《概率与统计》习题答案(复旦大学)

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习题二

1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】

故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求: (1) X的分布律;

(2) X的分布函数并作图; (3) .

【解】

故X的分布律为 X 0 1 2 P

(2)当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0

当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=

当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1 故X的分布函数 (3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.

故X的分布律为 X 0 1 2 3

P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

4.(1)设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ,

其中k=0,1,2,?,λ>0为常数,试确定常数a. (2)设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N, k=1,2,?,N, 试确定常数a. 【解】(1)由分布律的性质知 故

(2) 由分布律的性质知

即 .

5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1)两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7) (1) +

(2)

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有 即

利用泊松近似

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?

【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则

所以 .

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)

(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).

(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;

(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1) (2) 11.设P{X=k}= , k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}= ,试求P{Y≥1}. 【解】因为,故 . 而 故得 即 从而

12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率. 【解】

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1)保险公司亏本的概率;

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为

由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20000)

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae?|x|, ?∞

故 . (2)

(3) 当x<0时, 当x≥0时, 故

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)=

求:(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F(x). 【解】 (1)

(2)

(3) 当x<100时F(x)=0 当x≥100时 故

17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为

故当x<0时F(x)=0 当0≤x≤a时

当x>a时,F(x)=1 即分布函数

18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}. 【解】依题意知,即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

,即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42). (1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】(1)若走第一条路,X~N(40,102),则

若走第二条路,X~N(50,42),则 ++

故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若X~N(40,102),则

若X~N(50,42),则

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N(3,22),

(1)求P{2

(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】

23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2),若要求P{120<X≤200}≥0.8,允许σ最大不超过多少? 【解】

24.设随机变量X分布函数为 F(x)=

(1)求常数A,B;

(2)求P{X≤2},P{X>3}; (3)求分布密度f(x). 【解】(1)由得 (2)

(3)

25.设随机变量X的概率密度为 f(x)=

求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x). 【解】当x<0时F(x)=0 当0≤x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时 故

26.设随机变量X的密度函数为 (1) f(x)=ae??|x|,λ>0; (2) f(x)=

试确定常数a,b,并求其分布函数F(x). 【解】(1)由知 故

即密度函数为 当x≤0时 当x>0时

故其分布函数

(2) 由

得 b=1 即X的密度函数为

当x≤0时F(x)=0 当0

当1≤x<2时

当x≥2时F(x)=1 故其分布函数为

27.求标准正态分布的上分位点, (1) =0.01,求 ; (2) =0.003,求, . 【解】(1) 即 即 故

(2)由得

即 查表得 由得 即 查表得

28.设随机变量X的分布律为

X ?2 ?1 0 1 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0,1,4,9

故Y的分布律为

Y 0 1 4 9

Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=( )k, k=1,2,?,令

求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】

30.设X~N(0,1).

(1)求Y=eX的概率密度; (2)求Y=2X2+1的概率密度; (3)求Y=|X|的概率密度. 【解】(1)当y≤0时, 当y>0时, 故 (2)

311/30 当y≤1时 当y>1时

(3)

当y≤0时 当y>0时 故

31.设随机变量X~U(0,1),试求: (1) Y=eX的分布函数及密度函数; (2) Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】(1) 故 当时

当1

当y≥e时 即分布函数

故Y的密度函数为

(2)由P(0

当z≤0时, 当z>0时,

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为 f(x)=

试求Y=sinX的密度函数. 【解】

当y≤0时, 当0

当y≥1时,

故Y的密度函数为

33.设随机变量X的分布函数如下:

试填上(1),(2),(3)项. 【解】由知②填1。

由右连续性知,故①为0。 从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。(i=1,2),P(Ai)= .且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则 X~b(n,0.1) 即

得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F(x)=

则F(x)是()随机变量的分布函数. (A)连续型;(B)离散型; (C)非连续亦非离散型.

【解】因为F(x)在(?∞,+∞)上单调不减右连续,且 ,所以F(x)是一个分布函数。

但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)

37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a,b]外,f(x)=0,则区间 [a,b]等于()

(A) *0,π/2+; (B) *0,π+; (C) [?π/2,0+; (D) *0, +. 【解】在上sinx≥0,且 .故f(x)是密度函数。 在上 .故f(x)不是密度函数。 在上,故f(x)不是密度函数。

在上,当时,sinx<0,f(x)也不是密度函数。 故选(A)。

38.设随机变量X~N(0,σ2),问:当σ取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大? 【解】因为

利用微积分中求极值的方法,有

得 ,则 又

故为极大值点且惟一。

故当时X落入区间(1,3)的概率最大。

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ),每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. 【解】

设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下,Y~b(m,p),即

由全概率公式有

此题说明:进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1?e?2X在区间(0,1)上服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

由于P(X>0)=1,故0<1?e?2X<1,即P(0

即Y的密度函数为

即Y~U(0,1)

41.设随机变量X的密度函数为 f(x)=

若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P(X≥k)= 知P(X6,则P(X

故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k)= . 42.设随机变量X的分布函数为 F(x)=

求X的概率分布. (1991研考) 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为 X ?1 1 3 P 0.4 0.4 0.2

43.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)=p,则 X~b(3,p)

由P(X≥1)= 知P(X=0)=(1?p)3= 故p=

44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】

45.若随机变量X~N(2,σ2),且P{2

【解】 故 因此

46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求 (1)全部能出厂的概率α;

(2)其中恰好有两台不能出厂的概率β;

(3)其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试},B={仪器能出厂},则 ={能直接出厂},AB={经调试后能出厂} 由题意知B= ∪AB,且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X~6(n,0.94), 故

47.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩,则X~N(72,σ2) 故

查表知 ,即σ=12 从而X~N(72,122) 故

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求: (1)该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V},A2={电压在200~240V}, A3={电压超过240V},B={元件损坏}。 由X~N(220,252)知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】

因为P(1

当y≥e4时, 即 故

50.设随机变量X的密度函数为 fX(x)=

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考) 【解】P(Y≥1)=1 当y≤1时, 当y>1时, 即 故

51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= , 求Y=1? 的密度函数fY(y). 【解】 故

52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布. (1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布; (2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考)

【解】(1)当t<0时,

当t≥0时,事件{T>t}与{N(t)=0}等价,有 即

即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 (2)

53.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=?1}=1/8,P{X=1}=1/4.在事件{?1

当x=?1时, 故X的分布函数

54. 设随机变量X服从正态分N(μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解:依题意,,则 , .

因为,即 ,

所以有,即 .

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/rdq3.html

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