)与折射率

?(折射波与入射波功率之比)的表达式。

???|r?|2?(n1cos?1?n2cos?22) (2-82c)

n1cos?1?n2cos?2???且

n2cos?2ncos?22n1cos?2|t?|2?2()2 (2-82d)

n1cos?1n1cos?1n1cos?1?n2cos?2??????1 (2-83a)

同样对于平行于入射面的波场分量，可以求得

Encos?1?n1cos?2r//?1//?2 (2-83b)

ncos??ncos?E1//2112?t//?E2//2n1cos?1 (2-83c) ?ncos??ncos?E1//2112n2cos?1?n1cos?22) (2-83d)

n2cos?1?n1cos?22n1cos?1)2 (2-83e)

n2cos?1?n1cos?2?//?|r//|2?(?//?|t//|2?(o对于垂直入射（?1?0)这种特殊情况，菲涅耳公式简化为

n1?n2r??n (2-84a)

1?n21 t??n?n (2-84b)

122nn?nr//?n2?n1 (2-84c)

212n1t//?n?n (2-84d)

12对于自然光入射

??????//2n1?n22?|r//|2?(n)

1?n22.5.4 光学薄膜的反射与透射性质

通过多次重复使用界面菲涅耳公式与多光束干涉原理，还可以推导出多层光学薄膜的反射和透射性质。以下研究光从空气n0中射入镀于玻璃基底nG上的多层光学薄膜膜系时的反射与透射情况。

1．单层膜

计算表明，膜系折射率结构为n0?n?nG(n0、n、nG分别为空气折射率、薄膜折射率、玻璃折射率)的单层光学薄膜(图2-7)在不计薄膜的吸收时，薄膜的反射系数和透射系数分别为

r?r1?r2exp(j?) (2-85a)

1?r1r2exp(j?)t1t2 (2-85b)

1?r1r2exp(j?)t?r1?r2exp(j?)2r12?r22?2r1r2cos? (2-85c) ??|r|?||?221?r1r2exp(j?)1?r1r2?2r1r2cos?22nGcos?GnGcos?Gt12t22??|t|? (2-85d)

n0cos?0n0cos?01?r12r22?2r1r2cos?且可证明

????1

式中

??4?nh (2-86)

?0cos?''为薄膜上表面相继两反射光束的相位差,r1、t1、r1、t1、r2、t2所表示的反射系数和折射系数如图2-7所示。

正入射时，?正?4??0nh,r1?n0?nn?R,r2?n?nG，此时反射率为

Gn0?n2?nh?正2?nhn0nG2（n0?nG）cos2?(?n)2sin2?0n?2?nhn0nG2（n0?nG）cos2?(?n)2sin2?0n?0 (2-87) 2?nh?0

图2-7单层光学薄膜的反射与透射

要实现单层增透效果最好，需要使n0?n界面多束反射光发生相消干涉，由此得

??4?nh?m? (m为奇数)

?0cos?此时，薄膜的增透效果最好，正入射情况下相应的薄膜厚度最薄为

h?4n?0 (2-88)

这也是将增透膜称为1／4波片(?0／4膜系)的原因。此波长与厚度处正入射反射率为

?正,?0?n0nG??n???n?n0nG???n?n??2 (2-89)

可见，n?nG起增透作用，n?nG起增反作用。换言之，低折射率增透，高折射率增反。 令 ?正,?0?0，可得，当

n?n0nG (2-90)

时，膜系起到全增透作用 2．双层增透膜

膜系折射率结构为n0?n1?n2?nG的双层?0／4膜系正入射时，膜层的反射率为

?正,?0?n12?n0?2nG??n2??? (2-91) 2?n1n0?2nG??n2?????????????2令?=0，可得其全增透条件

n2?nGn0n1 (2-92)

但这类增透膜只适用于窄波段工作，称为“V”型增透膜。为了改善工作波段，常采用h1?4n1?0和h2?2n2?0的双层膜，这种增透双层膜称为“W”型增透膜，在整个可见光区

域内增透效果都较好。

3. 多层高反膜

常用的多层高反膜是一种由nh均为?0/4的p?1层高折射率膜层(折射率表示为nh)和P层折射率为nL的低折射率膜层交替重叠形成的膜系，如图2-8所示，

图2-8 ?0/4多层高反射膜系

该膜系常用符号表示为

GHLHLH... LHA=G(HL)pHA (p=1，2，3，?) (2-93)

式中，G和A分别表示玻璃和空气，H、L分别表示高、低折射率层，总膜层数为2p+1。 可以推出，该膜系正入射时的反射率为

?正,?02?nH2pnH?n0?(nL)nG??2nnHH2p?n0?()nLnG????? (2-94) ???2可见，nH与nL相差越大、膜层数2p+1越多，增反效果越好。

2．6 高斯光束

平面光束是最简单的光束，但实际中很难存在，实际中应用更多的是旁轴波。所谓旁轴波是指一种在轴上波前的垂线与行进方向交角很小、基本处于平行情况的波，它满足Helmholtz方程，且光束功率基本上也集中于轴附近。高斯光束就是满足这一条件的最常见的光束。不少激光器产生的光束为高斯光束，光纤中传播的光也一般呈高斯分布。

2．6．1 高斯光束表达式

高斯光束是一种旁轴波，为此我们可认为它是平面波振幅缓变的结果。 设一平面波为

E?Aexp(?jkz)

则相应的振幅缓变波(图2-9(a))可表示为

E(r)?A(r)exp(?jkz) (2-95)

所谓振幅沿轴向缓变，是指A(r)在z方向波长尺度A内变化极缓。因而该波在保持平面波大部分特性的前提下，波前发生弯曲，形成旁轴波(图2-9(b))。

图2-9轴向缓变波

将一个波长内的振幅变化用△A来表示，于是

?A??A?A2?????A (2-96) ?z?zk?A?A?2A2??Ak；若设振幅的变化因而是缓变的，同样有2??Ak。就此，Helmholtz?z?z?z方程(2-75)变为

?2A?2A?A2??j2k?kA?0 (2-97) 22?z?x?y这是一个旁轴Helmholtz方程，即波包缓变的Helmholtz方程，它存在一个简单解

A1?2A(r)?zexp(?jk) (?2?x2?y2) (2-98)

2z它是一个中心点在z?0处的抛物面波，相当于一个球面波的旁轴近似。若该波中心点在

z?z?处，则其解仍为一抛物面波，只是上式中的z以z?z'代替

A?1?2 A(r)?exp(?jk) (2-99)

z?z'2(z?z')'某些特殊情况下，z'为纯虚数z??jz0,z0为实数，则式(2-99)为高斯光束复数解

A1?2A(r)?exp(?jk) (2-100a)

q(z)2q(z)式中

q(z)?z?jz0 (2-lOOb)

另外，由于

11? (2-101a) ??j2q(z)R(z)??(z)式中

zR(z)?z(1?(z0)2) (2-101b)

z?(z)??0(1?()2)2 (2-lOlc)

z01?z01?0?(?)2 (2-lOld)

R(z)为光束波前的曲率半径，?(z)为z处光束的宽度，称束半径。将之代人式(2-95)，

并令

?(z)?tan?1(则得高斯光束的波函数

Az)， A0?jz1

0z0?0?2?2E(?,z)?A0exp(?2)exp[?jkz?jk?j?(z)] (2-102a)

?(z)2R(z)?(z)式中

??02z0?? (2-102b)

称为瑞利距离，是轴上光强降为最大值一半时的位置，它与A0由边界条件确定。

2.6.2 高斯光束的特性

高斯光束的表达式得出后，我们就可以讨论其光束特性。 1．光强与功率

根据光强的定义式(2-67)，可知高斯光束的光强表示为

?022?2I(?,z)?A[]exp(?2) (2-103)

?(z)?(z)20可见，在任何点z处光强都是径向距离?的高斯函数(故称这种光束为高斯光束)。高斯光束在轴上(?=0)强度最大，随着?的增加而单调按指数规律下降，至???(z)处强度下降为轴上的1/e，故称叫?(z)为z处的束半径，它随z的增大而增大。

轴上光强

2?02A0I(0,z)?A[]? (2-104)

?(z)1?(z/z0)22022可见，在z?0处，轴上光强最大，为I(0,0)?A0?I0；随着z的增大，轴上光强减小，

当z增大到瑞利距离z??z0时，轴上光强降为峰值的一半；当|z|??z0时，

2I(0,z)?A0(z0/z)2，如同球面波或抛物面波。

光功率为穿过某一面积的光强大小。由于高斯光束没有明显的边界，因而可将光强对整个垂直于z轴的横截面积分

P??I(?,z)2??d??0?12I0(??0) (2-105) 2可以看到，光功率等于最高光强乘束腰面积值的一半。 图2-10为高斯光束光强分布示意图。

(a)随?的变化 (b)轴上随z的变化

图2-10高斯光束光强分布

2．束腰半径与发散角

计算以?(z)为半径的面积内通过的光功率p(?)与总功率p之比，得

?(z)p(?)11?I(?,z)2??d??1??0.86 (2-106) 2?01Pe2I0(??0)2可见，约86％的功率均分布在以?(z)为半径的面积内，因而将?(z)称为束半径，其表达式见式(2-101c)。束半径随z的变化如图2-11所示。

图2-11 高斯光束的束腰、发散角

由此可见束半径在z?0处最小，为?0，形象地称为束腰半径，其值如式(2-101d)；随着z的增加，?(z)逐渐增大，到|z|?z0时，?(z)? 2?0；此后，?(z)随z单调递增；

|z|??z0后，可得

?(z)?其中

z?0??0z z0?? (2-107) ?0?z0?0??0称为高斯束发散角。从式(2-107)可见，束腰越细，束发散越快。 3．高斯光束的瑞利距离与焦深

由光强分布表达式可知，z?0处轴上光强达峰值。我们将轴上光强降为峰值的一半时相应的z值称为瑞利距离，其表达式可根据式(2-lOld)推得

??02z0?? (2-108)

根据束传播理论，光强最大处，能量分布密度最大，束半径最小，聚焦性能也最好，偏离它会发生散焦；当散焦使束半径达到?(z)?所示，它为瑞利距离的二倍

2?0时，相应的距离称为焦深?，如图2-12

??2z0?22??0? (2-109)

可见，焦深与波长成反比、与束腰面积成正比，这意味着，除非波长很小，否则很难同时获得长焦深与小束腰；一定波长的光，束腰越小，则焦深越小，散焦情况越严重。

图2-12高斯光束的焦深

4．相位、波前与曲率半径

根据高斯光束表达式(2-102)，可得其相位为

?(?,z)?kz?k?22R(z)??(z) (2?110)

式中，第一项表示均匀平面波的相位；第三项表示相对于平面波在轴上的相位超 前，如图2—13所示；第二项表示离开轴线形成的相位偏离，是造成波前弯曲的原 因。根据等相位面条件

?(?,z)?2?m (m=0，±l，±2，?) (2-111)

可得

z??22R(z)?m????(z) (2-112) 2?这是一个曲率半径为R(z)的抛物面，如图2-14所示，其中R(z)就是z处波前的曲率半径。

图2-13高斯光束相对于平面波在轴上的相位延迟

由R(z)的表达式(2-lOlb)可得：

1)z?0处，R(z)??,d对应于平面波前； 2)|z|?z0处，R(z)?2z0，波前曲率半径最小；

3)|z|?z0后，R(z)逐渐增大，且随着其不断增大逐渐与z成线性关系，波前逐渐类似于球面波。

图2-14高斯光束的曲率半径与波前

习 题

1．填空题：

(1)光的基本属性是___________________，光粒子性的典型现象有__________________、 __________以及______________等。光波动性的典型体现有________________________、 ____________、_____________等。

(2)两束光相干的条件是 _______________、_________________、_______________，最

典型的干涉装置有_____________、_____________。两束光相长干涉的条件是______。 (3)两列同频平面简谐波振幅分别为E01、E02，位相差为△?，则其干涉光强为________, 两列波干涉相长的条件为__________。

(4)波长?的光经过孔径D的小孔在焦距，处的衍射爱里斑半径为_______________。 2．在玻璃(?r?2.25,?r?1)上涂一种透明的介质膜以消除红外线(??0.75?m)的反射。 (1)求该介质膜应有的介电常量及厚度。

(2)如紫外线(??0.42?m)垂直照射至涂有该介质膜的玻璃上，反射功率占入射功率百分之多少?

3．有两个具有共轭复幅值的单色波，具有相同的频率，其幅值分别为U(r)受U*(r)。比较它们的强度、波前和波前法线。以平面波U(r)?Aexp(?jk(x?y)/2)与球面波

U(r)?(A/r)exp(?jkr)为例。

4．光束垂直投射在无限大不透明屏的环状小孔(半径为a和b，a??b)上，发生夫琅和费衍射，求光强度dI的角分布。

5．一束波长为0.5?m的光波以45。角从空气入射到电极化率为2?j0.6的介质面上，求 (1)此光波在介质中的方向(折射角)。 (2)光波在介质中的衰减系数。

6．输出波长为??632.8nm的He—Ne激光器中的反射镜是在玻璃上交替涂覆ZnS和ThF2形成的，这两种材料的折射率系数分别为1．5和2．5。问至少涂覆多少个双层才能使镜面反射系数大于99．5％?

7．有m个相距为d的平行反射平面。一束光以倾角?投射至反射面。设每一反射平面仅反射一小部分光，大部分光透射过去；又设各层的反射波幅值相等。证明当sin???/2d

0时，合成的反射波强度达到最大值，这一角度日称为布拉格(Bragg)角。 8．从麦克斯韦通式(2-28)出发，推导波动方程(2-44)。

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