高考复习试卷习题资料之高考数学试卷理科008

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高考复习试卷习题资料之高考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)复数的模长为()

A.B. C.D.2

2.(5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=()

A.(0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.(1,2]

3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为()A. B. C. D.

4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:

p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列;

p3:数列是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列;

其中真命题是()

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()

A.45 B.50 C.55 D.60

6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,

c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()

A.B.C.D.

7.(5分)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4 B.5 C.6 D.7

8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=()

A.B.C.D.

9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有()

A.b=a3 B.

C.D.

10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()

A.B.C.D.

11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=()

A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16

12.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)

()

A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.

14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6=.

15.(5分)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=.16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12分)设向量,,.

(1)若,求x的值;

(2)设函数,求f(x)的最大值.

18.(12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

19.(12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.

20.(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.

(Ⅰ)求P的值;

(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

21.(12分)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;

(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.(10分)选修4﹣1:几何证明选讲

如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:

(I)∠FEB=∠CEB;

(II)EF2=AD?BC.

23.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.

(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;

(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.

24.已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;

(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.

高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)复数的模长为()

A.B. C.D.2

【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.

【解答】解:复数,

所以===.

故选:B.

【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.

2.(5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=()

A.(0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.(1,2]

【分析】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集.

【解答】解:由A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,

解得:1<x<4,即A=(1,4),

∵B=(﹣∞,2],

∴A∩B=(1,2].

故选:D.

【点评】此题考查了交集及其运算,以及其他不等式的解法,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为()A. B. C. D.

【分析】由条件求得=(3,﹣4),||=5,再根据与向量同方向的单位向量为求得结果.

【解答】解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,

则与向量同方向的单位向量为=,

故选:A.

【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题.

4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:

p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列;

p3:数列是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列;

其中真命题是()

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

【分析】对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.

【解答】解:∵对于公差d>0的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题p1:数列{an}是递增数列成立,是真命题.

对于数列{nan},第n+1项与第n项的差等于(n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,

故p2不正确,是假命题.

对于数列,第n+1项与第n项的差等于﹣==,不一定是正实数,

故p3不正确,是假命题.

对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0,

故命题p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题.

故选:D.

【点评】本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题.

5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()

A.45 B.50 C.55 D.60

【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.

【解答】解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,

在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,

每组数据的组距为20,

则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,

又∵低于60分的人数是15人,

则该班的学生人数是=50.

故选:B.

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键.

6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()

A.B.C.D.

【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据sinB不为0,两边除以sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值,即可确定出B的度数.

【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,

∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,

∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,

则∠B=.

故选:A.

【点评】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

7.(5分)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4 B.5 C.6 D.7

【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r??,令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n.

【解答】解:设(n∈N+)的展开式的通项为Tr+1,

则:Tr+1=3n﹣r??xn﹣r?=3n﹣r??,

令n﹣r=0得:n=r,又n∈N+,

∴当r=2时,n最小,即nmin=5.

故选:B.

【点评】本题考查二项式系数的性质,求得n﹣r=0是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=()

A.B.C.D.

【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,在输入n的值为10后,对i 的值域n的值大小加以判断,满足i≤n,

执行,i=i+2,不满足则跳出循环,输出S.

【解答】解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,

判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;

判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;

判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;

判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;

判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;

判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.

故选:A.

【点评】本题考查了循环结构中的当型循环,即先判断后执行,满足条件,执行循环,不满足条件跳出循环,算法结束,是基础题.

9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有()

A.b=a3 B.

C.D.

【分析】利用已知可得=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.

【解答】解:∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.

①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;

②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;

③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.

综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.

故选:C.

【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键.

10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()

A.B.C.D.

【分析】通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.

【解答】解:因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,

所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,

因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,

所以球的半径为:.

故选:C.

【点评】本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力.

11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=()

A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16

【分析】先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出H1(x),H2(x).进而得出A,B即可.

【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.

①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);

②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);

③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).

综上可知:

(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,

H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,

(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g (x)}=f(x);

(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g (x)}=g(x),

故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,

∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.

故选:B.

【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键.

12.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()

A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【分析】令F(x)=x2f(x),利用导数的运算法则,确定f′(x)=,再构造新

函数,确定函数的单调性,即可求得结论.

【解答】解:∵函数f(x)满足,

令F(x)=x2f(x),则F′(x)=,

F(2)=4?f(2)=.

由,得f′(x)=,

令φ(x)=ex﹣2F(x),则φ′(x)=ex﹣2F′(x)=.

∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,

∴φ(x)的最小值为φ(2)=e2﹣2F(2)=0.

∴φ(x)≥0.

又x>0,∴f′(x)≥0.

∴f(x)在(0,+∞)单调递增.

∴f(x)既无极大值也无极小值.

故选:D.

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是16π﹣16.

【分析】首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.

【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,

圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,

四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.

故其体积为:22π×4﹣22×4=16π﹣16,

故答案为:16π﹣16.

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱,然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可.

14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6=63.

【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前n项和公式求前6项和.

【解答】解:解方程x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4.

因为数列{an}是递增数列,且a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,

所以a1=1,a3=4.

设等比数列{an}的公比为q,则,所以q=2.

则.

故答案为63.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n项和,是基础的计算题.

15.(5分)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=.

【分析】设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得

∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.

【解答】解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'

∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6

∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,

∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,

可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8

由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7

∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2

∴∠AFB=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5

因此,椭圆C的离心率e==

故答案为:

【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.

16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为10.

【分析】本题可运用平均数公式求出平均数,再运用方差的公式列出方差表达式,再讨论样本数据中的最大值的情况,即可解决问题.

【解答】解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5,

平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7;

方差s2=[(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2]÷5=4.

从而有x1+x2+x3+x4+x5=35,①

(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2=20.②

若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则②式变为:

(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;

若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为10.

故答案为:10.

【点评】本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;

②计算偏差,即每个数据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12分)设向量,,.

(1)若,求x的值;

(2)设函数,求f(x)的最大值.

【分析】(1)由条件求得,的值,再根据以及x的范围,可的sinx的值,从而求得x的值.

(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣)+.结合x的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.

【解答】解:(1)由题意可得=+sin2x=4sin2x,=cos2x+sin2x=1,

由,可得 4sin2x=1,即sin2x=.

∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.

(2)∵函数=(sinx,sinx)?(cosx,sinx)

=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.

x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],

∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

18.(12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

【分析】(Ⅰ)要证平面PAC⊥平面PBC,只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可,利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC;

(Ⅱ)因为平面PAB和平面ABC垂直,只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线,然后过垂足再作PB的垂线,连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

【解答】(Ⅰ)证明:如图,

由AB是圆的直径,得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.

又PA∩AC=A,PA?平面APC,AC?平面PAC,

所以BC⊥平面PAC.

因为BC?平面PBC,

所以平面PAC⊥平面PBC;

(Ⅱ)解:过C作CM⊥AB于M,

因为PA⊥平面ABC,CM?平面ABC,所以PA⊥CM,

故CM⊥平面PAB.

过M作MN⊥PB于N,连接NC.

由三垂线定理得CN⊥PB.

所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角.

在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得,,.

在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得.

因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以.

故MN=.

又在Rt△CNM中,.故cos.

所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为.

【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角及其求法,“寻找垂面,构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法,此题是中档题.

19.(12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.

【分析】(I)从10道试题中取出3个的所有可能结果数有,张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解

(II)先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值

【解答】解:(I)设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”

则=张同学至少取到的全为甲类题

∴P(A)=1﹣P()=1﹣=

(II)X的所有可能取值为0,1,2,3

P (X=0)==

P(X=1)==

P(X=2)=+=

P(X=3)==

X的分布列为

X 0 1 2 3

P

EX=

【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.

20.(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.

(Ⅰ)求P的值;

(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.

(Ⅱ)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程

【解答】解:(Ⅰ)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为﹣,

所以设A点坐标为(x,y),得,解得x=﹣1,y==,点A的坐标为(﹣1,),

故切线MA的方程为y=﹣(x+1)+

因为点M(1﹣,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是

y0=﹣(2﹣)+=﹣①

∴y0=﹣=﹣②

解得p=2

(Ⅱ)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=③,y==④

切线MA,MB的方程为y=(x﹣x1)+,⑤;y=(x﹣x2)+⑥,

由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0=,y0=

因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣⑦

由③④⑦得x2=y,x≠0

当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y

因此中点N的轨迹方程为x2=y

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题

21.(12分)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;

(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

【分析】(I)①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x?(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex,令h (x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex,利用导数得到h(x)的单调性即可证明;

②当x∈[0,1)时,?ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,利用导数得出h(x)的单调性即可证明.

(II)利用(I)的结论得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥=.再令H(x)=,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.

【解答】(I)证明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x?(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex,则h′(x)=x(ex﹣e﹣x).

当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,

∴h(x)在[0,1)上是增函数,

∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.

②当x∈[0,1)时,?ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,则u′(x)=ex﹣1.

当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,

∴u(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/re4e.html

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