2.2线性代数第二章张第2节

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§2.2 矩阵的基本运算1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例

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1、运算定义&运算规则同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对应 的元素相等,即

aij bij i 1,2, , m; j 1,2, , n ,则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B

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矩阵的加法设有两个m n矩阵A (aij)和B (bij) 矩阵A与B的和记 为A B 规定为A B (aij bij ) 即 a11 b11 a21 b21 A B a b m1 m1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. 10 3 5 1 8 9 10 1 3 8 5 9 11 11 4 1 9 0 6 5 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 3 3 8 3 2 1 3 3 3 2 8 1 6 1 9

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矩阵加法的运算规律设A B C都是m n矩阵 则 (1) A B B A (2) (A B) C A (B C) 设矩阵A (aij) 记 A ( aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O;

(3) A= A+O = O+A

由此，规定矩阵的减法为A B A ( B),例如

3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 3 3

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矩阵的数乘数 与矩阵A的乘积记作 A或A , 规定为 a11 a12 a21 a22 A A a m1 am1 a1n a2 n . amn

矩阵数乘的运算规律 (1) 1 A A;

(2) ( ) A ( A);(3) ( ) A A A;

(4) ( A B) A B.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.

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矩阵乘法设 A (aij )是一个m×s矩阵, B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中

cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkjk 1

s

(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)把此乘积记作 C AB 例如

16 32 4 2 4 2 C ? 1 2 2 2 3 6 2 2 8 16 2 2

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例

求AB.解

1 0 1 2 A 1 1 3 0 若 0 5 1 4

0 1 B 3 14 3

4 2 1 1 1 2 1 3

因

A a ij

3 4

, B bij

, 故 C cij

3

3 3

.

1 0 C AB 1 1 0 5

5 6 10 2 6 . 2 17 10

0 1 2 1 3 0 3 1 4 1 7

4 2 1 1 1 2 1

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注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. ——A可左乘B的可相乘条件.

例如

1 3 5

3 1 6 8 2 1 不存在. 6 0 1 8 9 2

乘积AB 维的关系m n

A

n s

B

C

m s

=

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注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.

3 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 10 . 1 练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.

2 1 4 1 2 1 4 1 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 1 3 3 10 1 3 7 3 4 10 1 3 7 3 4 1 1 2 1 4 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 1 10 10 1 3 7 3 4 1 3 7 3 4 1 4 4

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1

2

a11 a21 n n n an1

a12 a22 an 2

a1 s a2 s ans n s

1a11 2a21 n a n1

1a12 1a1 s 2a22 2 a2 s

n an 2

n ans n s

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a11 a21 a n1

a12 a22 an 2

a1n 1 a2 n ann n n

2

n n n

1a11 1a21 1an1

2a12 n a1n 2a22 n a2 n

2 a n 2

n ann n n

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a1

a2

b1 an n n a1b1

b2

bn n n a2 b2 an bn n n

结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵. 结论 两个n阶上(下)三角阵之积仍为n阶上(下)三角阵.

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矩阵乘法的运算规律(1) 结合律: ( AB)C A( BC ) (2) 分配律: A( B+C ) AB AC (左乘分配律)

( B+C ) A BA CA (右乘分配律)

(3) ( AB) ( A)B A( B)

(其中 为常数)

(4) AE EA A注 矩阵乘法不满足交换律,即 AB BA

例如 设 A 则

1

1

1 1 0 0 0 0

,

B

1 12

1 12

两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵

AB

BA

2 2

AB BA

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问题

矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.

结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”

2 0 1 1 但也有例外，比如设 A , B , 0 2 1 1 2 2 2 2 AB BA. , BA 则有 AB 2 2 2 2 定义 结论 满足AB=BA的矩阵称为可交换的. 两个同阶对角矩阵是可交换的.

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结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即

EA=AE=A证明 设 A a ij

n n

为任意n阶矩阵,则有

1 a11 a12 1 a21 a22 EA 1 a n1 a n 2 a11 a12 a1n 1 a21 a22 a2 n AE an1 an 2 ann

a1n a2 n a ij ann 1 a ij 1

n n

A

n n

A

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注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即

Em Am n Am n En注 矩阵乘法不满足消去律，即

AB AC , A 0 不能推出 B C例如 设A

1

1

1 1 ,

,

B

1 1

1 1

,

C

2 2

2 2

有 AB

0 0 0 0

AC

0 0 0 0

则 AB AC , 但是 B C

注 该例也说明 AB 0 不能推出 A 0 或 B 0

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定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k A 的k次幂,即 A A A , 并且 k个

A A Am k

m k

, A

m

k

Amk (m, k为正整数)k

当 AB BA 时, (1)

(2)

AB Ak B k ; 2 A B A2 2 AB B 2 .

注

显然只有方阵的幂才有意义

定义 (方阵的多项式)f ( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0 f ( A) ak Ak ak 1 Ak 1 a1 A a0 E

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例

设A 0 0

1

0

0 1 ,求 Ak .

解 A2 0 0

1

0

0 1 0 0 2

2 3 2 A A A 0 0 由此归纳出

20

0 2 2 1 2 1 0 2 0 0 0 2 1 1 0 3 3 2 3 0 3 3 2 2 0 1 2 0 0 3 0 0 1k k 1

k k A 0 0

k k

1

k0

2 k k 1

k 2

k

k 2

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0 1 ,求 Ak . 例 0 k k k 1 k 2 k 1 k 2 解 k k k 1 归纳出 A 0 k k 2 0 0 k 用数学归纳法证明: 假设 k = n 时成立, 则k = n + 1 时, 1 n An A 0 0 n n 1

设A 0 0

n n 1

A

n 1

n0

2 n n 1

n 2

n

0 0

1

0

0 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rdfq.html