生物统计学习题

《生物统计学》

习 题 集

《生物统计学》

习题一

第一章 随机事件及其概率；随机变量及其分布

1.实验是射手对着靶子射击三次，事件表示下列事情：

——至少一次射中； ——三次都没有射中；

——三次都射中；

是第次射击中靶（=1,2,3），用

，

，

——至少一次没有射中； ——射中不少于两次； ——射中不多于一次； ——第一次射击后才中靶.

2.实验是掷三枚硬币.设硬币编上了号并且事件币掷出国徽.用，，表示下列事件：

——掷出一个国会与两个金额； ——掷出不多于一个国徽；

——掷出的国徽个数小于掷出的金额个数； ——掷出至少两个国徽；

——第一枚硬币掷出国徽，而其余是金额；

——第一枚硬币掷出金额并且其余的至少有一枚掷出国徽. 3.设A，B，C是任意时间，下列事件表示什么： ，

，

，

，

，

，

.

4.根据下列事件所包含的事件的情况：

发生或不发生，列举它们所有发生与不发生

，

，

分别表示第一，二，三枚硬

a）； b） c）； d） e）.

5.列举下列等式（事件的运算性质）左边与右边事件所有发生与不发生情况，来证明这些等式：

1)，； 2)，；

3)4)5)

，

.

，

，

，

，

； ；

；

6),,,

6.应用运算性质（参看第5题）证明下列等式： a)c)

； b)

d)

e)； .

；

.

d)

7.证明下列事件的必然性： a)

b)

8.化简下列表示式：

a)； b)9.证明下列等式：

a)； b)10.用数学归纳法证明： a)

；

b)

11.试确定下列哪些命题为真： a)

c)

12.证明下列命题： a)c)e)f)g)

.

；

e).

； ；

；

；

是修理第个Ⅰ类部件，

； b)

； d)； b)； d)

13.仪表由2个Ⅰ类部件与3个Ⅱ类部件组成。事件事件

是修理第个Ⅱ类部件。如果修理了至少一个Ⅰ类部件与不少于两个Ⅱ类

部件，这仪表就能使用。试用与来表示仪表能使用的事件。

14.船舶有1个操舵设备、4个锅炉与2个轮机。事件表示修理操舵设备，

表示修理第锅炉，

表示修理第个轮机。事件

表示船舶能驾，

，

驶，这只有当修理了操舵设备、至少一个锅炉以及至少一个轮机才可以。试用

表示与。

15.对4个同类对象组成的群进行观察，它们中的每一个在观察时间内可能被发现或者没被发现。考虑下列事件：

——恰好发现4个对象中的1个； ——发现至少1个对象；

——发现不少于2个对象； ——恰好发现2个对象； ——恰好发现3个对象； ——发现全部4个对象. 指出下列事件是什么： 1)

； 2)

； 3)

；

4)； 5)； 6).

16.技术检查部门从一批1000件产品中发现5件废品。试求生产废品的频率。 17.为了查明种子的质量，取出1000粒种子并在实验室条件下播种，有980粒正常发芽。试求种子正常发芽的频率。

18.利用素数表求出素数在下面部分自然数列中出现的频率：1~100，101~200，201~300，?，901~1000。

19.把玩耍的骰子掷60次，求6点出现的频率。

20.在俄文报刊中的任一文章中，求出由6个字母组成的单词的频率。 21.在英语文章中，把单词之间的间隔看作是一个“字母”。试在英文报刊中的人一文章中求出间隔的频率。

22.在一张大纸上画上一些彼此相距6㎝的平行线，把这张纸铺在水平面上，并在纸上任意地扔一根4㎝的针200次。在给顶的试验序列中求出针与任一条直线相交的频率。

23.通过询问大学三年级全体学生，确定生日在一年每个月中的频率。

24.使用随机数表中前5列与前10列的随机数，来求数0，1，2，?9的频率分布。

25.两人轮流掷硬币，谁先掷出国会就获胜。把这游戏重复20次，求首先掷硬币那个人获胜的频率。

26.（在直线上的随机游动）在数轴的零点上有一质点（动点），它每秒钟以相等概率或者向左或者向右移动一个单位。如果观察它60秒，试问它有多少时间将位于正半轴上。

提示：为了回答上面提出的问题，要做下列试验：不断地掷硬币60次。如果掷出国徽，意味着点（质点）向右移动一个单位；如果掷出金额，意味着它向左移动一个单位。计算掷多少次硬币后点在正半轴上出现。假定每次掷硬币对应1秒钟，求出质点处在正半轴上的时间。

27.证明：a)

；b)

；c)对于任意的.

28.证明：对于任意的A，成立不等式：

29.对于事件A，B，如果

（在集合包含的意义下0，则事件A称为B的部分事

，

，?，

，

件。证明：如果，则.

37.证明：对于任意的A，B，C，下面的公式成立：

a)

；

.

b)

38.用数学归纳法证明和的概率的一般公式：

39.证明：如果

.

40.如果41．如果独立等价于条件

.

，则数

并且，则

成为在事件A发生的情况下事件B的条件，则

.

，则A与B都是独立的.

，则称A与B独立。证明：如果

与

，

与

，

与

概率。证明如果B与C是互斥事件并且

42．证明：有事件A与B独立可以推出43．证明下述命题：如果A与B互斥并且

.

44．设

，

，?，。证明公式：

.

45．设46．设

，，证明：

。证明：

.

，则：

两两互斥，，并且

.

47．证明：如果，则：

.

48．设，件发生的事件。

49．设

，

，?是无穷事件序列。证明：是给定序列中有无穷个事

，?是无穷事件序列并且。证明：如果，

则（从而）。这表明，序列，，?中只有有限个事件以概率发生（波雷尔——康特立引论）.

50．任意选择一个不超过20的自然数，试问它是5的倍数的概率为多少. 51．任意选择一个不超过20的自然数，试问它是20的因子的概率为多少.

52．任意选择一个两位数。求下列各事件的概率：a)这就是质数；b)这就是合数；c)这即使5的倍数；d)这数与100互质.

53．从一副完整的骨牌中任选一块牌，试问这块牌上点子的和等于5的概率是多少. 54．把从1到15的所有整数用三进位计数制分别写在同样的卡片上，丛冢任意抽出一张卡片。试求所抽到的、用上述写法的数包含：a)不少于两个1；b)至少一个2；c)一个0的概率.

55．箱中有a个白球和b个黑球，丛冢任取一球是白球的概率为多少.

56．箱中有a个白球和b个黑球，从中取出一个球放在一边，这球是白球。然后从箱中再取一个球，问它也是白球的概率为多少.

57．任取一个两位数，试问它的两个数字相同的概率为多少. 58．任意选择一个不超过100的自然数，试问这个数除以8得到的余数2的概率为多少. 59．任意选择一个两位数，试问这数有大于10的质因子的概率为多少.

60．任意选择一个两位数，试问这数是质数并且其两个数字之和等于5的概率为多少. 61．从集{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任选一数q，然后建立方程x2+4x+q=0。试问这方程的根是：a)实数；b)整有理数；c)实无理数的概率为多少.

62．给出长度为2，5，6，10的线段。试问任取3个线段能构成三角形的概率为多少. 63．任意选择一个不超过20的质数。问这数具有下列形式的概率： a) 4x+1；b)4x+3；c)6x+5.

64．从集{1，2，3，?，n}中任选一数，试求它能被一固定自然数k整除的概率，并求这概率当时的极限.

65．从集{1，2，3，?，n}中任选一数a，试求数a2-1能被10整除的概率Pn。并求Pn

当时的极限.

66．从集{1，2，3，?，n}中任选一数a，试求数2a+1能被10整除的概率Pn。并求Pn当时的极限. 67．把一粒玩耍的骰子掷两次并记下两位数，其中是第一次掷出的点数，是第二次掷出的点数。试求所得到的两位数在下列情况下的概率：

a) 两个数字不同；b)两个数字都是奇数；

b) a

68．把一粒玩耍的骰子掷三次，设x是三次掷出的点数之和。问x=12还是x=11的可能性大.

69．从30到39（包括30与39）的自然数中任取一数作为分数的分母。试求成为下列情况的概率：

a)有限十进位分数；b)纯循环分数；c)混循环分数. 70．在国际象棋棋盘的任意选择的两格中放上两个不同颜色的象。试问它们相互攻击的

概率为多少.

71．在国际象棋盘任意选择的两格中放上两个不同颜色的王后。试问它们的相互不能攻击的概率为多少.

72．把一点投在半径为R的圆内，求它落在给定的内接正方形内的概率. 73．在以点（0，0），（0，1），（1，1），（1，0）为顶点的正方形内任意投掷一点（x，y）,求这点的坐标满足不等式y<2x的概率.

74．公共汽车经过地点A到地点B的距离要用2分钟，而步行者要用15分钟。公共汽车行驶的间隔时间为25分钟。某人于随机瞬时到达地点A，并往地点B步行。求他在路上被一班公共汽车赶上的概率.

75．在长为12㎝的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形。试求这个正方形的面积介于36㎝2与81㎝2之间的概率.

76．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

77．在由边长为a的正三角形组成的镶木地板上任意抛掷一枚半径为r的硬币，求硬币没有碰到任一个三角形的边的概率.

78．从顶点为（0，0），（0，1），（1，1），（1，0）的正方形任选一点（c，q），求方程2

x+cx+q=0的根为下述各情况的概率：a)实数；b)虚数；c)正数；d)异号；e)同号.

79．把长度为a的棒任意折成三段，试求每段长度都大于的概率.

80．从区间[-1，1]上任取两数。求这两数之和大于0并且两数之积为负的概率.

81．在平面上给出了半径为R的圆周与距圆心d（d>R）的一点A，试求下列事件的概率：a)过点A任作一直线与圆周相交；b)由点A出发，任做一射线与圆周相交.

82．给出两个半径为r与R（r

83．给出两个半径为r与R（r

84．（相遇问题）两人约定于12点钟至13点钟在一确定的地点会面，并且每个到达会面处的人等待另一个人20分钟，然后离开。如果他们中的每个人于随机瞬间到达会面处，并与另一个人到达的时刻无关，试求他们相遇的概率.

85．（蒲丰问题）平面上画了些彼此相距2a的平行线，把一根长2（a）的针任意投在此平面上。试求针与任意一条平行线相交的概率.

86．面上画了些彼此相距2a的平行线，把一个直径小于2a的凸多边形任意投在此平面上。如果多边形的周长等于，试求它与任一条平行线相交的概率.

87．在半径为R的圆周上任意取三点A、B、C，试求三角形ABC是锐角三角形的概率。 88．两艘轮船应该驶进同一个码头。在给定的一昼夜时间内这两艘轮船驶进码头的时刻是等可能的。如果第一艘轮船要停泊1小时，第二艘轮船要停泊2小时，试求其中一艘轮船要等待码头腾出的概率。

89．在边长为1的正方形内任意取一点A，试求下列事件的概率： a) 点A到规定的边的距离不超过x；

b) 点A到正方形最近的边的距离不超过x； c) 点A到正方形中心的距离不超过x；

d) 点A到正方形规定的顶点的距离不超过x。

90．在边长为1到2的矩形内取点A，试求点A到正方形对角线的距离不超过x的概率。

91．在边长为1到2的矩形内取点A，试求下列事件的概率： a) 点A到矩形最近的边的距离不超过x； b) 点A到矩形任意一条边的距离不超过x； c) 点A到矩形对角线的距离不超过x；

92．在边长为a的正方形内取点A，试求点A到正方形最近的边的距离小于点A到最近的对角线的距离的概率。

93．在顶点为（0，0），（0，1），（1，1），（1，0）的正方形内任意取一点（x，y）。 a) 证明：对于任意a，b∈[0，1]，成立等式

P（x

1） P（|x－y|

95．在时间间隔[0，T]中一信号在随机瞬时u出现，他延续了时间△，收报机在随机瞬时V∈[0，T]打开，工作了时间t。求收报机发现信号的概率。

96．有5个没有贴邮票的信封与4张相同面值的邮票。为了邮寄信件，可以有多少中方法选择信封贴上邮票。

97．为了把下列5个语种的任一种：俄语、英语、法语、德语、意大利语，直接翻译成另一种语种，必须出版多少种词典。

98．一个大学生有5本书，另一个有9本，所有这些书都不同。如果a)一本换一本；b)两本换两本，那么他们能有多少方法来进行交换。

99．有5条小路通往山顶，某旅行者登上山顶，然后走下来，可以有多少种走法。附加条件：上山与下山应该走不同的小路，在解答本题。

100．有多少方法能在国际象棋棋盘上指出：a)两个方格；b)两个同样颜色的方格；c)两个不同颜色的方格。

101．有3封信，其中每一封可以按6个不同地址邮寄出。如果a)任两封信不能按照一个地址邮寄；b)按一个地址邮寄多于一封信，试问把这些信邮寄出能有多少方法。

102．客车有9节车厢，如果有4位旅客要坐在不同的车厢中，可以有多少方法来安排座位。

103．从数字1，2，3，4，5，中用不超过3个去组成所有可能的数。如果a)不允许数字重复；b)允许数字重复，那么可以组成多少个这种数。

104．把3件不同的礼品A，B，C分给15个人中的任意3人。如果a)谁都不应得到多于1件的礼品；b)一确定的人应得到礼品A，那么有多少种分法。

105．把9人分成不同的小组，如果小组中不得少于2人，那么可有多少分法。

106．汽车牌号由5个数字组成，如果第一个数字不能等于0，那么可以有多少个不同牌号。

107．有3条道路连接城市A与B，4条道路连接城市B与C。现在要从A经过B去一次C，并还是经过B返回A，问可以有多少种方法。

108．把7本不同的书放到书架上，如果：a)2本确定的书必须挨着放；b)这2本书必须不挨着，问可以有多少方法。

109．在圆周上取10个点：a)以这些点为端点，能作多少条弦；b)以这些点为顶点，能作多少个三角形。

110．把20名大学生分成三组，其中第一组有3人，第二组有5人，第三组有12人。这样分组有多少种分法。

111．为了组织运动队，教练从10名孩子中挑选5名。如果2名确定的孩子必须加入运动队，那么他能用多少方法编队。

112．证明等式：。

113．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9构成六位数，如果每个六位数应由三个偶数与三个奇数组成，并且任意一数字在六位数中出现的次数不超过1，那么能构成多少个六位数。

114．在四个星期的期间内，大学生要通过四个考试，其中有两次数学考试。当按照星期安排考试时，为了使两次数学考试不接着进行，那么能有多少方法来安排。

115．8人应乘两辆汽车，并且每辆汽车应至少坐3人，问他们能有多少分法。 116．排列数2233344455中的数字，能得到多少不同的数。 117．把6个加号与4个减号很快地写在纸上，能有多少写法。

118．现有20件小商品分配给3家商店，如果已知：第一家商店应运去8件，第二家7件，第三家5件，那么可有多少分法。

119．利用牛顿二项式公式变换下列表示式：

a)

；b)

；c)；f)；

；

d)；e)

120．证明下列等式： a)

b) 121．利用多项式公式变换下列表示式： a)

； b)

与

的系数。

122．求出中展开括号并化简相似的项后求出123．下列式子展开后包含多少不同的项：

a)； b)

124．把一粒玩耍的骰子掷3次，求掷出的点都不同的概率。

125．箱中有4个白球和2个黑球，从中任意取出两球，试问这两个球颜色不同的概率为多少。

126．箱中有6个白球和4个黑球，从中任意取出5个球，求得到2个白球与3个黑球的概率。

127．箱中有a个白球与b个黑球，从中任意取出两球，求这两个球颜色相同的概率。 128．任意写下一个三位数，求其中有两个数字相同而第三个数字不同的概率。

129．在某一天学校的所有班级都应该有6节课，那天排课时给一位老师任意排了3节课，给另一位老师任意排了2节课。求这两位老师没有同时上课的概率。

130．10人任意坐在一张有10个座位的长凳上，求2个确定的人挨着坐的概率。

131．箱中有10个球，其中2个白球，3个黑球，5个兰球。任意取出3球，求它们颜色不同的概率。

132．在40名学生的班级中有10名优秀生。现在把班级任意地分成相等的两部分，求每部分中有5名优秀生的概率。

133．掷三粒玩耍的骰子，求掷出的点数都是偶数的概率。

134．在卡片上分别写了数字1，2，3，4，5并仔细地混合这些卡片，然后把这些卡片任意放成一行，求得到偶数的概率。

135．箱中有5个白球和5个黑球，从中一个个地相继取出所有球放成一行，求球的颜色交替不同的概率。

136．5人以随机方式坐在一张有5个座位的长凳上，求3个确定的人坐在一起的概率。 137．箱中有10个球，2个取出的球是白球的概率等于，问箱中原来有几个白球。 138．箱中有n个白球和m个黑球，任意取出k个球（k>m）。问箱中留下同一种白球的概率为多少。

139．从放了N个球的箱中一个一个地抽了N次球，每次抽出的球都要放回去。问抽到的N个球象一次抽出的概率为多少。

140．把一副完整的纸牌（52）张任意分成两部分（每部分26张0，求下列事件的概率： ——每部分各有2张爱司；

——一部分中没有任何一张爱司；

——一部分中正好有一张爱司

141．箱中有a个白球、b个黑球和c个红球，从中一个一个地、不放回地取出所有的球并记下它们的颜色。求出这个记录中白色比黑色先出现的概率。

142．有两只箱子，第一只中装了a个白球与b个黑球，第二只中装了c个白球和d个黑球。从每只箱子中各取一个球，求两球都是白球（事件A）的概率与两球颜色不同（事件B）的概率。

143．把2n个运动员等分成两队，求两个最有力的运动员分在：a)不同的队中（事件A）；b)同一个队中（事件B）的概率。

144．在36张纸牌中，设杰克是2点，皇后是3点，国王是4点，爱司是11点，而其余的牌相应地是6，7，8，9，10点，从中任意抽出3张来，求这3张纸牌点数之和等于21的概率。

145．某人在他的一张彩票上（设49个号码中取6个）勾掉了6个号码，求他猜中下列情况的概率：

a) 当前抽签抽到的全部6个号码； b) 4或6个号码； c) 至少3个号码

146．载有15名乘客的公共汽车要停靠20个站。假定这些乘客在站上下车的分布的所有方法是等可能的，试求在一个站上没有任何2名乘客下车的概率。

147．从数1，2，?，N中任意取r个不同的数字（r≤N）,求取到r个相继的数的概率。 148．从一副完整的纸牌（52张）中同时抽出若干张，为了以大于0.5的概率断言：抽出的牌中有同一种花色的牌，应该抽多少张牌来。

149．把n个小球以随机方法撒在m个小洞中。设k1+k2+?+km=n，试求正好有k1小球落在第1个小洞中，正好有k2个小球落第2个小洞中，?，正好有km个小球落在第m个小洞中的概率。

150．在上题的条件下，假定数k1，k2，?，不同，试求在一个小洞中有k1个球（无论那个洞），在另一个小洞中有k2个球，??，在最后那个小洞中有km个球的概率。

151．从集{1，2，?，N}中相继不放回地取出数x1和x2，求P（x1>x2）。 152．10份稿件分放在30个厚纸夹中（每1份稿件放在3个纸夹中），求在随机挑选的6个纸夹中找不到任何1份完整稿件的概率。

153．在r个人中至少有2人生日相同的概率为多少。（为了简单起见，假定2月29日不是生日）。

154．利用lgn！值的表与上题的条件，计算r=22，23，60时的概率。 155．为了使找到一个生日与卡特生日相同的人的概率不小于0.5，需要询问多少个陌生人。

156．对公债每年要做6次固定抽签，并在第5次固定的抽签后要做1次补充抽签。在100000张公债券里每次固定抽签有170张中彩，每次补充抽签有230张中彩。在写列情况下求一张公债券在头十年内中彩的概率：a)在固定抽签时；b)在补充抽签时；c)在任一次抽签时。

157．两个射手对着靶子各射击一次。已知：他们中的一人中靶的概率等于0.6，而另一人中靶的概率等于0.7，求下列事件的概率：

a) 只有一个射手中靶； b) 至少一个射手中靶； c) 两个射手都中靶；

d) 无论哪个射手都没有中靶； e) 至少一个射手没有中靶。

158．在一次射击中第一个射手中靶的概率等于P，而第二个射手中靶的概率等于0.7。已知，在这两人的一次射击中正好一人命中的概率等于0.38，求出P。

159．对某个物理量做一次测量时允许误差超过给顶精确度的概率等于0.2。现作三次独立测量，试求允许误差超过给顶精确度的测量次数不超过1的概率。

160．箱中有10个零件，其中7个涂了油漆。一装配工从中任意拿出4个零件，求这4个零件都涂了油漆的概率。

161．每张彩票中奖的概率等于。现在购买5张彩票，求下列情况中奖的概率：a)所有5张彩票；b)没有一张彩票；c)至少一张彩票。

162．生产零件要经过3道工序加工。在第一、第二、三道工序生产出废品的概率分别等于0.02、0.03、0.02。假设在每道工序生产出废品是独立事件，试求经过3道工序后得到的零件不是废品的概率。

163．从数字1，2，3，4，5中挑选一个，再从余下的数字中挑选第二个。求在下列情况下选到奇数的概率：a)第一次；b)第二次；c)第三次。

164．在4次独立射击中至少一次命中目标的概率等于0.9984，求第一次射击命中的概率。

165．债券中有一半会中奖。为了确信至少一张债券能以大于0.95的概率中奖，应该购买多少张债券。

166．一用户忘记了电话号码的最后一位数字，于是只得任意地拨它。求他尝试失败不超过两次的概率。

167．在一次射击时命中目标的概率等于0.2，进行10次射击，如果为了击毁目标必须至少一次命中，试求击毁目标的概率。

168．两人做游戏，直到其中一人连胜两局为止（认为没有不分胜负的局）。每人在一局中获胜的概率等于0.5，并跟以前各局的结果无关。试求游戏做到6局结束的概率。

169．一名大学生刚来得及准备了要考试的25道问题中的20道。在3道任意选择的问题中，他知道不少于2道题目答案的概率为多少。

170．箱中装了90个合格零件与10个有毛病的零件，一装配工从箱中相继不放回的拿出10个零件。试求拿出的零件在下列情况下的概率：a)没有毛病；b)至少一个有毛病。

171．掷出两粒玩耍的骰子，骰子分别标上了号码1与2，试求第1粒骰子指出的点数比第二粒骰子的点数大的概率。

172．设事件A——同时掷出4粒玩耍的骰子，至少出现一粒一点；事件B——掷2粒骰子24次，至少出现一次两粒1点。试问这两事件哪个概率大。

173．一猎人对着跑远的目标射击3次，首次命中目标的概率等于0.8，而每次射击后都要减少0.1。求他在下列情况下的概率：a)所有3次都没有命中；b)至少一次命中；c)命中2次。

174．考卷上有3个问题，一大学生能回答试卷上第1道题目与第2道题目的概率都等于0.9；回答第3道题目的概率等于0.8。如果这大学生要顺利通过考试必须回答：a)所有的问题；b)至少2道题目，求他通过考试的概率。

175．掷一对玩耍的骰子，为了以不小于0.5的概率指望至少一次掷出12点，必须掷多少次。

176．两只箱子中装了小球，小球之间的区别只是颜色可能不同，其中第一只箱子装了5个白球、11个黑球、8个红球；而在第二只箱子中装的球的相应的数字为10、8、6。从这两只箱子中任意地各取一球出来，所得到的两球颜色相同的概率是多少。

177．箱中有n个分别编有至n的相同小球，从中一个一个地、不放回的把小球取出。试求至少有一次取出小球的号码与实验号码相同的概率。

178．在n阶行列式的展开式中任意选择一项，求这项不包含主对角线元素的概率

，

并求。

179．两个射手轮流对着靶子射击，直至首次命中为止。第一个射手中靶的概率为p（由他开始射击），第二个射手中靶的概率为q（0

a) 第一个射手射击次数比第二个射手多； b) 第二个射手作第3次射击后射击结束；

c) 第一个射手结束射击不得晚于他第三次射击。 当p=0.2，q=0.3时计算上面的三个概率。

180．利用上题条件，求第二个射手结束射击的概率。

181．两人轮流掷一枚硬币，谁先掷出国徽谁就获胜。试求他们每人获胜的概率。

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