电磁场理论习题

电磁场理论习题

一

1、求函数?=xy+z-xyz在点（1，1，2）处沿方向角向导数.

?=?3，

???4，

???3的方向的方

?? 解：由于 ?xM=y－yzM= -1

???y???zM=2xy－

xz(1,1,2)=0

M=2z

?xy(1,1,2)=3

cos??所以

211cos??cos??2，2，2

?? ?lM?

2、 求函数?＝xyz在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。

解：指定方向l的方向矢量为

l＝(9－5) ex+(4－1)ey+(19－2)ez ＝4ex+3ey+17ez

其单位矢量

??????cos??cos??cos??1?x?y?z

l??cos?ex?cos?ey?cos?ez?M4314?10,ex????zM3314?xyey?M7314

ez?? ?x所求方向导数

?yz(5,1,2)?2,???y

M?xzM?5?? ?l3、 已知?=x度。

2

M?+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯

??????123cos??cos??cos?????l???x?y?z314

解：由于??=(2x+y+3) ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)ez

(0,0,0)=3e-2e-6e 所以，xyz

4、运用散度定理计算下列积分：

????(1,1,1)=6ex+3ey

I=??[xz2ex?(x2y?z3)ey?(2xy?y2z)ez]dssS是z=0 和 z=(a-x-y)解：设：A=xz

s2221/2

所围成的半球区域的外表面。

2

ex+(x2y-z3)ey+(2xy+y2z)ez

?A ds=????Adv??则由散度定理

可得

I?????Adv????(z2+x2+y2)dv????r2dv???

??2??0??20a0rsin?drd?d???d??sin?d??02042??a05、试求▽·A和▽×A:

23322

(1) A=xyzex+xzey+xyez

25??ardr5

422A(?,?,z)??cos?e??sin?ez ?(2)

11A(r,?,?)?rsin?er?sin?e??2cos?e?rr(3 )

解：（1）▽·A=y2z3+0+0= y2z3

ex??x23xyz▽×A=eyez???(2x2y?x3)ex?(2xy2?3xy3z2)ey?y?zx3zx2y2

?A?(?Az)1?[(?A?)???]???z(2) ▽·A=??? 1??[(?3cos?)?(?3sin?)]??=???=3?cos?

????2?cos?▽×A==

?cos?e??2?sin?e???sin?ez =

e?1????A??e?????A?ez??zAze?1?e????0ez??z?2sin?

?A??(sin?A?)?(r2Ar)1[sin??r?r]2?r???? (3) ▽·A=rsin?sin2?cos??()?(2)31?(rsin?)rr[sin??r?r]2rsin??r????= 1222[3rsin??2sin?cos?]?3sin??cos?22rsin?r=

▽×A=

er1?r2sin??rArre????rA?rsin?e????rsin?A?er1r2sin?=

re????sin?rsin?e????1sin?cos?r

??rrsin?cos2?cos?e?e??cos?e?r33r=rsin?

习题二

1、总量为q的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。

解: 设球体的半径为a，用高斯定理计算球内，外的电场。由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。

在球外，r>a，取半径为r的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：

2D?dS??E4?r?q0r?s

24??r0

对球内，r

Er?q

4343qr3qq'??r???r?34333a?a3

rqEr?34??a0

2、半径分别为a,b(a>b),球心距为c（c

s?D?dS??0Er4?r2?q'

解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+ρ和—ρ的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。 正电荷在空腔内产生的电场为

E1?负电荷在空腔内产生的电场为

?r1er3?0

1

单位向量er1，er2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。考虑到 最后得到空腔内的电场为

E2???r2er3?02r1er1?r2er2?cex?c

E??ce3?0x

3、一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内,外的电场强度。 解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有

r?2D?dS??E2?rl?q,q???rl,E?0?s2?0

计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有

?a2D?dS??0E2?rl?q,q???al,E??s2r?0

2

4、一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是ρs0,求轴线上任一点的电场强度。

解：由电荷的电荷强度计算公式

dS'34??0?r?r's

及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。代入场点

E(r)?1

?s(r')(r?r')源点 r?zex

r'?exr'cos??eyr'sin?

电场的z向分量为

dS?r'dr'd?

上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为

z?s0E??(1?2)21/22?0(a?z)

5、已知半径为a的球内,外电场分布为

??s02?azr'dr'?s0?zE?d??1??(a2?z2)1/2?223/2?4??0?2?0?(z?r')? 00??a?2?E0???r??r?E??2r?????r?E0???a?r?ar?a

求电荷密度.

解:从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: ??D??

用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出

r?a时:r?a时:

???0

3E01?2r??rar2?r1?2???2r?r?00r?r

????6、求习题2-1的电位分布

解：均匀带电球体在球外的电场为 Er=q/4??0r 球内电场为

3 Er?rq/4??0a 球外电位(r> a)为

2 球内电位(r?a)为

???Edr??q/4??0r2dr?q/4??0rrr?a???

???Edr??rq/4??0a3dr??q/4??0r2drr ?q/4??0aa/2?r/2?q/4??0a3?r22?a

?q/8??0a3(3a2?r2)

3ql242??r07、 电荷分布如图所示。试证明，在r>>l处的电场为E= 1qq2q2224??(r?l)(r?l)0r证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E=(+)

当r>>l时,

1(r?l)2=

1r211ll2l2(1?2?32??)(1?)2rrr?r

1(r?l)2=

1r211ll2l2(1?2?32??)(1?)2rrr?r

3ql24将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量,得出E=2??0r

8、 真空中有两个点电荷，一个电荷－q位于原点，另一个电荷q/2位于（a，0，0）处，求电位为零的等位面方程。

解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为

q?q?2?0 4??0r4??0r1 其中

r?(x?y?z)， r1?[(x?a)?y?z] 等位面方程简化为

2r1?r 即

222222 4[(x?a)?y?z]?x?y?z 此方程可以改写为

4a???2a?22?x???y?z???3??3? ?4a2a(,0,0)这是球心在3,半径为3的球面。

9、一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。

222221222122

解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，P?P0ex如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为

?????P?0。

在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向n?er,极化强度在z方向，故

??P?ex?0 在顶面，外法向为n?ex，故

?sp?P?ex?P0 在底面，外法向为n??ex，故

10、假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为3εo， 如果空气中的电场强度E?ex?4ey?5ez（V/m），求电介质中的电场强度E2。

解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量E1t?4ey?5ex，可以得出介质中电场强度的切向分量E2t?4ey?5ex；对于法向分量，用D1n?D2n，即 ?0E1x??E2x，并注意E1x?3,??3?0，得出E2x?1。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为

?sp?P?(?ex)??P0

E2?ex?4ey?5ez （V/m）

11、一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q，求任意点的电位。

解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由

2qD?dS?4?rDr?qDr??s4?r2 得出

qEr?4??r2 在介质中（a

Er?

?q4??0r2? 在空气中（r>b）

qqq11dr??(?)rb4??0r2r4??r24??0b4??rb （a

??qq???Edr??dr?rr4??0r24??0r (r>b)

???Edr??qdr??b12、真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a,试计算两个导体之间的电容。

解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得

11p12?p22?p12?p21?4??0a， 4??0d

让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q，则

qqqq?1?p11q?p12q???2?p21q?p22q??4??0a4??0d， 4??0d4??0a qqC??U?1??2 由

化简得

C?2??0add?a

习题三

1、球形电容器内,外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为?，当外加电压 为U0时，计算功率损耗并求电阻。

解：设内,外极板之间的总电流为I0，由对称性，可以得到极板间的电流密度为

er2?r J= Ie2r E=4??r

I?11????Edr U0=?b=4???ab?

?U04??U0er11??211???r?从而 I=ab，J=?ab?

aI????U0???211????r2?J????pab??? ?单位体积内功率损耗为 =?=

24??U0总功率耗损为 P=

22?ba?11?2p4?rdr?a?b??=??badrr2

4??U0211?ab =

U02由P=R，得

?11???? R=4???ab?

I

2、一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为?。略去地面的影响，求电极的接地电阻。

解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体 球的恒定电流问题。设导体球的电流为I,则任意点的电流密度为

I24?rJ =

erI24??r，E=

er

导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）

U=接地电阻为

??I4??2adrI=4??a

IU R=I=4??a

3、如图，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d1和d2，介电常数分别为?1和?2，电导率分别为?1和?2，当外加电压U0时，求分界面上的自由电荷面密度。 解：设电容器极板之间的电流密度为J，则 J＝?1E1??2E2 于是

E1?J?1,E2?J?2

U0? 即

Jd1?1U0?Jd2?2

J?d1?1

分界面上的自由面电荷密度为

?d2?2

??2?1???2?1?U0???s?D2n?D1n??2E2??1E1???J?????????2?1???2?1?d1?d2?1?2

d1 U0?1,?1

d2 ?2,?2 4、 内,外导体半径分别为a,c的同轴线，其间填充两种漏电媒质，电导率分别为

?1（a

解：设单位长度从内导体流向外导体的电流I，则电流密度为

I J=2?r 各区域的电场为

E1= E2=内,外导体间的电压为 U0=a因而，单位长度的漏电电阻为

erI

erer2??1r（a

c?cEdr=

?ba2??1r+?b2??2r=2??1IdrIdrIlnIbclna+2??2b

IIUbclnlna+2??2b R=I=2??1

5、一个半径为10 cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如图，若土壤的电导率为0.01S/m ，求当电极通过的电流为100A 时，土壤损耗的功率。 解：半球形接地器的电导为 G?2??a 接地电阻为 土壤损耗的功率为

2R?11?G2?a?

1002P?IR???1.59?1062??a2??0.01?0.1 W

I2

I ? a 6、 内,外半径分别为a,b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I，求柱内, 外的磁感应强度。

解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为

由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当r

'??0,?I??22???b?a???0, J=?r?aa?r?bb?r I=

J??r2?a2?I?r2?a2?=b?a22

Bdl2?rB?I由?==，得

'0 B=

2?r?b2?a2??oI?r2?a2?

?0I当r

7、半径为a的长圆柱面上有密度为Js0的面电流，电流方向分别为沿圆周方向和 沿轴线方向，分别求两种情况下柱内,外的B。 解：

（1）当面电流沿圆周方向时，由问题的对称性可以知道，磁感应强度仅仅是半径r的函数 ，而且只有轴向方向的分量，即

eBr B=zz??

由于电流仅仅分布在圆柱面上，所以，在柱内或柱外，??B=0。将B=

ezBz?r?代入

??B=0，得

??B= 一量。在离面无穷远处的观察点，由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流元只

和，所以磁场为零。由于B与r无关，所以，在柱外的任一点处，磁场恒为0。 为了计算柱内的磁场，选取安培回路为图3-12所示的矩形回路。 图3-12

e??Bz?r=0 即磁场是与r无关的常

?Bdl=hB= h?Jl0s 因而柱内任一点处，B=ez?0Js。

（2）当面电流沿轴线方向时候，由对称性可知，空间的磁场仅仅有圆分量，且只是半径的函数。在柱内，选取安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆。可以得出，柱内任一点的磁场为零。在柱外，选取圆形回路，

?Bdl=?I，与该回路交链的电流为2?aJ0s，

?Bdl=2?rB，所以

B=

8、 一对无限长平行导线，相距2a，线上载有大小相等，方向相反的电流I，求磁矢位A，并求B。

解：将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加。对单个导线，先计算有限长度产生的磁矢位。设导线的长度为1，导线1的磁矢位为（场点选在xoy平面）

e??0Jsar

当l??时，有

?IA1?04??l222dz(r1?z2)A1?12?l?0Il2?[(l2)2?r12]12?ln2?r1

?0Illn2?r1

同理，导线2产生的磁矢位为

A2?? 由两个导线产生的磁矢位为

?0Illn2?r2

相应的磁场为

?0I?l?0Ir2?0I?x?a?2?y2l??A?ez?A1?A2??ezln?ln??ezln?ezln??2??r1r2?2?r14??x?a?2?y2

?Az?A?eyz?y?y

?I?0Iyyx?ax?a?ex0[?]?e[?y2??x?a?2?y2?x?a?2?y22??x?a?2?y2?x?a?2?y2

B＝??A?exy r2 ?a I r1 a I x

9、 已知内，外半径分别为a,b的无限长铁质圆柱壳（磁道率为?）沿轴向有恒定的传导电流I，求磁感应强度和磁化电流。

解：考虑到问题的对称性，用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度。 当r?a时，

B＝0 当a?r?b时，

?I(r2?a2)B?er?222?r?b?a?

当r?b时，

?IB?0er?2?r

当a?r?b时，

I(r2?a2)M?(?r?1)H?(?r?1)B?(?r?1)e?22?2?r(b?a)

1 当r?b时，

Jm???M?ez(?r?1)I1??rM???ezr?r?(b2?a2)

Jm?0

在r?a处，磁化强度M?0，所以

JmS?M?n?M?(?er)?0

(?r?1)Ie?r?b2?b在处，磁化强度，所以

(??1)IJmS?M?n?M?er??rez2?b

M?10、已知在半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流I沿轴方向。设导体的磁导率为?1，其外充满磁导率为?2的均匀磁介质，求导体内,外的磁场强度,磁感应强度,磁化电流分布。

解：考虑到问题的对称性，在导体内,外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作为安培回路，并注意电流在导体内是均匀分布的。可以求出磁场强度如下： r?a时，

H= r>a时，

H=磁感应强度如下： r?a时，

e?Ir2?a2 I2?r

e? B=r>a时，

e??1Ir2?a2 ?2I2?r

B=

为了计算磁化电流，要求磁化强度： r?a时，

e???1?Ir??1?I?1?e?1?2??z?2e?2?a???0??a M=??0， Jm=??M=

r>a时，

???Ie??2?1??2?r， Jm=??M=0 M=??0在r=a的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。

这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流只和，即 Jms=M1?n1+M2?n2

这里的n1和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果去从介质1到介质2的单位法向是n, 则有

Jms=M1?n一M2?n

代入界面两侧的磁化强度，并注意n=er，得

???I???I?ez?1?1?ez?1?1???0?2?a+??0?2?a Jms=

????Iez?2?1? = ??0?0?2?a

11、 空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的半径为b，通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。

解： 设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。 r

Ir2 H=2?a a

I H=2?r

单位长度的磁场能量为 Wm=

?a0b112?H2?rdr20??H2?rdra02+2

?0I2?0I2blna =16?+4?故得单位长度的自感为

?0?0bln8?2?a L=+

其中的第一项是内导体的内自感。

12、 一个长直导线和一个圆环（半径为a）在同一平面内，圆心与导线的距离是d，证明它们之间互感为

证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场

M??0(d?d2?a2)

B?

其中各量的含义如图所示。磁通量为

?0I?0I?2?x2?(d?rcos?)

a2?(d?rcos?)

上式先对?积分，并用公式

00???Bds??2??2??0Irdrd?

得

?0d??d?acos?rdrd2?r22?d2?a2

所以互感为

???0I?a0??0I(d?d2?a2)

22M??(d?d?a) 0

I r

? d

习题四

1、在两导体平板(z=0和z=d)之间的空气中传播的电磁波其电场强度矢量

E?eyE0sin[(?/d)z]cos(wt?kx)

其中kx为常数.试求 (1) 磁场强度矢量H

(2) 两导体表面上的面电流密度Js 解:

(1) 由麦克斯未方程组得??E??ex(?Ey/?z)?ez(?Ey/?x)???B/?t

E0?Ek??cos(z)sin(wt?kxx)?ez0xsin(z)cos(wt?kxx)dwdwd对上式积分得

E?Ek??H?ex0cos(z)sin(wt?kxx)?ex0xsin(z)cos(wt?kxx)dw?0dw?0d即

B?ex(2) 导体表面上得电流存在于两导体相向的一面,故在z=0表面上,法线n=ez 面电流密度

Js?ez?H|z?0?ey?E0sin(wt?kxx)w?0d

Js??ez?H|z?d?ey在z=0表面上,法线n=-ez,面电流密度

2、 在理想导电壁（σ＝∞）限定的区域（0≤x≤α）内存在一个如下的电磁场：

?E0sin(wt?kxx)w?0d

这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上得电流密度的值如何？

asin(?x)sin(kz??t)Ey?H???a0asin(?x)sin(kz??t)Hx?Hk?a0x)cos(kz??t)Hz?Hcos(?a0

以

，

导

电

壁

上

的

电

流

密

度

河

电

荷

密

度

的

值

为

Ey?0,Hx?0,Hx?Hcos(kz??t)e0解：在边界x=0处有（n＝x）

所

Js?n?(H?H)??J在

s0?n?H＝

0

x

??eyHcos(kz??t),??nDx?0?00s0x?0处

电

磁

场

满

足

的

边

界

条

件

为

n?H??eyHcos(kz??t),n?E?00nB?0,nD?0

同理，在

x?a（n??ex）有

??ex?ezHzx?a??eyHcos(kz??t),?sa?nD0x?an?H??eyHcos(kz??t),n?E?0,n?B?0,n?D?00Jsa?n?H3、 一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a，外导体半径为b，长度为L，同轴线两端用理想导体板短路。已知在a?r?b,0?z?L区域内的电磁场为

??BAE?ersinkz,H?e?coskzrr

（1） 确定A,B之间的关系。

??（2） 确定k。

（3） 求r?a及r?b面上的?s,Js。

解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。 （1）A,B之间的关系。因为

??Er?Ak??E?e??e?coskz??j??H?zr

???所以

A?j?? B?k（2）因为

?1???rH???? 所以 ??H?r[?e?rH???Bkr?z?ez?r]?errsinkz?j??E

A?k Bj?? ?j??k

k?j?? ，k???? （3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为

????? n?H?Js ，n?D??s ??在r?a的导体面上，法线n?er，所以

?

J???e?B?BSa?n?Hr?azrcoskzr?a?ezacoskz ????A

?Sa?n?Dr?a?rsinkzr?a??Aasinkz

??在r?b的导体面上，法线n??er，所以

?????e?B?B

JSb?n?Hr?bzrcoskzr?b??ezbcoskz

????A ?Sb?n?Dr?b??

rsinkzr?b???Absinkz

??e??4、 已知真空中电场强度

ExE0cosk0(z?ct)?eyE0sink0(z?ct)，k0?2??0??c。试求：

（1） 磁场强度和坡印廷矢量的瞬时值。

?（2） 对于给定的z值（例如z＝0），试确定E随时间变化的轨迹。 （3） 磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值。 解：

（1） 由麦克斯韦方程可得 ???Ey

??E??ex?z??e??Exy?z

??e?e??H? xE0k0cosk0(z?ct)?yE0k0sink0(z?ct)???0?t对上式积分，得磁场强度瞬时值为

H??e?E0?Exsink0( ?z?ct)?e0ycosk0(z?ct)0故坡印廷矢量的瞬时值 c?0c

式中

?

?S?E?H??ez???E02?0c

（2） 因为E的模和幅角分别为

E?Ex?Ey?E0?22

??tan?E0sink0(z?ct)?k0(z?ct)E0cosk0(z?ct)

所以，E随时间变化的轨迹是圆。

（3）磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为

?av,e??1?Re[E?D*]4

?????j(?k0z)?j(?k0z)1??jk0zjk0z2?[(exE0e?eyE0e)?(ex?0E0e?ey?0E0e2)]4 12??0E0 2

1?av,m???0E022

??E21??*Sav?Re[E?H]??ez022?0c

习题五

1、 电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为

????E?t???ex?jey?10?4e?j20?z(Vm)??

?试求：

（1） 工作频率f。

（2） 磁场强度矢量的复数表达式。

（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 解：

（1）由题意可得 所以工作频率

k?20????0?0?9?c,??6??109

f?3?10Hz

（2）磁场强度矢量的复数表达式为

??0其中波阻抗?0?120??。

H??1ey?E???1(ey?jex)10?4e?j20?z(A/m)

??（3）坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 电磁波的瞬时值为

E(t)?Re[Ee

??j?t]?(ex?jey)10?4cos(?t?20?z) （V/m）

??H(t)?Re[He??j?t]?1

所以，坡印廷矢量的瞬时值

??0(ey?jex)10?4cos(?t?20?z)????? （A/m）

?S(t)?E(t)?H(t)???1

同理可得坡印廷矢量的时间平均值

?010?8cos(?t?20?z)(ex?jex)?(ey?jex)?02 W/m

2Sav?1??*?Re[E?H]?022 W/m

92、 理想介质中，有一均匀平面电场波沿z方向传播，其频率??2??10rad/s。当t?0

时，在z?0处，电场强度的振幅E0?2mV/m，介质的?r?4,?r?1。求当t?1?s时，在z＝62m处的电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量。 解：根据题意，设均匀平面电场为

E(t)?exE0cos(?t?kz) mV/m 式中， 所以

??????2??109rad/s,k??????40?3

E(t)?ex2cos(2??109t??40?z)3 （mV/m）

当t?1?s，z＝62m时，电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量为 E??exmV/m

??H(t)?故此时

??4?02eycos(2??109t???40?z)3 mA/m

mA/m

????1S?E?H?ez60? mA/m2

H???0ey

3、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为 H=试求：

（1）波长、转播方向单位矢量及转播方向与z轴的夹角 （2）常数A

（3）电场强度复矢量。 解：

（1）波长、转播方向与z轴的夹角分别为

(?ez?ey26?ez4)e?j?(4x?3z)(?A/m)

K?22kx?kz?(4?)?(3?)?5?,??2??0.4mk

故

ek?4?ex?3?ezk?0.8ex?0.6ez ，cos?z?0.6

o??53 z

（2）因为?H?0，所以

?Hz?Hy?Hz?H???y+?z=4?jA?12j??0 ?x

解之得A=3。

（3）电场强度矢量

?j?(4x?3z)?(?e3?e26?e4)e?(0.8ex?0.6ez) E??H?e0xyz0k =

68??0(6ex?5ey?6ez)e?j?(4x?3z)(V/m)55

4、 设无界理想媒质，有电场强度复矢量：

22（1）E1,E2是否满足?E?kE?0。

?jkz,E2?ezE02e?jkz E1?ezE01e（2）由E1,E2求磁场强度复矢量，并说明E1,E2是否表示电磁波。

解：采用直角坐标系。 （1） 考虑到

??2?2?2?E1?ex???x2??y2??z2???k2ezE01e?jkz2???2?2?2??E1x?ey???x2??y2??z2?????2?2?2??E1y?ez???x2??y2??z2?????E1z?

?k2E1 于是

?E1?kE1?0

同理，可得

22?E?kE1?0 2

22（2） 根据题意知

H1?1?0ez?E1?0,H2?1?0ez?E2?0

所以S1?0,S2?0,E1,E2所形成的场在空间均无能量传播，即E1,E2均不能表示电磁波。

5、 假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为

(V/m) E?3(ex?2ey)e（1）电场强度的振幅、波矢量和波长。

（2）电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。 解：

?j(2x?2y?3z)6?（1）依题意知，电场强度的振幅 而

E0?E02x?E02y?33(V/m)2k?kx2?ky?kz2?

?2

所以波矢量k?kex，其中

从而，

ek?223ex?ey?ex333

（2）电场强度的瞬时表达式为

??2??4mk

???j?t?E(t)?Re?Ee?3(e?2e)cos?t?(2x?2y?3z)(V/m)xy????6??

磁场强度矢量的瞬时表达式为

H(t)?

6、 为了抑制无线电干扰室内电子设备，通常采用厚度为5个趋肤深度的一层铜皮

1???ek?E(t)??(6ex?3ey?3ez)cos??t?(2x?2y?3z)?(A/m)?0?6?? 17????????5.8?10S/m）0,0,（包裹该室。若要求屏蔽的频率是10kHz~100MHz，

铜皮的厚度应是多少。

解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz时所对应的厚度。因为趋肤深度

?? 所以，铜皮的最小厚度为

2????1?f1???0.00066m

h?5??0.0033m

7、 如果要求电子仪器的铝外壳（??3.54?10S/m,?r?1）至少为5个趋肤深度，为防止20kHz~200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚。

解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽20kHz时所对应的厚度。

7????f1??

因为铝壳为5个趋肤深度，故铝壳的厚度应为

?0?2?1?0.000598m

h?5?0?0.003m

7、 已知平面波的电场强度

E?[ex(2?j3)?ey4?ez3)]ej(1.8y?2.4z)(V/m)

试确定其传播方向和极化状态；是否横电磁波？

解：传播方向上的单位矢量为

ex?kyey?kzezky?kz2234??ey?ez55

ek?E?0，即E的所有分量均与其传播方向垂直，所以此波为横电磁波。

改写电场为

E?[ex13ee,e?3jarctan2jarctan43?j3(?5ey?5ez)?r?j3ek?r2?5(ey?ez)]e?[ex13e?5e?y]e55

343显然xy均与ek垂直。此外，在上式中两个分量的振幅并不相等，所以为右旋椭圆极化波。

9、假设真空中一平面电磁波的波矢量

?

?????k??ex?ey?22??

其电场强度的振幅Em?33V/m，极化于z轴方向。试求：

（1） 电场强度的瞬时表达式。 （2） 对应的磁场强度矢量。 解：

（1） 电场强度的瞬时表达式为

?????x?y?]E?r,t??ez33cos?[t???22 （V/m）

??其中：

（2）对应的磁场强度矢量为

??kc???3??108rad/s2

?H(t)?

?1k?0?E(t)?1k?0ek?E(t)

????3??40?(?ey?ex)cos[?t?(x?y)]222 （A/m）

10、 真空中一平面电磁波的电场强度矢量为

xy （V/m）

（1） 此电磁波是何种极化？旋向如何？ （2） 写出对应的磁场强度矢量。

解：此电磁波的x分量的相位滞后y分量的相位，且两分量的振幅相等，故此波为左旋面极化波。其对应的磁场强度矢量为

E?2(e?je)e????jz2?H?

?1?0ez?E???2?0(ey?jex)e???jz2?(A/m)

2习题六

1、距离电偶极子多远的地方，其电磁场公式中与r成反比的项等于与r成反比的项。

解：电偶极子产生的电磁场中与r成反比的项（以电场为例）为

Idlk3sin?je?4???kr

2与r成反比的项为

?Idlk3sin?1e?4???(kr)2

?所以

2、 假设一电偶极子在垂直于它的方向上距离100km处所产生的电磁强度的振幅等于100?V/m，试求电偶极子所辐射的功率。

解：由E?的表达式知，电偶极子的远区辐射场的电场强度振幅为

r?1???0.159?k2?

Em?

Imdl?0sin?2?0r

又根据Pr的表达式，有

Imdl ?0因此

?Pr40?2

2E?1?rPr???m??sin?3?10

代入具体数值得

Pr?10?1.19 W

3、 计算一长度等于0.1?的电偶极子的辐射电阻。

2?Idl?Rr?80??????0??，知电偶极子的辐射电阻为 解：根据式

2?Idl?2?0.1?0??Rr?80???80??????0???0

22

4、已知某天线的辐射功率为100 W，方向性系数为D＝3。求： （1）r?10km处，最大辐射方向上的电场强度振幅。

（2）若保持辐射功率不变，要使r?20km处的场强等于原来r?10km处的场强，应选取方向性系数D等于多少的天线。 解：

（1）最大辐射方向上的电场强度振幅为

????7.8957??

2

代入具体数值得

E?Em??60DPrr

?2 Em?1.34?10V/m

（2）符合题意的方向性系数为

60D1Prr1代入具体数值得 D2?12

?60D2Prr2

5、 两个半波振子天线平行放置，相距?2。若要求它们的最大辐射方向在偏离天线阵轴线?60的方向上，问两个半波振子天线馈电电流相位差应为多少。 解：当两个半波振子天线馈电电流相位差?满足条件

?cos?m???kd

2??时，由它们组成的天线阵的最大辐射方向?m取决于相邻阵元之间的电流相位差?。因此

???kdcos?m???2??cos60????2

习题七

1、什么叫截止波长？为什么只要???c的波才能在波导中传输？

答：导行波系统中，对于不同频率的电磁波有两种工作状态——传输与截止。介于传输与截止之间的临界状态，即由??0所确定的状态，该状态所确定的频率称为截止频率，该频率所对应的波长称为截止波长。

222由于只有在??0时才能存在导行波，则由??kc?k?0可知，此时应有

22k?k c

2即

2??????? c

所以，只有f?fc或???c的电磁波才能在波导中传输。

2、 何谓工作波长，截止波长和波导波长？它们有何区别和联系？ 解：工作波长就是TEM波的相波长。它由频率和光速所确定，即

??

c光f?r??0?r

?0?c光f。

式中，?0称为自由空间的工作波长，且

截止波长是由截止频率所确定的波长，且

fc?r

波导波长是理想导波系统中的相波长，即导波系统内电磁波的相位改变2?所经过的距离。

波导波长与?,?c的关系为

?c?c?g?

???1?????c????

2

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