杆件的应变能及其应用分析

第 十 四 章 杆件的应变能及其应用

一、教学目标和教学内容

1．教学目标

让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。

理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。

掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。

能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。

能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。

2．教学内容

介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。

介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 二、重点难点

重点：建立应变能等有关概念。

基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。 卡氏第二定理及其应用。

难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。

对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。

应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的

广义力。

能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。

三、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲

1、弹性应变能与功能原理

弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlastic strain

energy）或弹性变形能（Dlastic deformation energy），用V?表示。 根据物理学中的功能原理，积蓄在弹性体内的应变能V?及能量损耗?E在数值上应等于荷载所作的功，即

V???E?W

如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计，应有

V??W （14.1）

利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法，相应的基本原理统称为功能原理（Principle for work and energy）。弹性体的功能原理的应用非常广泛，它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论基础。

2 、杆件的应变能计算

如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出来，所以说外力功是应变能的一种度量。

2.1外力功的计算

外力作功分为以下两种情况。

一种情况为常力作功。 这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等于外力与其相应位移的乘积。例如，在沿外力F方向线上有线位移?，则

W?F??

另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载，是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值，然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静荷载作功，可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图14.1所示的简单受拉杆，拉力由零逐渐增加到定值F，由F产生的伸长变形由零逐渐增加到

这就是拉力F的作用点的位移。如果材料服从胡克定律，则外力F与位移?l?l，

成线性关系（图14.2a）。设F1表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为?l1，此时将拉力增加一微量dF1，使其产生相应的位移增量d(?l1)，这时，已经作用在杆上的拉力F1将在该位移增量上作全功，其值为

dW?F1?d(?l1) （14.2）

图 14.1

在上式中略去了dF1在d(?l1)上作的功，这部分功为二阶微量。dW在图14.2a中以阴影面积来表示。拉力从零增加到F的整个加载过程中所作的总功则为这种单元面积的总和，也就是?OAB的面积，即

F1W??F1?d(?l1)?F?l

02 上述积分是与静荷载施加过程有关的积分，可以称为静荷载作功的过程积分。积分结果的系数1/2，既是已经完成过程积分的标志，又表示构件材料为线性弹性材料。将以上的分析推广到其它的受力情况，因而静荷载下外力功的计算式可写为

1W?F?? （14.3）

2

图14.2

1F?l02式中的F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；?是与广义力F相对应的位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。上式表明，当外力是由零逐渐增加的变力时，在符合胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所作的功，等于外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。 2.2 杆件的应变能计算 2.2.1应变能的有关概念

按照功能原理，应变能可以由计算外力的功得到，这是应变能的一种计算方法。

V??W??F1?d(?l1)?lV??W1F?l02 同时，也表明线弹性材料杆件的应变能，在完成了过程积分，也始终具有1/2系数。

V???F1?d(?l1)?llV??W??F1?d(?l1)?01F?l2应变能和外力的功，它们在杆件受力变形过程中的积累，也可以由荷载伸长图和应力应变图(见图14.2)考察到。

?????1?d?1??? 0 ?122.2.2 杆件的应变能计算

2.2.2.1杆件在各种基本变形时应变能的计算

如前所述，应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。以下我们讨论的均为静荷载问题，动能和其他能量的损耗不计。

1. 轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能

当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所作的功为

1W?F?l

2则杆内的应变能为

1V??W?F?l

2由图14.1知，杆件任一横截面上的轴力

FN?F

考虑到胡克定律有

?l?FNl EA所以，拉（压）杆的应变能为

FN2lV?? （14.4a）

2EA 或

EA(?l)2V?? （14.4b）

2l 若外力较复杂，轴力沿杆轴线为变量FN(x)，可以先计算长度为dx微段内的应变能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即

2FN(x)dxdV?=

2EA

2FN(x)dxV??? （14.5）

l2EA为了对构件的弹性变形能有更全面的了解，我们不但要知道整个构件所

能积蓄的应变

能，而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。对于承受均匀拉力的杆（图14.1），杆内各部分的受力和变形情况相同，所以每单位体积内积蓄的应变能相等，可用杆的应变能V?除以杆的体积V来计算。这种单位体积内的应变能，称为应变比能（Density of strain energy），简称比能，并用v?表示，于是

1FNlV?12v??=?? ?V2Al可见应变比能v?的数值也可以用?~?图中?Oab的面积来表示（图14.2b）。

根据胡克定律??E?，比能又可以写成下列形式

1?2E?2v?????? （14.6）

22E2

2．剪切变形时的应变能及比能 为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图14.3a所示的单元体，该单元体处于纯剪切应力状态，假想其在一个面（如左侧面）上被固定起来，则在剪应力由零逐渐增加到?值的过程中，单元体将发生如图所示的变形，与此对应的剪应变由零增加到?值，其右侧面向下的位移为???dx。当材料在线弹性范围内工作时，其?与?成正比（图14.3b），与图14.2a、b中所示受拉杆的相应图形类似。所以，单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为

11dW?(?dydz)???(?dydz)(?dx)

22上式中，作功的力是单元体右侧面上的剪力。由于剪应变?很小，其余各面上的剪力，在其作用方向上没有位移，都没有在其作用方向上作功。故单元体内

积蓄的应变能为

图14.3

1dV??dW????dV

2单元体内积蓄的应变比能则为

v??dV?1??? dV2这表明，v?等于?~?直线下的面积。由剪切胡克定律??G?，比能又可以写成下列形式

1?2G?2v?????? （14.7）

22G23. 圆轴扭转时的应变能及比能

如图14.4a所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T，则在线弹性范围内，相对扭转角?与扭转力偶矩T间的关系是一条直线（图14.4b）。与轴向拉伸杆件相似，扭转圆轴的应变能应为

图14.4

1V??W?T?

2由于圆轴横截面上的扭矩Mx?T，且

??Mxl GIP所以，受扭圆轴的应变能为

2MxlGIP?2V??? （14.8）

2l2GIP 实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因而可以直接采用公式（14.7），求积分即得杆件的应变能。因为剪应力??以

Mx?，所IPl?Mx?V???vdV???dAdx?VlA2G2G??IP?2????22Mxl?dA? ?A2GIP2 当扭矩Mx沿轴线为变量时，上式变为

2Mx(x)dx （14.9） V???l2GIP 可见利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用

于杆各横截面上内力变化（相应横截面上各点处的应力也不同）的情况。

4. 弯曲变形时的应变能及比能 （1）纯弯曲梁

设如图14.5a所示的简支梁在两端的纵向对称平面内受到外力偶M0作用而发生纯

弯曲，在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有M=M0，故梁在线弹性范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧（图14.5a），两端横截面有相对的转动，其夹角为

图14.5

??

l

?

且

1??M0 EI故

??M0l EI与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时，梁两端截面上相对转动产生的夹角也从零逐渐增加到?，M0与?的关系也是斜直线（图14.5b），所以杆件纯弯曲变形时的应变能为

M02lEI?21V??W?M0l?? （14.10）

2l22EI（2）横力弯曲梁

在工程实际中，最常遇到的是受横力弯曲的梁（如图14.6a所示）。这时，梁横截面上同时有剪力和弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯曲应变能和剪切应变能。由于剪力和弯矩通常均随着截面位置的不同而变化，都是x的函数，因此，计算梁的应变能应从分析梁上长为dx的微段开始（图14.6b）。

在弯矩的作用下，微段产生弯曲变形，两端横截面有相对的转动（图14.6c）；在剪力的作用下，微段产生剪切变形，两端横截面有相对的错动（图14.6d）。由于在小变形的情况下，弯曲正应力不会引起剪应变，剪应力也不会引起线应变，或者说，由弯矩产生的位移与由剪力产生的位移互相垂直，因此，可以先分别计算出弯矩和剪力在各自相应的变形位移上所作的功，然后根据叠加原理将它们叠加起来。

但由于在工程中常用的梁往往为细长梁，与剪应力对应的剪切应变能，比与弯矩对应的弯曲应变能小得多，可以不计，所以只需要计算弯曲应变能。

图14.6

微段梁左右两端横截面上的弯矩应分别为M(x)和M(x)?dM(x)。在计算其应变能时，弯矩增量dM(x)所作的功为二阶微量，可忽略不计，因此可将该微段看作是纯弯曲的情况。应用式（14.10）可求得微段的弯曲应变能

M2(x)dxdV??

2EI全梁的弯曲应变能则可积分上式得到

M2(x)dxV??? （14.11）

l2EI如果梁中各段内的弯矩M(x)由不同的函数表示，上列积分应分段进行，然后再求其总和。

由以上各种变形形式下应变能的计算式可以看出，应变能是力的二次函数，也是变形的二次函数。当构件同时受几个力（或力偶）作用时，能否用叠加原理求应变能？

2.2.2.2复杂受力情况下应变能的计算

1．有关应变能的两个重要概念。

（1）是否可以应用叠加原理计算应变能。

下面以图14.7a所示的拉杆为例加以说明。拉杆在F1、F2同时作用下的应变能为

(F1?F2)2lF1lF1F2lF2lV????? （14.12）

2EA2EAEA2EA22而当F1、F2单独作用时（图14.7b、c），杆的应变能分别为

图14.7

F12lF22l V?1? 和 V?2?

2EA2EA显然

V??V?1?V?2

可见对图14.7a所示的情况不能用叠加原理计算应变能。其原因是这些荷载所作的功是互相影响的，即荷载除在其自身引起的位移上作功外，在其它荷载引起的位移上也要作功，所以不能将各荷载单独分析再进行叠加。这样的荷载称为属于同类型荷载。例如若先将F1作用在拉杆上，杆件有伸长?l1，则F1所作的功为

1W1?F1?l1

2在F1不卸除的情况下，再施加F2，杆件又伸长了?l2，故变力F2、常力F1所作的功为

1F2?l2 和 W3?F1??l2 2则整个加载过程外力所作的功为

11W?W1?W2?W3?F1?l1?F2?l2?F1?l2

22 W2?将上式转化为应变能则同样得到式（14.12）。其中W3就是两力所作功互相影响的结果。

（2）应变能是否与加载次序及过程有关。

对于上述的拉杆，若先施加F2再施加F1，通过类似的计算可以证明，杆件内积蓄的应变能与上述分析结果一样，当然也与F1、F2同时作用时一样。可见，积蓄在弹性体内的弹性应变能只决定于弹性体变形的最终状态，或者说只决定于作用在弹性体上的荷载和位移的最终值，与加载的先后次序无关。 2．组合变形时的应变能

如果作用在杆件上的某一荷载作用方向上，其它荷载均不在该荷载方向上引起位移，则前一荷载与其它荷载将属于不同荷载类型，则仍可应用叠加原理计算应变能，即是说，可以单独计算前一荷载作用下杆件的应变能，单独计算其它荷载作用下杆件的应变能，然后叠加得出杆件的总的应变能。组合变形时的应变能就属于这种情况。

图14.8所示的微段杆是从处于拉、弯、扭组合变形下的圆杆中取出的，其长度为dx，横截面上的轴力FN(x)、弯矩M(x)和扭矩Mx均只在各自引起的位

移d(?l)、d?和d?上作功，各类荷载所作的功互相没有影响，故微段杆内的应变能可用叠加原理计算，即

图14.8

111dV??dW?FN(x)?d(?l)?M(x)?d??Mx(x)?d?

222

22FN(x)dxM2(x)dxMx(x)dx ???2EA2EI2GIP整个圆杆的应变能则为

22FN(x)dxMx(x)dxM2(x)dxV???+? （14.13） ??lll2EA2EI2GIP2.5 应变能的普遍表达式

以上讨论了杆件在基本变形和简单组合变形下应变能的计算，现在研究更普遍的情况。

设有n个广义力F1、F2、…、Fn作用在如图14.9所示的物体上，且设物体的约束条件足以使它只会发生由于变形引起的位移，不会发生刚体位移。?1、?2、…、?n表示荷载沿各自作用方位上的广义位移（图14.9）。由前面的分析我们已经知道，弹性体在变形过程中积蓄的应变能，只决定于作用在弹性体上的荷载和位移的最终值，与加载的先后次序无关。于是，不管实际加载的情况如何，在计算应变能时，为计算方便起见，可以假设这些荷载按同一比例从零开始逐渐增加到最终值，则弹性体的应变能等于各广义力在加载过程中所作功的总和，即

图14.9

V????Fid?i （14.14）

i?10n?i当作用于弹性体上的荷载与其相应位移之间的关系是线性时，即物体为线弹性体，则应变能的计算式为

1V???Fi?i （14.14）

i?12n这表示线弹性体的应变能等于各荷载与其相应位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为克拉贝依隆原理。 3、 功的互等定理和位移互等定理

由前面的讨论可知，对线弹性体结构，积蓄在弹性体内的弹性应变能只决定于作用在弹性体上的荷载的最终值，与加载的先后次序无关。由此可以导出功的互等定理和位移互等定理。它们在结构分析中有重要应用。

功的互等定理又称互等功定理，是意大利的E.贝蒂（E.Betti）1872年和英国的瑞利（Rayleigh）1873年分别独立提出的，所以又称贝蒂.瑞利互等功定理。

位移互等定理又称互等位移定理， 是英国的J.C.麦克斯韦（J.C.Maxwell）于1864年提出的，又称麦克斯韦位移互等定理。

下面以一处于线弹性阶段的简支梁为例进行说明。图14.10a、b代表梁的两种受力状态，1、2截面为其上任意两截面。如图14.10a所示，F1使梁在截面1、2上的位移分别为?11和?21；在图14.10b中，当F2作用时，在截面1、2上的产生的位移则分别为?12和?22。在位移符号的角标中，第一个表示截面位置，

第二个指是由哪个力引起的。

图14.10 现在用两种办法在梁上加载，来计算F1、F2共同作用时外力的功。先施加F1再施加F2时（图14.10a），外力的功

11W1?F1?11?F2?22?F1?12

22而当先施加F2再施加F1时（图14.10b），外力的功 11W2?F2?22?F1?11?F2?21

22由于杆件的应变能等于外力的功，与加载次序无关，即V??W1?W2，所以有

F1?12?F2?21 （14.16）

这表明，第一个力在第二个力引起的位移上所作的功，等于第二个力在第一

个力引起的位移上所作的功。这就是功的互等定理（Reciprocal Theorem of Work）。

图14.10

当F1?F2时，由（14.16）式可推出一个重要的推论，即

?12??21 （14.17）

这表明，作用在方位1上的荷载使杆件在方位2上产生的位移?21，等于将此荷载作用在方位2上而在方位1上产生的位移?12。这就是位移互等定理（Reciprocal Theorem of Displaceme.nt）。

若令F1?F2=1（即为单位力），且此时用?表示位移，则有 ?12??21

由于1、2两截面是任意的，故上述关系可写为以下一般形式 ?ij??ji

即j处作用的单位力在i处产生的位移，等于i处作用的单位力在j处产生的位移。这是位移互等定理的特殊表达形式，在结构分析中十分有用。

以上分析对弹性体上作用的集中力偶显然也是适用的，不过相应的位移是角位移，所以上述互等定理中的力和位移泛指广义力和广义位移。 4、余能概念及卡氏第一定理 4.1余能

以上推出的公式均只在线弹性范围内成立。下面，我们进一步讨论非线性弹性体的应变能表达式，并介绍非线性弹性体的应变余能（简称余能）概念及表达式。

我们仍以图（14.1）所示的拉杆为例，但材料非线性弹性的，这时力F与相应的位移?的关系就是非线性的（图14.11a）。对比图14.2a，不难看出仍可用下式计算外力作的功

W??Fd? （14.18）

?图14.11a表示，外力功的大小与位移从0到?之间一段F—?曲线下的面积相当。式（14.18）是以位移作为积分变量的，若以力作为积分变量，则有

WC???dF （14.19）

F称为余功（Complementary work）。余功没有具体的物理意义，但有明确的几何意义，那就是外力从0到F之间一段F.?曲线与纵坐标轴间的面积。从图14.11a不难看出，功和余功互补为常力功。

图14.11

由于材料是弹性的，如果将加载和卸载过程中的能量损耗略去不计，则同样有与线弹性体类似的结论，即积蓄在弹性体内的应变能V?在数值上应等于外力所作的功

W??Fd? （14.20）

?同样地，余功WC与余应变能V?C在数值上也相等，即

V?C?WC???dF （14.21）

F此即为由外力余功来计算余应变能（Complementary strain energy）的表达式。

如果从拉杆中取出一个边长为1的单元体，该单元体处于单轴应力状态，上、下表面的力为F???1?1??，对于单元体而言它们是外力。与F相应的伸长量为?l???1??，于是在对拉杆加载过程中，作用在单元体上的外力功为

?w???d?

该外力功在数值上等于积蓄在单元体内的应变能，即比能v，于是

v??w???d? （14.22）

?同样地，若以应力作为积分变量，则有

vC???d? （14.23）

?式中vC称为余应变比能（density of complementary strain energy），其大小就代表?~?曲线与纵坐标轴间的面积（14.17b）。

例如，材料的应力—应变关系为??E?时，物体的应变比能和余应变比能分别为

2?323 v????d??E??03E23? vC???01?3?d?? 23E 材料在拉伸压缩时的应力—应变关系可写成??E?，显然，这时应变能和余应变能在数值上是相等的，对于线弹性体，当变形在线弹性范围内时，应变能和余应变能在数值上也是相等的。但应该注意，余功、余应变能如前述都没有明确的物理意义，只是因为它们具有与外力功一样的量纲，才把它们作为一种能量参数，而在求解非线性弹性问题时，它们非常有用。 4.2卡氏第一定理

卡氏定理（Castigliano’s Theorem），是意大利工程师卡斯蒂利亚诺（A.Castigliano ）于1873年提出的，故得其名。

我们以图14.9所示的弹性体为例来说明。设弹性体上作用有n个广义力Fi，与这些力对应的广义位移为?i，其中i?1、2、…、n，如果将弹性体的应变能V?表示为位移的函数V?(?1、?2、…、?n)，则应变能函数对某个广义位移的偏导数，等于与该位移相应的广义力，即

Fi??V? （i?1、2、…、n） （14.24） ??i这就是卡氏第一定理（First Castigliano Theorem）。下面进行证明。 现假设沿第i个作用力方向的位移有一微小增量d?i，则弹性体的应变能V?有相应的增量为

dV???V?d?i （a） ??i这时弹性体内的应变能为

V???V?d?i （b） ??i?V?代表应变能对于位移?i的变??i式中：V?可由应变能的普遍表达式（14.13）计算，

化率。

此外，由于只有沿第i个作用力方向的位移有一微小增量，沿其余作用力方向无位移变化，故外力功的增量为

dW?Fid?i （c）

前面我们已经知道，外力功在数值上等于应变能，它们的变化量也应相等，即

dV??dW 将（a）、（b）两式代入上式中，则有 Fi??V? （i?1、2、…、n） ??i 由上述证明过程可见，卡氏第一定理

同时适用于线性弹性体和非线性弹性体。 5、 卡氏第二定理及其应用 5.1卡氏第二定理

下面仍以图14.9所示的弹性体为例来说明。根据余能的计算公式（14.21），并仿照应变能的普遍表达式（14.14），弹性体的余能V?C可写成下列形式：

V?C????idFi （14.25）

i?10nFi它是外力的函数V?C(F1、F2、…、Fn)。

现假设第i个广义力有一微小增量dFi，则弹性体的余能有相应的增量为

dV?C??V?CdFi （a） ?Fi此外，由于除Fi外其余外力均维持常量不变，故外力余功的增量为

dWC??idFi （b）

则由

dV?C?dWC

可得到

?i??V?C （14.26） ?Fi利用上式可计算非线性弹性体在广义力Fi作用方位上与Fi相应的广义位移?i。 对于线性弹性体，正如前节所述，此时的应变能与余能相等，即V??V?C，

则式（14.26）可改写为

?i??V? （i?1、2、…、n） （14.27） ?Fi这就是卡氏第二定理（Second Castigliano Ttheorem）。应用卡氏第二定理计算线性弹性体的位移很简便。 5.2卡氏第二定理的应用

在第二节中我们已经得到了各种基本变形及组合变形情况下应变能的计算式，这些式子中的内力均为外力的函数，分别代入式（14.27），便可得到各种基本变形及组合变形情况下计算位移的卡氏第二定理的应用式如下： （1）轴向拉伸或压缩杆

?V? ?i????Fi?Fi2?FNFN(x)?FN(x)(x)dx????dx ????lEAl?F2EAi??（2）扭转圆轴

?V??i????Fi?Fi?Mx2(x)dx????Mx(x)?Mx(x)dx ??l2GI??lGI?FipP??（3）平面弯曲梁

?V??i????Fi?Fi?M2(x)dx?M(x)?M(x)?dx ??l2GI??=?lEI?Fi??（4）组合变形杆件

?i??V?F(x)?FN(x)M(x)?Mx(x)M(x)?M(x)??Ndx+?xdx dx+?lEAlEIlGI?Fi?F?Fi?FiPi（5）简单桁架结构。由于桁架的每根杆件均受均匀拉伸或压缩，若桁架共有n根

杆件，故

nFl?F?V???NiiNi ?i??Fii?1EiAi?Fi 根据卡氏定理的表达式，我们知道在计算结构某处的位移时，该处应有与所求位移相应的外力作用，如果这种外力不存在，可在该处附加虚设的外力F，从而仍然可以采用卡氏定理求解.

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