2014高考数学第一轮复习 数列概念及通项公式

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

第1讲 数列的概念与简单表示法

【2014年高考会这样考】

1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想． 2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．

3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等． 【复习指导】

1．本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主． 2．对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证．

3．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．

基础梳理

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．Sn与an的关系

S1，n＝1， an已知Sn，则an＝ 在数列{an}中，若an最大，则 若

－S，n≥2.a≥a. n－1＋1 anan最小，则

an≤a＋.

一个联系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 两个区别

这有别于集合中元素的无序性．

三种方法

由递推式求通项a的方法： f(n)型，采用叠乘法；

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )． A．an＝1＋(－1)n＋1

nπ

B．an＝2sin2

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C．an＝1－cos nπ

解析 根据数列的前4项验证． 答案 B

2，n为奇数

D．an＝

0，n为偶数

2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( )． A．30 B．31 C．32 D．33

解析 a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B

3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )． A．递增数列 C．常数列

B．递减数列 D．不确定

解析 ∵an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3＞0，∴an＋1＞an. 故数列{an}为递增数列． 答案 A

4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )． A．15 B．16 C．49 D．64 解析 由于Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式． ∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 答案 A

5．(2012·泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55， 中x的值为________． 解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和． 答案 21

考向一 由数列的前几项求数列的通项

【例1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9， ；

1371531

(2)2，4，8，16，32， ；

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

31313

(3)－1，2，－3，4，－5，6， ； (4)3,33,333,3 333， .

[审题视点] 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．

解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.

n2－1

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24， ，所以an＝2(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4， ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为

n

2＋ －1

3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)nn.

1

－nn为正奇数，

也可写为an＝ 3

nn为正偶数.

9999999 999

(4)将数列各项改写为：3，3，3，3

1

分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1， ，所以an＝3(10n－1)．

根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面

的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来． 【训练1】 已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：

1－ －1 n1＋ －1 n1－cos nπ2nπ①an＝；②a＝；③a＝sin；④a＝；⑤an＝nnn

2222 1 n为正偶数 1＋ －1 n＋1

；⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通

2 0 n为正奇数

项公式的有________(填序号)． 答案 ①③④

考向二 由an与Sn的关系求通项an

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________. [审题视点] 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解．

解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1. 答案 2·3n－1

S1，n＝1，

数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝ 当n＝

Sn－Sn－1， n≥2.

1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________． 解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

2，n＝1，故数列的通项公式为an＝

6n－5，n≥2. 2，n＝1

答案 an＝

6n－5，n≥2

考向三 由数列的递推公式求通项

【例3】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； n－1

(2)a1＝1，an＝nan－1(n≥2)；

(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.

[审题视点] (1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．

解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， an＋1又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

n－1n－21

(2)∵an＝nan－1(n≥2)，∴an－1＝an－2， ，a2＝21.以上(n－1)个式子相乘

n－1n－1a112

得an＝a1 23nnn(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

n 3n＋1

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋ ＋(a2－a1)＋a1(n≥2)．当n＝1时，

213na12(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝22＋2 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法

求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现法求解．

【训练3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； 1

(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln 1＋n.

解 (1)∵an＝an－1＋3n1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n2，

－

－

an

＝f(n)时，用累乘an－1

an－2＝an－3＋3n－3，

a2＝a1＋31，

以上(n－1)个式子相加得 an＝a1＋31＋32＋ ＋3

n－1

＝1＋3＋32＋ ＋3

n－1

3n－1＝2.

1 1＋ (2)∵an＋1＝an＋ln， n n＋11 1＋∴an＋1－an＝ln ＝lnn， n

n－1n

∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，

n－1n－2

2

a2－a1＝1

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

以上(n－1)个式相加得，

n－1n2

∴an－a1＝ln＋ ＋ln1＝ln n．又a1＝2，

n－1n－2∴an＝ln n＋2.

考向四 数列性质的应用

10

【例4】 已知数列{an}的通项an＝(n＋1) 11 n(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最

大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由． [审题视点] 作差：an＋1－an，再分情况讨论．

10n＋1 10n 10n9－n 解 ∵an＋1－an＝(n＋2)11－(n＋1) 11＝ 1111 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；

故a1＜a2＜a3＜ ＜a9＝a10＞a11＞a12＞ ，所以数列中有最大项为第9,10项．

(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思

想方法来解决．

(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法．

【训练4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)． (1)求{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n＝1时，a1＝S1＝23.

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25(n∈N*)．

(2)法一 ∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144. 法二 ∵an＝－2n＋25，

25

∴an＝－2n＋25＞0，有n＜2∴a12＞0，a13＜0，

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

故S12最大，最大值为144.

难点突破13——数列中最值问题的求解

从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．

a【示例1】 (2010·辽宁)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2nn为________．

【示例2】

2 n

(2011·浙江)若数列n n＋4 3 中的最大项是第k项，则k＝

________.

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

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