椭圆与双曲线的重要性质归纳总结

椭圆与双曲线的对偶性质

椭 圆

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2?b2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是a2?b2?1. 若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2?b2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的

直线方程是

x0xa2?y0yb2?1. x2y2椭圆a2?b2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭

圆的焦点角形的面积为S2?F1PF2?btan?2.

椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

AB是椭圆x2y2ab的不平行于对称轴的弦，M(xb22?2?10,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??a2，

2即K??bx0ABa2y。

0x2y2若Px0x0(x0,y0)在椭圆a2?b2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

a2?y0yx20y20b2?a2?b2. 若Px2y2x2y2x0x0(x0,y0)在椭圆a2?b2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a2?b2?a2?y0yb2. 双曲线

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除

去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

若P0(xx2y2x0xy0y0,y0)在双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是a2?b2?1. Px2y2若0(x0,y0)在双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，

则切点弦P1P2的直线方程是

x0xy0a2?yb2?1. 双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，

则双曲线的焦点角形的面积为S2?F1PF2?bcot?2.

双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

1.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

是双曲线x2y2ABa2?b2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

KOM?K?b2x0b2x0ABa2y，即KAB?a2y。 00x2y2若P0(x0,y0)在双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是x0xy0yx22a2?0y0b2?a2?b2. 若Px2y20(x0,y0)在双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2a2?b2?x0xy0ya2?b2. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2

Ax2y2时1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2?b2?1.

x2y2过椭圆a2?b2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两

2点，则直线BC有定向且k?bx0BCa2y（常数）. 0P为椭圆x2y2若a2?b2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

?PF2F1??，则

a?c??a?c?tan2cot2. 设椭圆x2a?y22b2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△

PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?csin??sin??a?e.

x2y2若椭圆a2?b2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，

可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2为椭圆a?y2P2b2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x?x2椭圆0)2(y?y0)a2?b2?1与直线Ax?B?y0?C有公共点的充要条件是

A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.

已知椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）

1|OP|2?1|OQ|2?11224a2b2a2b2a2?b2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为a2?b2;（3）S?OPQ的最小值是a2?b2. x2y2过椭圆a2?b2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分

线交x轴于P，则

|PF|e|MN|?2.

22已知椭圆

xa2?yb2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(xa2?b2a2?b20,0), 则?a?x0?a. 点是椭圆x2y2设Pa2?b2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，

则(1)|PF2b22?1||PF2|?1?cos?.(2) S?PF1F2?btan2.

、B是椭圆x2y2设Aa2?b2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,

?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?2ab2|cos?|a2?c2cos2?.(2) 2tan?tan??1?e2.(3) S2ab2?PAB?b2?a2cot?. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆

相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

x2y2双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于

Px2y21、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2?b2?1.

x2y2过双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

B,C两点，则直线BC有定向且kBC??b2x0a2y（常数）.

0为双曲线x2y2若Pa2?b2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

?PF?a2F1??，则

cc?a?tan?2cot?2（或c?ac?a?tan?2cot?2）. x2y2设双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF?1F2??,?F1F2P??，则有

sin?(sin??sin?)?ca?e.

若双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2P为双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2双曲线a2?b2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是

A2a2?B2b2?C2.

x2y2已知双曲线a2?b2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.

（1）1111|OP|2?|OQ|2?a2?b2（;2）|OP|2+|OQ|2

的最小值为4a2b2b2?a2（;3）Sa2b2?OPQ的最小值是b2?a2. 过双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

直平分线交x轴于P，则

|PF||MN|?e2.

已知双曲线x2a?y22b2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

交于点P(xa2?b2a2?b20,0), 则x0?a或x0??a.

设P点是双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，

则(1)|PF2b22?1||PF2|?1?cos?.(2) S?PF1F2?bcot2.

A、B是双曲线x2y2设a2?b2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,

?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?2ab2|cos?||a2?c2cos2?|. 2(2) tan?tan??1?e2.(3) S?2a2b?PABb2?a2cot?. 已知双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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