2019年全国各地中考数学试题分类汇编（第二期） 专题22 等腰三角形（含解析）

等腰三角形

一.选择题

1. 1（2019?广西北部湾经济区?3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规

作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ） A. 400 B. C. D. 【答案】C 【解析】

解：由作法得CG⊥AB， ∵AB=AC，

∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG=∠ACB=50°．

故选：C．

利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质． . 2. 3.

二.填空题 1. 2. 3. 4. 5.

三.解答题

1. （2019?浙江杭州?8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答． 【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，

∴PA＝PB， ∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ， ∴∠BAQ＝∠BQA，

∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ， ∴∠BQA＝2∠B，

∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．

2.（2019?河南?10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，（2）类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出（3）解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时值．

的

的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． 的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．

【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．

②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，PA＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BEO＝∠CAO＝60°， ∴

＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，

故答案为1，60°．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB， ∵

＝

＝

，

∴△DAB∽△PAC， ∴∠PCA＝∠DBA，∵∠EOC＝∠AOB， ∴∠CEO＝∠OABB＝45°，

∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．

（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

＝

＝

，

∵CE＝EA，CF＝FB， ∴EF∥AB，

∴∠EFC＝∠ABC＝45°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PAO＝∠OFH， ∵∠POA＝∠FOH， ∴∠H＝∠APO，

∵∠APC＝90°，EA＝EC， ∴PE＝EA＝EC，

∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH， ∴∠H＝∠BAH， ∴BH＝BA，

∵∠ADP＝∠BDC＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AH，

∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°， ∵∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴A，D，C，B四点共圆，

∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°， ∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，

∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝∴

＝

＝2﹣

．

a，

如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝

a，

∴PC＝a﹣∴

＝

a， ＝2+

．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

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