二次函数知识点

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

0? ?0，0? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax?c的性质： 上加下减。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

c? ?0，c? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。 4.

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 0? ?h，0? ?h，x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． a?0 向下 X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 1

y?a?x?h??k的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移

方法抛物线解成顶点式

2 a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 ?h，k? ?h，k? x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． 步骤： 一：⑴ 将析式转化

a?0 向下 X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． k?； y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴

y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵

y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或

y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较

22从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

22b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x???，其中h??． ，k?2a?4a2a4a?五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法

22 2

k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?22对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与

以及?0，c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、y轴的交点?0，与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与

六、二次函数y?ax?bx?c的性质

2y轴的交点.

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．

2a4a2a??4ac?b2bbb当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值．

2a2a2a4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的增大而增大；当，?．当x??2a4a2a2a??4ac?b2bb． x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值

2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法

21. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 22. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即

b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?2b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x??

b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同右异” 2a3

总结： 3. 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与

y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

y?ax?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c；

22y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

2. 关于

22y轴对称

2 y?ax?bx?c关于

2y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

2y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

3. 关于原点对称

y?ax?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2222b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． n?对称 5. 关于点?m，n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m， 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

2一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

22222 4

图象与x轴的交点个数：

2 ① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程

b2?4ac. ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

2⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示

22y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=2x2y=x2??0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个不相等实根 ??0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 一元二次方程有两个相等的实数根 ??0 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. y=x22y= -x22y= -x2y=-2x2

5

y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

y=2x2y=2(x-4)2?刹车距离?二次函数应用?何时获得最大利润

?最大面积是多少?

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直

则m的y?(m?2)x2?m2?m?2的图像经过原点，

y=2(x-4)2-3角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数

y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y?kx2?bx?1的图像大致是（ ）

y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x?5，求这条抛物线的解析式。 34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 32已知抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

6

c例1 （1）二次函数y?ax?bx?c的图像如图1，则点M(b,)在（ ）

a2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym． （1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.

2

2

2

2

例5、已知抛物线y=

1252

x+x-2

．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x12

?x2)，交y轴负半轴于C点，

且满足3AO=OB．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1

∴x2>O，x1

∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO．

(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．

7

2

2

2

∴符合题意的x的范围为-1

当点M的横坐标满足-1∠ACO． 例7、 “已知函数

y?12x?bx?c的图象经过点A（c，－2）， 2

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据

y?12x?bx?c的图象经过点2A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得

?12?2c?bc?c??2,? ?b??3,?1?2?2?解得??b??3,

?c?2.所以所求二次函数解析式为（2）在解析式中令y=0，得

y?12x?3x?2.图象如图所示。 212x?3x?2?0，解得x1?3?5,x2?3?5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+令x=3代入解析式，得所以抛物线

5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3?5,0).

5y??,

2125x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?)等等。

2y?函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 ? y（件） 25 20 10 ? 若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

8

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则??15k?b?25, 解得k=-1，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40．

?2k?b?202

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) 2

( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

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