复杂二次分式函数极值的快速解法

复杂二次分式函数极值的快速解法

在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.

Ax2?Bx?C(A,B不同时为0). 二次分式函数具有形式y?f(x)?Dx2?Ex?F我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.

1. 定义域和有界性

当方程Dx2?Ex?F?0有解,设x1,x2(x1?x2)是Dx2?Ex?F=0两个根 .则函数定义

域{x?R|x?x1?x?x2} .当Ax1?Bx1?C?0,lim??或Ax2?Bx2?C?0,lim??.

x?x1x?x222此时函数无界.当Ax12?Bx1?C=0且Ax22?Bx2?C=0,函数有界且为常值函数(很少遇到

x2?12的情况,比如y?2 ).所以通常当E?4DF?0 ,二次分式函数是无界的.

x?1x?x1,x?x2 是函数的渐近线.

2当E?4DF?0,函数定义域为R .函数有界.

2. 单调性,极值,值域 当

E2?4DF?0,

Dx2?Ex?F?0,可以将函数化为

x的方程y?Dx2?Ex?F?=Ax2?Bx?C. .即x2?Dy?A??x?Ey?B??Fy?C?0.对

于值域中的每一个y,方程都有实数解,当Dy?A?0,??0,当Dy?A=0,验证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入x2?Dy?A??x?Ey?B??Fy?C?0函数解出x ,计算可能

有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.

limf(x)?x??AA2 ,根据极值与的大小即可判断单调区间.E?4DF?0这种情况最多有三DD个单调区间.

2当E?4DF?0,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y?R .出现这种情况,求解

Dx2?Ex?F?0和Ax2?Bx?C?0 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分

??1?x???1?x?1?3x?1且x??2 1?2x?x2?式值域.比如y????2?x?x2??1?x??2?x?2?x2?x取x?1,y?0,所以函数值域?y|y?0且y?1?.

分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例

子.

23x2?3x?2y??x2?x?5{x|x? .首先定义域

{x|?x2?x?5?0} 解得

116x?131?21)?x?(1?21} .分离分子中的二次项得y??3?2 . 22?x?x?5t?13令t?6x?13,x? .代入得

6????y??3?1?x2?x?56x?131??3?112?13?t??13?t????636 t1??3??67?32t?t236t1??3?67t8??36t3695?当t?0y??3?11?31?267??3??67t821678??2?36t369362967tt?1367?13?,t?67取等号,x??36t3666当t?0当y??3?167?t8??36??t?369??3?131?267??216782?3629

当67t67?13?,t??67取等号,x??36t36631?267?31?267)?(,+?) 2121函数值域(-?,-3x2?3x?2??3, 根据limx???x2?x?5?3?-31?267?31?267 ?2121?67?131?2167?131?21 ???6262可判断出单调区间

增区间(-?,1111?13?67),(?13?67,1?21),(1?21,+?) 6622

1111减区间(?13?67,1?21),(1?21,?13?67)6226????????????????共有5个单调区间

2顺便再算一下函数零点3x?3x?2=0解得x1=11?3?33,x2=?3?33 66????有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像

通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量

非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.

二次分式函数极值公式

很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.

Ax2?Bx?Cf(x)? 2Dx?Ex?F(2Ax?B)(Dx2?Ex?F)?(Ax2?Bx?C)(2Dx?E)f(x)?(Dx2?Ex?F)2'??AE?BD?x2?2?AF?CD?x?CE?BF

(Dx2?Ex?F)2我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子

N??AE?BD?x2?2?AF?CD?x?CE?BF .函数取极值时f'(x)?0,即N?0 .

我们只需解方程?AE?BD?x?2?AF?CD?x?CE?BF?0即可得到函数取极值时的x

2值.为了防止错误,最好验证的得到的x值是否在定义域内.

Ax2?Bx?C将方程系数与比较.发现N可以写成三阶行列式. 2Dx?Ex?F1N?AD?2xBEx2C .这样就很容易记住了. F1?2x31x2?2?17?26x?6x2?0 53x2?3x?2对于上面的例子y?,N?3?x2?x?5?1解得x1=11?13?67,x2=?13?67.这种方法比分离变量快多了. 66????要求单调区间,由于N的符号和f(x)相同,大致画出y?N 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.

如果要求极值,把x代入函数

211?2??13?67??13?671212 f(?13?67)?21165??13?67??13?67636'??????????计算量很大,对于x很复杂的情况建议用判别式求值域.

想到取极值时的x值可用方程N?0表示,我们也找到一个关于y的方程.

?Ax2?Bx?Cy??联立? ,消去x整理得 Dx2?Ex?F??AE?BD?x2?2?AF?CD?x?CE?BF?0??E2?4DF?y2??4?AF?CD??2BE?y?B2?4AC?0

二次项系数E2?4DF和常数项B2?4AC正好为分母和分子的判别式 .

Ax2?Bx?C我们只需特别记住一次项系数4?AF?CD??2BE.比较发现这一项也挺好

Dx2?Ex?F记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍 对于上面的例子,将系数代入该方程得33?6y?21y2=2 解0得

11?31?267,y2??31?267 . 2121A根据已求出的单调区间, 比较 和极值的大小即可区分极大值和极小值.

Dy1?????我们重新回顾判别式求值域的方法. x2?Dy?A??x?Ey?B??Fy?C?0

?Ey?B?2?4?Dy?A??Fy?C?=0 的解即为极值.

222重新整理方程可得B?4AC??4CD?2BE?4AF?y?E?4DFy=0 和刚才的到

??的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.

在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用N=0和渐近线求出单调区间进而求出值域.

下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.

x2y2(2013浙江)如图,点P(0,?1) 是椭圆C1:2?2=1(a?b?0) 的一个顶点,C1的长轴是

ab圆C2:x2?y2=4 的直径.l1,l2 是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆

C2与A,B两点,l2交椭圆与C1与另一点D.

(1) 求椭圆C1的方程; (2) 求

ABC面积取最大值的直线l1的方程;

x2?y2?1 第一问C2:4设l1:y?kx?1(k?R) ,l2:y??1x?1 k23?4k2O到AB距离d? ,AB?24?d?2 . 221?kk?11?1?l2代入C1得x?4?x?1??4?0 设P(x1,y1),D(x2,y2)

?k?22(l2:x?ky?k?0套用圆锥曲线硬解定理)

?8k4?k2x1?x2?0(形式而已)x1?x2?|DP|?1?1(x1?x2)2?4x1?x22k

2(1?k2)?4(4?k2?k2)=(套用圆锥曲线硬解定理)4?k281?k2=4?k21181?k23?4k2S?|DP||AB|??22224?k1?k283?4k2?4?k2接下来是关键了,用我们的公式来算.

83?4k23?4k2S??844?k2k?8k2?16令t=k2(t?0),S=81?2tN?0148t2 4t?3t2?8t?163??4t2?6t?40?0 16510 t?0,t?,k??22l1:y??10x?1 2现在算最大面积.

y?4t?3222E?4DFy?4AF?CD?2BEy?B?4AC?0 代公式??????2t?8t?160?(12?64)y?16?0y?413163

Smax?8y?

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