2013年中考真题——二次函数(一)

2013年中考真题——二次函数（一）

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2013年中考真题——二次函数（一）

一．解答题（共30小题）

1．（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x

轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

2．（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛

物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2013?资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

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（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

4．（2013?珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l 与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

5．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得

到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．

（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；

（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

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6．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为

B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

7．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

8．（2013?重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

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9．（2013?镇江）如图，抛物线y=ax 2

+bx （a ＞0）经过原点O 和点A （2，0）．

（1）写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标；

（2）点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在抛物线上，若x 1＜x 2＜1，比较y 1，y 2的大小；

（3）点B （﹣1，2）在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称，求直线AC 的函数关系式．

10．（2013?昭通）如图1，已知A （3，0）、B （4，4）、原点O （0，0）在抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D ，求m 的值及点D 的坐标．

（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）

11．（2013?昭通）如图，在⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4，tan ∠AOB=，抛物线y=a （x ﹣2）2

+m （a ≠0）经过点A （4，0）与点（﹣2，6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线m 与⊙C 相切于点A ，交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动，同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长．当PQ ⊥AD 时，求运动时间t 的值．

12．（2013?张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

13．（2013?湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有什么位置关系，并给出证明；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

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（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

15．（2013?云南）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E （0，1），点C的坐标为（2，3）．

（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；

（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2013?岳阳）如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：

①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；

②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

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17．（2013?玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y

轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

18．（2013?永州）如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

19．（2013?营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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20．（2013?益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p =，同理，所以AB

的中点坐标为

．由勾股定理得AB2=，所以A、B

两点间的距离公式为

．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

21．（2013?宜昌）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A_________，k=_________；

（2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数

y=的图象上；

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

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22．（2013?宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

23．（2013?扬州）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．

（1）求直线AB对应的函数关系式；

（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

24．（2013?盐城）如图①，若二次函数

y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于

正比例函数

y=x的图象的对称点为C．

（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D 沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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25．（2013?烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E 的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

26．（2013?雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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27．（2013?徐州）如图，二次函数y=x2+bx ﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方

作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：_________；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

28．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

29．（2013?孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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30．（2013?襄阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；

（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．

①当t为_________秒时，△PAD的周长最小？当t为_________秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）

②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2013年中考真题——二次函数（一）

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x

轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

▲（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；

（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；

（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．

解答：

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）

∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2 解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2

当y=0时，x2﹣x+2=0 解得：x=2或x=6 ∴A（2，0），B（6，0）；

（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；

（3）如图3，连接ME

∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°

由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE

∵在△COD与△MED中∴△COD≌△MED（AAS），∴OD=DE，DC=DM

设OD=x 则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，∴x2+22=（4﹣x）2 ∴x=∴D（，0）

设直线CE的解析式为y=kx+b

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∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：∴直线CE的解析式为y=﹣+2；

2．（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线

BD交抛

物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

▲（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．

解答：解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．

∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B（﹣4，0）．

∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．

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（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，

令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．

设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），

如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．

S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC

=BF?MF+（MF+OC）?OF+OA?OC

=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2

=﹣2n﹣m+1

∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，

∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，

∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．

（3）假设存在这样的⊙Q．

如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，

∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，

令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．

在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．

设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．

设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．

在Rt△AGF与Rt△QEF中，∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF，

∴，即，化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．

∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

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3．（2013?资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．

解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，∴点C的坐标为（5，4），

∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，

过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，易证GH=HN，∴点G与点M重合，

故直线BD的解析式y=﹣x+4

根据抛物线可知对称轴方程为x=，则点M的坐标为（，），即GF=，BF=，

∴BM==，

又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴点N的坐标为（，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，

易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，

由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，

设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），

假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，

17

由△MKQ1∽△MFP1，得=，

易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，

∴S2=（5a﹣10+7﹣a）×4=28×，解得：a=，

根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，

若点P在对称轴的右侧，则直线P

2M的解析式为y=﹣x+．

4．（2013?珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l 与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

分析：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；

（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．

解答：解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，

将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，

得，解得，所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m；

（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．

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∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，

∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，

∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM，∴∠A′DO=∠DOM，∴DM=OM．

设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，

在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，∴m2+（2m﹣x）2=x2，解得x=m．

∵S△OA′M=OM?A′N=OA′?A′M，∴A′N==m，∴ON==m，

∴A′点坐标为（m，﹣m），

易求直线OA′的解析式为y=﹣x，

当x=4m时，y=﹣×4m=﹣3m，∴E点坐标为（4m，﹣3m）．

当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m?4m+m=﹣8m2+m，

即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m），

∵抛物线l与线段CE相交，∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，

∵m＞0，∴﹣3≤﹣8m+1≤0，解得≤m≤；

（3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m，≤m≤，∴当x=m时，y有最大值m2+m，

又∵m2+m=（m+）2﹣，∴当≤m≤时，m2+m随m的增大而增大，

∴当m=时，顶点P到达最高位置，m2+m=（）2+=，

故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）．

5．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得

到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．

（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

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20

分析： （1）设抛物线C 1的顶点式形式

y=a （x ﹣1）2，（a ≠0），然后把点（0，）代入求出a 的值，再化为一般形

式即可；

（2）先根据m 的值求出直线AB 与x 轴的距离，从而得到点B 、C 的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C 的横坐标，再根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A 的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C 2的解析式，再把点A 的坐标代入求出h 的值即可；

（3）先把直线AB 与x 轴的距离是m 2代入抛物线C 1的解析式求出C 的坐标，从而求出CE ，再表示出点A

的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED ，根据平移的性质设出抛物线C 2的解析式，把点A 的坐标代入求出h 的值，然后表示出EF ，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．

解答： （1）解：设抛物线C 1的顶点式形式y=a （x ﹣1）2，（a ≠0），

∵抛物线过点（0，），∴a （0﹣1）2=，解得a=，

∴抛物线C 1的解析式为y=（x ﹣1）2，一般形式为y=x 2﹣x+；

（2）解：当m=2时，m 2=4，

∵BC ∥x 轴，∴点B 、C 的纵坐标为4，∴（x ﹣1）2=4，解得x 1=5，x 2=﹣3，∴点B （﹣3，4），C （5，4）， ∵点A 、C 关于y 轴对称，∴点A 的坐标为（﹣5，4），

设抛物线C 2的解析式为y=（x ﹣1）2﹣h ，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；

（3）证明：∵直线AB 与x 轴的距离是m 2，∴点B 、C 的纵坐标为m 2，

∴（x ﹣1）2=m 2，解得x 1=1+2m ，x 2=1﹣2m ，∴点C 的坐标为（1+2m ，m 2），

又∵抛物线C 1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m ﹣1=2m ，

∵点A 、C 关于y 轴对称，∴点A 的坐标为（﹣1﹣2m ，m 2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m ）=2+2m ，

设抛物线C 2的解析式为y=（x ﹣1）2﹣h ，则（﹣1﹣2m ﹣1）2﹣h=m 2，解得h=2m+1，

∴EF=h+m 2=m 2+2m+1，

∴tan ∠EDF ﹣tan ∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan ∠EDF ﹣tan ∠ECP=．

6．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=（x ﹣m ）2﹣m 2+m 的顶点为A ，与y 轴的交点为

B ，连结AB ，A

C ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点

D ，使AD=AC ，连结BD ．作A

E ∥x 轴，DE ∥y 轴．

（1）当m=2时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长？

（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以，A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？

21

分析： （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B 点的坐标；

（2）延长EA ，交y 轴于点F ，证出△AFC ≌△AED ，进而证出△ABF ∽△DAE ，利用相似三角形的性质，求出DE=4；

（3）①根据点A 和点B 的坐标，得到x=2m ，y=﹣m 2+m+4，将m=代入y=﹣m 2

+m+4，即可求出二次函数的表达式；

②作PQ ⊥DE 于点Q ，则△DPQ ≌△BAF ，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．

解答： 解：（1）当m=2时，y=（x ﹣2）2+1，

把x=0代入y=（x ﹣2）2+1，得：y=2，∴点B 的坐标为（0，2）．

（2）延长EA ，交y 轴于点F ，∵AD=AC ，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE ，∴△AFC ≌△AED ，∴AF=AE ， ∵点A （m ，﹣m 2+m ），点B （0，m ），∴AF=AE=|m|，BF=m ﹣（﹣m 2+m ）=m 2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE ，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF ∽△DAE ，∴

=，即：=，∴DE=4．

（3）①∵点A 的坐标为（m ，﹣m 2+m ），∴点D 的坐标为（2m ，﹣m 2+m+4），

∴x=2m ，y=﹣m 2+m+4，∴y=﹣?

++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x 2

+x+4， ②作PQ ⊥DE 于点Q ，则△DPQ ≌△BAF ，

（Ⅰ）当四边形ABDP 为平行四边形时（如图1），点P 的横坐标为3m ，

点P 的纵坐标为：（﹣m 2+m+4）﹣（m 2）=﹣m 2+m+4，

把P （3m ，﹣m 2+m+4）的坐标代入y=﹣x 2

+x+4得：

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