2017-2018学年高中数学必修4学案全集（25份，解析版） 北师大版1

§ 弧度制

．了解角的另外一种度量方法——弧度制．

.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点).掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)

[基础·初探]

教材整理 弧度制

阅读教材～，完成下列问题． ．弧度制的定义

在单位圆中，长度为的弧所对的圆心角称为弧度角．它的单位符号是，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．

．角度制与弧度制的互化 ()弧度数

①正角的弧度数是一个正数； ②负角的弧度数是一个负数； ③零角的弧度数是；

④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系． ()弧度数的计算 α＝.如图－－：

图－－

()角度制与弧度制的换算

图－－

()一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° π ° ° π .弧长公式与扇形面积公式 已知为扇形所在圆的半径，为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.

弧长公式 扇形面积公式 角度制 ＝ ＝ 弧度制 ＝α ＝·＝α

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

()“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) ()度的角是周角的，弧度的角是周角的.( ) ()根据弧度的定义，°一定等于π弧度．( )

()不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．( )

【解析】()正确．

()正确度的角是周角的，弧度的角是周角的. ()正确．根据弧度的定义，°一定等于π弧度．

()错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．

【答案】()√ ()√ ()√ ()×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问：

解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：

[小组合作型]

弧度制与角度制的互 将下列角度与弧度进行互化． ()°；()－°；()；()－π.

【精彩点拨】本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．

【自主解答】()°＝＝. ()－°＝－π＝－. ()π＝×°＝°. ()－π＝－×°＝－°.

角度制与弧度制互化的策略

．原则

牢记°＝π .充分利用°＝ 和 ＝进行换算． ．方法

设一个角的弧度数为α，角度数为.则α ＝α·；°＝· . ．注意事项

()将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用°＝ 化为弧度便可．

()以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．

化 [再练一题]

．将°′化为弧度，将－π化为度.

【导学号：】

【解】°′＝°＝×＝，又 ＝，∴－π ＝－π×＝－°.

用弧度制表示终边相同的 角 ()将－ °表示成π＋α(≤α<π，∈)的形式，并指出它是第几象限角； ()在°～°范围内，找出与角终边相同的角．

【精彩点拨】()把角度换算为弧度，表示成π＋α(∈)的形式即可求解； ()把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整使待求角在[°，°)内． 【自主解答】()－ °＝－ ×＝－＝－π＋. ∵是第四象限角，∴－ °是第四象限角．

()∵＝×°＝°，∴终边与角相同的角为θ＝°＋·°(∈)，当＝时，θ＝°；当＝时，θ＝°，∴在°～°范围内，与角终边相同的角为°，°.

[再练一题]

．设α＝－°，α＝°，β＝，β＝－.

()将α，α用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； ()将β，β用角度制表示出来，并在－°～°范围内找出与它们终边相同的所有角．

【解】()∵°＝π ，

∴α＝－°＝－＝－＝－×π＋， α＝°＝＝＝×π＋.

∴α的终边在第二象限，α的终边在第一象限．

()β＝＝×°＝°，设θ＝°＋·°(∈)，则由－°≤θ<°，即－°≤°＋·°<°，得＝－，或＝－.

故在－°～°范围内，与β终边相同的角是－°和－°.

β＝－＝－°，设γ＝－°＋·°(∈)，则由－°≤－°＋·°<°，得＝－，或＝. 故在－°～°范围内，与β终边相同的角是－°.

[探究共研型]

扇形的弧长及面积公 式 探究 扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ 【提示】α＝.

探究 扇形的周长如何计算？

【提示】扇形的周长等于相应的弧长与个半径之和． 探究 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ 【提示】＝.

如图－－，扇形的面积为，周长为，求扇形的圆心角α(<α<π)的弧度

数．

图－－

【精彩点拨】＝，＋＝周长→求，值→α＝ 【自主解答】设(\\\\(＋＝，,()＝，))

长为，扇形半径为，由题意得：

解得(\\\\(＝，＝，))或(\\\\(＝，＝.))(舍)

故α＝＝()，即扇形的圆心角为 .

涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

[再练一题]

.()已知扇形的半径为，圆心角为°，求扇形的弧长和面积； ()已知扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数．

【解】()∵α＝°＝，∴＝α＝×＝()， ＝α＝××＝()，

故扇形的弧长为 ，面积为 .

()设扇形的弧长为，所在圆的半径为，由题意得 (\\\\(＋＝，,()＝，))－＋＝，

解得＝或＝.当＝时，＝，圆心角α＝＝＝； 当＝时，＝，圆心角α＝＝＝. 故扇形的圆心角为弧度或弧度．

[构建·体系] 消去并整理得，

．下列说法中，错误的说法是( ) ．半圆所对的圆心角是π ．周角的大小等于π

．弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是弧度

【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知，，均正确，错误． 【答案】

．已知α＝－ ，则α的终边在( ) ．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限 【解析】∵≈°， ∴－ ≈－°.

故α的终边在第三象限． 【答案】

．－π 化为角度应为.

【导学号：】

【解析】－π＝－×°＝－°. 【答案】 －°

．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的倍．

【解析】由于＝，若′＝，′＝，则′＝′′＝××＝. 【答案】

．已知集合＝{απ<α<π＋π，∈}，＝{α－≤α≤}，求∩. 【解】∵＝{απ<α<π＋π，∈}， 令＝，有π<α<π，而π>； 令＝，有<α<π； 令＝－，有－π<α<－π， 而－π<－<－π，

故∩＝{α－≤<－π或<α<π}．

我还有这些不足： () ()

我的课下提升方案： ()

()

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。

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