空间向量与平行关系练习题

课时作业(十八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4 12

【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则λ＝4，∴λ＝2. 【答案】 B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是

( )

A．相交 C．在平面内

B．平行

D．平行或在平面内

→→→→→→

【解析】 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】 D

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．(1，－1,1) 3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2? ?3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－【解析】 对于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0， 则n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，则点P?1，3，2?在平面α内．

?

?

【答案】 B

4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )

A．l⊥α

C．l与α相交但不垂直

B．l∥α

D．l∥α或l?α

【解析】 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.

【答案】 D 二、填空题

5．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．

【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0.所以x＝－10.

【答案】 －10

1??6．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，2，2?，

??且l∥α，则m＝________.

【解析】 ∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直， 1??1

?1，，2?＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8. ∴(2，m,1)·22

?

?

【答案】 －8

7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.

→→

【解析】 AB＝(－2,2，－2)，AC＝(－1,6，－8)， →

AP＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、C、P四点共面， →→→

∴AP＝λAB＋μAC＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．

???2λ＋6μ＝－2，?λ＝－4，∴?∴? ??－2λ－8μ＝0，μ＝1，??

而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11. 【答案】 11 三、解答题

8. 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图→→→→→→→→→3-2-7所示)，并且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，→→→EG＝EH＋mEF.

图3-2-7

求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； →→(2)AC∥EG； →→(3)OG＝kOC.

→→→→→→

【解】 (1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．

→→→→→→→(2)∵EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE) →→→→→→＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB →→→＝k(AD＋mAB)＝kAC， →→∴AC∥EG.

→→→→→

(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO →→→＝k(AC－AO)＝kOC. →→∴OG＝kOC.

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中→

点，求证：AE是平面A1D1F的法向量．

【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标→1?1???

系，则A(1,0,0)，E?1，1，2?，D1(0,0,1)，F?0，2，0?，A1(1,0,1)，AE＝

????1??

?0，1，?，

2??

→?→1?

D1F＝?0，2，－1?，A1D1＝(－1,0,0)．

?

?

→→?1??1?

???∵AE·D1F＝0，1，2·0，2，－1?

?

??

?

11

＝2－2＝0，

→→又AE·A1D1＝0， →→→→∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1. 又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F，

→

∴AE是平面A1D1F的法向量．

[能力提升层次]

1．(2014·莱芜高二检测)已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )

A．(4,2，－2) C．(2，－1，－5)

B．(2,0,4) D．(4，－2,2)

【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量须平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，解得应选D.

【答案】 D

2．(2014·成都高二检测)已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可．．能是( ) ．

A．(1，－4,2) 1??1?C.－4，1，－2? ??

1??1

?B.4，－1，2? ??D．(0，－1,1)

→

【解析】 因为PM＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面a＝0，?n·

α的法向量，则必须满足?→

?n·PM＝0，不满足，故选D.

把选项代入验证，只有选项D

【答案】 D

19?5???

3．(2014·连云港高二检测)若A?0，2，8?，B?1，－1，8?，

????5??

C?－2，1，8?是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，??则x∶y∶z＝________.

→?7?→?7?

【解析】 因为AB＝?1，－3，－4?，AC＝?－2，－1，－4?，

?

?

?

?

→→

又因为a·AB＝0，a·AC＝0， 7?x－3y－?4z＝0，所以?7

?－2x－y－?4z＝0，2??x＝3y，解得?4

??z＝－3y.

?4?2

所以x∶y∶z＝3y∶y∶?－3y?＝2∶3∶(－4)．

??

【答案】 2∶3∶(－4)

4. 如图3-2-8，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA1

＝BC＝2AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

图3-2-8

【解】 分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则

PE→

＝(0，y，z－1)， PD→

＝(0,2，－1)，

∵PE→∥PD→

，∴y(－1)－2(z－1)＝0，

①

∵AD→

＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， CE→

＝(－1，y－1，z)，

∴由CE∥平面PAB, 可得CE→⊥AD→

， ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0， ∴y＝1，代入①式得z＝1

2.∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/re3a.html