第3章 空间向量与立体几何 §3. 2 立体几何中的向量方法（一） -

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHrnAILg ＝错误!，错误!＝(－1,0,0>．xHAQX74J0X ∵

·

＝错误!·错误!＝错误!－错误!＝0，LDAYtRyKfE ⊥错误!.又A1D1∩D1F＝D1，Zzz6ZB2Ltk 是平面A1D1F的法向量．

·错误!＝0，∴

∴AE⊥平面A1D1F，∴

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知识点二 利用向量方法证平行关系

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

证明方法一∵

=

，

∴ B

∴B1C∥A1D，又A1D∴B1C∥面ODC1. 方法二∵=∴又B1C方法三

+，

= +，

面ODC1，

+ +

=

+

.

共面.

ODC1，∴B1C∥面ODC1.

建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B1(1,1,1>，C(0,1,0>，

O错误!，C1(0,1,1>，dvzfvkwMI1 ＝(－1,0，－1>， ＝错误!，rqyn14ZNXI ＝错误!.EmxvxOtOco 设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0>， 则

得错误!SixE2yXPq5 令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1>． 又∴

·n＝－1×1＋0×1＋(－1>×(－1>＝0， ⊥n，∴B1C∥平面ODC1.

【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与性表示，三是证明

共线；二是说明

能利用平面ODC1内的两不共线向量线

与平面的法向量垂直．6ewMyirQFL 2 / 9

如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝错误!，EF＝2.kavU42VRUs 求证：AE∥平面DCF.

证明如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.y6v3ALoS89

设AB＝a，BE＝b，CF＝c， 则C(0,0,0>，A(错误!，0，a>，

B(错误!，0,0>，E(错误!，b,0>，F(0，c,0>． 错误!＝(0，b，－a>，

＝(0，b,0>， 所以

·错误!=0，

·

=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.

0YujCfmUCw ＝(错误!，0,0>，M2ub6vSTnP 所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1

上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.eUts8ZQVRd 解

建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0>，F(1,2,0>，D1(0,0,2>，B1(2,2,2>．sQsAEJkW5T 设M<2，2，m），则

GMsIasNXkA =<1，1，0），错误!=<0， 1，2），

=<2，2，m2）.

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∵∴∴于是

⊥平面EFB1， ⊥EF，⊥B1E， ·

=0且

·错误!=0，

∴m＝1，

故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.

【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1>用直线与平面垂直的判定定理；(2>证明该直线所在向量与平面的法向量平行．TIrRGchYzg 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B.

求证：AC1⊥A1B.

证明建立空间直角坐标系C1—xyz， 设AB＝a，CC1＝b.

则A1错误!，B(0，a，b>，B1(0，a,0>，C(0,0，b>，A错误!，7EqZcWLZNX C1(0,0,0>． 于是

=错误!＝错误!.zvpgeqJ1hk ∵B1C⊥A1B，∴而∴

·⊥

·

＝－错误!＋b2＝0, =<0， a，b），

lzq7IGf02E ＝错误!a2－错误!a2－b2＝错误!－b2＝0NrpoJac3v1

即AC1⊥A1B. 课堂小结：

1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1>建立适当的坐标系．

(2>设平面的法向量为n＝(x，y，z>．

(3>求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1>，b＝(a2，b2，c2>． (4>根据法向量定义建立方程组错误!.1nowfTG4KI (5>解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2．平行关系的常用证法

＝λ错误!.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说

明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．fjnFLDa5Zo 4 / 9

3．垂直关系的常用证法

要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．

要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．

一、选择题

1.已知A<3，5，2），B<-1，2，1），把( >

A．(－4，－3,0> B．(－4，－3，－1> C．(－2，－1,0> D．(－2，－2,0> 答案B

＝(－4，－3，－1>．平移后向量的模和方向是不改变的．

2．平面α的一个法向量为(1,2,0>，平面β的一个法向量为(2，－1,0>，则平面α与平面β的位置关系是( >tfnNhnE6e5 A．平行B．相交但不垂直 C．垂直D．不能确定 答案C

解读∵(1,2,0>·(2，－1,0>＝0，

∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．

3．从点A(2，－1,7>沿向量a＝(8,9，－12>的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( >HbmVN777sL A．(－9，－7,7> B．(18,17，－17> C．(9,7，－7> D．(－14，－19,31> 答案B

解读 ，设B

=

按向量a＝(2,1,1>平移后所得的向量是

=λ<8，9， 12），λ>0.

故x2=8λ,y+1=9λ,z7=12λ， 又0,∴λ=2. ∴x=18,y=17,z=17, 即B<18，17， 17）.

4．已知a＝(2,4,5>，b＝(3，x，y>分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( >V7l4jRB8Hs A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝错误! C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝错误! 答案D

解读∵l1∥l2，∴a∥b，

则有错误!＝错误!＝错误!， 解方程得x＝6，y＝错误!.

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5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2>，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4>，则( > A．l∥αB．l⊥α

C．lαD．l与α斜交 答案B

解读∵u＝－2a， ∴a∥u，∴l⊥α. 二、填空题

6．已知A(1,1，－1>，B(2,3,1>，则直线AB的模为1的方向向量是________________．83lcPA59W9 答案错误!或错误!mZkklkzaaP 解读，

=<1，2，2），|

|=3.

模为1的方向向量是±,

7．已知平面α经过点O(0,0,0>，且e＝(1,1,1>是α的法向量，M(x，y，z>是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．AVktR43bpw 答案x＋y＋z＝0

解读

·e=

8．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1>和(2，－3，－2>，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线>的一个方向向量是________．ORjBnOwcEd 答案(1,4，－5>(答案不唯一>

解读设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z>，a与b的方向向量分别为n1，n2，由题意得错误!即：错误!2MiJTy0dTT 解之得：y＝4x，z＝－5x，令x＝1， 则有n＝(1,4，－5>． 三、解答题

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：

(1>FC1∥平面ADE；

(2>平面ADE∥平面B1C1F.

证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0,0,0>、A(2,0,0>，

C(0,2,0>，C1(0,2,2>，E(2,2,1>， F(0,0,1>，B1(2,2,2>， 所以

=<0，2，1），

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=<2，0，0）， =<0，2，1）.

<1）设n1=

， n1⊥

得，

令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2>． 因为错误!·n1＝－2＋2＝0，所以错误!⊥n1.gIiSpiue7A 又因为FC1平面ADE，所以FC1∥平面ADE. <2）∵

=<2，0，0），

设n2 =(x2,y2,z2>是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥错误!,n2⊥

,得 得

得

令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2>，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 10.

如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，AP＝BQ＝b (0，截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.uEh0U1Yfmh (1>证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(2>证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值； (3>若b＝错误!，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值．

解以D为原点，射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图(2>所示的空间直角坐标系D—xyz，由已知得DF＝1－b，故A(1,0,0>，A′(1,0,1>，D(0,0,0>，

IAg9qLsgBX D′(0,0,1>，P(1,0，b>，Q(1,1，b>，E(1－b,1,0>，F(1－b,0,0>，G(b,1,1>，H(b,0,1>．WwghWvVhPE 7 / 9

(1>，证明在所建立的坐标系中,可得

=(b,0,b>, =(1,0,1>,

因为所以因为所以

·

=0，

=(0,1,0>,

=(b1,0,1b>, =(1,0, 1>,

·

=0，

是平面PQEF的法向量. ·

=0，

·

=0，

是平面PQGH的法向量.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直. (2>证明，因为所以又

⊥

∥

,|

=(0, 1,0>,

|=|

|,

,所以四边形PQEF为矩形,

同理四边形PQGH为矩形. 在所建立的坐标系中可求得||

|=1,

,是定值.

|=

(1-b>,|

|=

b,

所以|

|+|

|=

,又

所以截面PQEF和截面PQGH的面积之和为(3>解由(1>知

＝(－1,0,1>是平面PQEF的法向量．

由P为AA′的中点可知，Q、E、F分别为BB′、BC、AD的中点． 所以E<|cos〈错误!,

，1，0,），

＝错误!，因此D′E与平面PQEF所成角的正弦值等于

> ＝错误!.asfpsfpi4k

申明：

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