函数---一元二次方程(含答案)

二次函数与一元二次方程的综合

函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；

3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 跟踪训练： 一、选择题：

1、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于25

49，则m 的值

为（ ）

A 、－2

B 、12

C 、24

D 、－2或24

2、已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ）

A 、2-<x

B 、8>x

C 、82<<-x

D 、2-<x 或8>x

第2题图

第4题图

3、如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2c S ABE =?其中正确的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

4、设函数1)1(22

++-+-=m x m x y 的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（ ） A 、3

1或2 B 、

3

1 C 、1 D 、2

二、填空题：

1、已知抛物线23)1(2

----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且172

2

=+β

α

，则

k ＝ 。

2、抛物线m x m x y 2)12(2

---=与x 轴的两交点坐标分别是A （1x ，0），B （2x ，0），且12

1=x x ，则

m 的值为 。

二次函数与一元二次方程的综合

3、若抛物线12

12

-++-=m mx x y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900

，则m

＝ 。

4、已知二次函数1)12(2--+=x k kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x )(21x x <，则对于下列结论：①当2-=x 时，1=y ；②当2x x >时，0>y ；③方程1)12(2--+x k kx ＝0有两个不相等的实数根1x 、

2x ；④11-<x ，12->x ；⑤k

k x x 2

1241+=

-，其中所有正确的结论是 （只

填写顺号）。

三、解答题：

1、已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为1=x ，它的图像与x 轴交于两点A （1x ，0），B （2x ，0），且21x x <，102

22

1=+x x 。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线42)4(2++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴交于点C ，且21x x <，0221=+x x ，若点A 关于y 轴的对称点是点D 。

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；

（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式； 3、已知抛物线m mx x y 22

3212

--

=

交x 轴于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，交y 轴于点C ，且

210x x <<，112)(2+=+CO BO AO 。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

4、已抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y （m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。

二次函数与一元二次方程的综合

5、已知抛物线)6(2)8(222+++-=m x m x y 。

（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上； （2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。

（3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是否经过抛物线的顶点P ？

6、如图，抛物线4

)(2

2

c

x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是

△ABC 的∠A 、

∠B 、∠C 的对边。

（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；

（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y

于点M ，抛物

的面积之比为

线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；

（3）当3=?ABC S 时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q 否存在过P 、Q

不存在，请说

两点且与y 轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD 二、填空题：

1、2；

2、2

1；3、3；4、①③④

三、解答题：

1、（1）322

++-=x x y ；（2）存在，P （131+，－9）或（131-，－9）

2、（1）862

+-=x x y ；（2）103-=x y 3、（1）22

3212

--

=x x y ；（2）当30<<P x 时∠APB 为锐角，当01<<-P x 或43<<P x 时∠

APB 为钝角。

4、分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。

略解：（1）由已知有???>=?≠-0

12

m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）

又∵1

-=

?=

m m a

AB

二次函数与一元二次方程的综合

∴211

2

12

1=?-?

=

??=?m m OC AB S ABC

∴34=m 或5

4=

m

∴13

23

12

--

=

x x y 或15

6512

--

-

=x x y

5、解析：（1）0)4(22>+=?m ，由08221>+=+m x x ，0)6(2221>+=m x x 可得证。 （2）)6(8)8(4)(2

22212

2121+-+=

-+=-=m m x x x x x x BC

＝42+m )6(22

+=m OA 又∵48=?ABC S ∴

48)6(2)4(212

2

=+?+?m

m

解得22=m 或122-=m （舍去） ∴2±=m

（3）16102+-=x x y ，顶点（5，－9），6=BC ∵69>-

∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

6、解析：（1）))(()(2

2

c b a c b a c b a -+++=-+=? ∵0>++c b a ，0>-+c b a ∴0>? （2）由

a b a =+2

得b a =

由??

???-=+

+-=bc

ax y c x b a x y 4)(2

2

得：0432=++-ac c ax x ac c

x x +=

4

2

21

设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：

a x x 321=+

由MNE S ?∶MNF S ?＝5∶1得：215x x =

二次函数与一元二次方程的综合

∴215x x =或215x x -=

由021>?x x 知215x x -=应舍去。

由???==+2

12153x x a x x 解得22a x = ∴ac c a +=??? ??4252

2，即04522=--c ac a ∴ c a =或05=+c a （舍去）

∴ c b a ==

∴△ABC 是等边三角形。

（3）3=?ABC S ，即3432=a

∴2=a 或2-=a （舍去）

∴2===c b a ，此时抛物线142+-=x x y 的对称轴是2=x ，与x 轴的两交点坐标为P （32-，0），Q （32+，0）

设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：OQ OP t ?=2

∴1±=t

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/red4.html