抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)

1. 设Q是有理数集，规定f(x)= x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（ B ）

A. x2?2x?1

B. x2?3 C. x2?4x?5

D. x2?x?3

2. 设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的 （ A ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

3. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个

5. 剩余类环Z10的子环有( B )。

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G是有限群，a?G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a8的阶为( B ) A． 2 B. 3 C. 6 D. 9

7．设G是有限群，对任意a,b?G，以下结论正确的是( A ) A. (ab)?1?b?1a?1 B. b的阶不一定整除G的阶

C. G的单位元不唯一 D. G中消去律不成立

8. 设G是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G的商群不是循环群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群

9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A?A的子集为等价关系的是( C )

A. R1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

10. 设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的 （ B ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

11. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环Z8中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

13. 设（R，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。

A. R的零元惟一 B. 若x?a?0，则x??a

C. 对a?R，a的负元不惟一 D. 若a?b?a?c，则b?c 14. 设G是群，a?G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a32的阶为( B )

C )。B )。

A． 2 B. 3 C. 6 D. 9

15．设G是有限群，对任意a,b?G，以下结论正确的是( A )

A. |a||G| B. |b| = ∞ C. G的单位元不唯一 D. 方程ax?b在G中无解

16. 设G是交换群，则以下结论正确的是( B ) ．．

A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群 D. G的任何子群都是循环群

217. 设A={1，-1, i，-i}，B = {1, -1}, ?: A→B, a?a, ?a∈A，则?是从A到B的( A )。

A. 满射而非单射

? B. 单射而非满射 C. 一一映射

a D. 既非单射也非满射

18.设A=R（实数域）， B=R（正实数集）， ?:a→10， a∈A，则? 是从A到B的( C )。

A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射

19.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x

20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )

A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 C. 构成一个群 D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z8的子群有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 23. 下列含有零因子的环是 （ B ）

A. 高斯整数环Z[i] B.数域P上的n阶全矩阵环 C. 偶数环 2Z D. 剩余类环Z5 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）

A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R的理想一定是子环 25．设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（ A ） A． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个

26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A到集合B的满射的个数为 ( D )。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A的分类的是 ( C )

A. P1 = { {a, b},{a, c}} B. P2 = {{a},{b, c},{b,a}} C. P3 = {{a},{b,c}} D. P4 = {{a,b},{b,c},{c}}

????a0??a,b?Z28. 设R = ???，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。 ?0b??????A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环

C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环

29. 设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3的子群的个数是( D )。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。

A. 0 B. 1 C. i D. ?i

31.. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是 ( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群

32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。

A. 1 B. 2 C. 6 D. 7

33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A到集合B的映射有( D )。

A. 1 B. 6 C. 18 D. 27

34. 设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ D ）

A.0和?x； B.1和0； C.k和x?2k； D.?k和?(x?2k)} 35. 设a,b,c和x都是群G中的元素，且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ A ） A.bca； B.ca； C.abc； D.bca。 36. 下列正确的命题是（ A ）

A.欧氏环一定是唯一分解环； B.主理想环必是欧氏环； C.唯一分解环必是主理想环； D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果|H|?6，那么G的阶G?（ B ） A.6； B.24； C.10； D.12。 38. 设G是有限群，则以下结论正确的是（ A ） ．． A. G的子群的阶整除G的阶 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群

39．设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f的同态核是G1的正规子群； B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群； C.G1的子群的象是G2的子群； D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。 40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）

A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. 半群一定有一个右单位元 C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元

?1?1?1?1?1?1?1二、填空题(每空3分)

1. 设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 （ n ）个.

2. n次对称群Sn的阶是（ n！ ）. 3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.

m)　4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（ p?1　　　个.

5.除环的理想共有（ 2 ）个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是（ ［4］ ）.

2

7.在 i+3, ?, e-3中，（ i?3 ）是有理数域Q上的代数元.

8. 2在有理数域Q上的极小多项式是（ x?2 ）.

）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.） 9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则A?B=（{(a,110. 设R是交换环，则主理想(a)=（ Ra?{ra?ma| r?R,m?Z}.）

?111．设??(5431), 则??(1345).

12 . 设F是9阶有限域，则F的特征是（ 3 ）. 13．设?1?(351),?2?(2154)是两个循环置换，则?2?1?（（1342）） 14 . 设F是125阶有限整环，则F的特征是 （ 5 ）.

15. 设集合A含有3个元素，则A?A的元素共有（ 9 ）个.

216. 设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群，其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是（ 2 ）.

17.设a、b是群G的两个元，则 (ab)?1 =（ ba）. 18. 环Z10的可逆元是（ [1],[3],[7],[9]）.

19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 20．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则fn?1?1?1?f?a???(a)。

21.设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为（m整除n）。 22．设??(31425)是一个5-循环置换，那么??1?((52413)).。 23．有限群G的阶是素数p，则G是（ 循环 ）群。

24．若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 （{有限和?xayiii。 |xi,yi?R}）

25．群(Z12,?)的子群有（ 6 ）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（ 群G的变换群 ）同构。

27．设A、B分别是m、n个元组成的集合，则|A?B|=（ mn ）。 28．设A={a,b,c}，则可定义A的（ 5 ）个不同的等价关系。A的分类

M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R?({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}）。 29. 设G是6阶循环群，则G的生成元有（ 2 ）个。 30. 非零复数乘群C*中由-i生成的子群是（ {i,?i,1,?1} ）。 31. 剩余类环Z7的零因子个数等于（ 0 ）。 32. 素数阶有限群G的子群个数等于（ 2 ）。

33. 剩余类环Z6的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是（ [3] ）。 34．群?:G~~G，e是G的单位元，则?(e)是（G的单位元 ）。 35. 复数域的特征是（ 0 ）.

36. 在剩余类环(Z12,?,?)中， [6]?[7]=（ [6] ）. 37. 在3-次对称群S3中 ， 元素(123)的阶为：（ 3 ）.

38. 设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环， 则环同态f:Z?Zm,n?[n]的同态核为（ mZ?{mr|r?Z} ） 39.

32在有理数域上的极小多项式为（ x3?2 ）

40. 无限循环群一定和（ 整数加群(Z,?) ）同构.

三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“?”，每小题3分)

1. 设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（ ? ）

2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（ √ ）

3. 设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: G→G是一个映射，且f(x) =7, x?G. 则f是G到G的同态映射。（ ? ）

4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（ ? ）

5. 设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（ √ ） 6. 设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群 Zn。 （ √ ）

x?的单位元。?是群同态，则?将G的单位元不一定映射为G7. 设?:G?G（ ? ）

8. 设R是环，A，B是R的任意两个理想，则A?B也是环R的理想。（ √ ） 9. 域的特征可以为任何自然数. （ ? ）

10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. （√ ） 11. 4次交错群A4在4次对称群S4中的指数为4. （ ? ） 12. 复数域是实数域的单代数扩张。 （ √ ） 13. 除环一定是域. （ ? ） 14.3-次对称群S3的中心是(1). （ √ ） 15. 整数环的商域是有理数域. （ √ ） 16. 无限循环群和整数加群同构. （ √ ） 17. 多项式 x?3在有理数域上可约。 （ ? ） 18. 在特征为p的域F中始终有(a?b)?a?b,?a,b?F. （ √ ）

ppp219. 高斯整数环Z[i]是唯一分解环. （ √ ） 20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 （ ? ） 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 （ √ ）

22. 设?:G1?G2是群G1到群G2的同态， 则同态核Ker(?)是G1的正规子群. （ √ ） 23.素数阶群不一定是循环群。 （ ? ） 24.设(Z,?,?)为整数环，p为素数， 则(pZ,?,?)是(Z,?,?)的极大理想。 （ √ ） 四、证明题

1. 设Q为有理数域，设T?{a?b2|a,b?Q}， 则T按数的乘法和加法构成一个域.（6分）

证明： T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且

?0?a?b2?T,(a?b2)?1?T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法

和加法构成一个域.。

2. 设E是F的扩域，且（E：F）=1，则E=F. （6分）

证明：用反证法：若E?F， 则存在x?E,x?F， 这样(E:F)?2， 矛盾！ 3. 证明：交换群的商群是交换群.（8分）

证明：设G为交换群， 且H?G，则 G任意aH,bH?GHG关于正规子群H的商群，且对

H,有,

(aH)(bH)?(ab)H?(ba)H?(bH)(aH)

故GH是交换群.

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