18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 三 直线的参数方程

[对应学生用书P27]

1．直线的参数方程

??x＝x0＋tcos α

(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为?

?y＝y0＋tsin α?

(t为参数)

(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t的几何意义

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数． (2)当M0M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.

[对应学生用书P27]

[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．

[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．

3

[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，

4334

则tan α＝，sin α＝，cos α＝.

455又点P(1,1)在直线l上，

直线的参数方程 1

4x＝1＋t，??5

所以直线l的参数方程为?3

y＝1＋t??5

(t为参数)．

因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上． 4

由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.

5

理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0

的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．

5π

1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．

6

5π

x＝2＋tcos ，??6

的参数方程为?5π

y＝－4＋tsin??6

解析：直线l

(t为参数)，即

3

?x＝2－t，?2?1y＝－4＋t??2

(t为参数)．

3

?x＝2－t，?2答案：?

1

y＝－4＋t??2

(t为参数)

π

2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间

4的距离．

2

?x＝3＋t，?2

解：设直线的参数方程为?

2

y＝4＋t，??2

2

将它代入已知直线3x＋2y－6＝0， 得3(3＋

22

t)＋2(4＋t)＝6. 22

112

解得t＝－，

5112

∴|MP0|＝|t|＝.

5

π

[例2] 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，

6(1)写出直线l的参数方程．

(2)设l与圆x＋y＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．

π[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，

6π

x＝1＋tcos，??6

∴直线的参数方程为?π

y＝1＋tsin，??63

?x＝1＋t，?2即?

1y＝1＋t??2

2

2

直线参数方程的应用

为所求．

(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为

A(1＋3131

t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)， 2222

2

2

2

以直线l的参数方程代入圆的方程x＋y＝4整理得到t＋(3＋1)t－2＝0，① 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.

3

求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数

t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．

π22

3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x＋y＝7相交于A、B两点．

6(1)求弦长|AB|； (2)求A、B两点坐标．

解：∵直线l通过P－4,0)，倾斜角α＝π

0(6，

?x＝－4＋3

t∴可设直线l的参数方程为??

2

，??y＝t2.

代入圆方程，得(－4＋32t)2＋(12

2t)＝7. 整理得t2

－43t＋9＝

设A、B对应的参数分别t1和t2， 由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22

－4t1t2＝23.

解得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程 ??x＝－4＋3

t，?2??y＝12t，

得A点坐标(133532，2)，B点坐标(－2，2

)．

4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为43，直线l和抛物线y2

＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：

(1)P，M间的距离|PM|； (2)点M的坐标．

4

解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为4

3，

设直线l的倾斜角为α，则tan α＝4

3，

cos α＝34

5，sin α＝5，

∴直线l的参数方程的标准形式为 ??x＝2＋3

t，?5t为参数)． *

??y＝45t

(∵直线l和抛物线相交，

∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2

＝2x中， 整理得8t2

－15t－50＝0，Δ＝152

＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，

由根与系数的关系得t＋t152512＝8，t1t2＝－4.

由M为线段AB的中点， 根据t的几何意义，得|PM| ＝?

?t1＋t2?2???＝1516

.

(2)因为中点M所对应的参数为t＝15

M16，

将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， ??x＝2＋315415×16＝16，得??

?41??y＝4153

?16，34???

.

5×16＝4，

即M

[对应学生用书P28]一、选择题

5

tx＝－1＋，?2?

1．直线的参数方程为?

3

y＝2－t，??2

动点，则t的几何意义是( )

A．有向线段M0M的数量 B．有向线段MM0的数量 C．|M0M| D．以上都不是

M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和

??x＝－1＋

解析：参数方程可化为?

3

y＝2＋??2

答案：B

?x＝3t＋2，?

2．曲线的参数方程为?2

??y＝t－1

2

1

－2－t－t，

(t是参数)，则曲线是( )

B．双曲线的一支 D．射线

A．线段 C．圆

2

2

解析：由y＝t－1得y＋1＝t，代入x＝3t＋2， 得x－3y－5＝0(x≥2)．故选D. 答案：D

??x＝2＋3t，

3．直线?

?y＝－1＋t?

2

(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )

B.10 D．22

A．1 C．10

解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即

答案：B

??x＝tcos α，

4．若直线?

?y＝tsin α?

－

2

＋－1－

2

＝10.

??x＝4＋2cos φ，

(t为参数)与圆?

?y＝2sin φ?

(φ为参数)相切，那

6

么直线倾斜角α为( )

A.C.π 6π 3

B.D.π 4π5π或 66

解析：直线化为＝tan α，即y＝tan α·x， 圆方程化为(x－4)＋y＝4， ∴由|4tan α|

12

＝2?tanα＝， 2

3tanα＋1

3π5π

，又α∈[0，π)，∴α＝或. 366

2

2

yx∴tan α＝±答案：D 二、填空题

2

?x＝2＋t，?2

5．直线?

2

y＝－3－t??2点的坐标是________．

(t为参数)上到点M(2，－3)的距离为2且在点M下方的

2

?x＝2－－t，?2

解析：把参数方程化成标准形式为?

2

y＝－3＋－t，??2

把－t看作参数，所

求的点在M(2，－3)的下方，所以取－t＝－2，即t＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．

答案：(3，－4)

??

6．若直线l的参数方程为?4

y＝??5t

x＝1－t，

3

5

(t为参数)，则直线l的斜率为______．

34

解析：由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝.(θ为倾斜角)．

554

∴tan θ＝－，即为直线斜率．

3

7

4

答案：－

3

??x＝1－2t，

7．已知直线l1：?

?y＝2＋kt?

??x＝s，

(t为参数)，l2：?

?y＝1－2s?

(s为参数)，若l1∥l2，

则k＝____________；若l1⊥l2，则k＝________.

解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得

l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0， k24＋kl1∥l2?＝≠?k＝4.

2

1

1

kl1⊥l2?(－2)·(－)＝－1?k＝－1.

2

答案：4 －1 三、解答题

??x＝5＋3t，

8．设直线的参数方程为?

??y＝10－4t

(t为参数)．

(1)求直线的普通方程；

(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t＝得y＝10－

x－5

3

代入y的表达式 ，

x－

3

化简得4x＋3y－50＝0，

所以直线的普通方程为4x＋3y－50＝0. 3

x＝5－－5t，??5

(2)把参数方程变形为?4

y＝10＋－5t，??53

x＝5－t′，??5

令t′＝－5t，即有?4

y＝10＋t′??5

2

(t′为参数)为参数方程的标准形式．

9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的

4

x2

8

长度．

π

解：因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为. 4

2

?x＝3＋t，?2

3，0)，直线l的参数方程为?

2y＝??2t椭圆＋y＝1的右焦点为(4

x2

2

(t为

2?2?

?3＋t?

2??2?2x?2

参数)，代入椭圆方程＋y＝1，得＋?t?＝1，

44?2?

2

整理，得5t＋26t－2＝0. 设方程的两实根分别为t1，t2， 262

则t1＋t2＝－，t1·t2＝－，

55|t1－t2|＝＝ 2

t1＋t2

2

－4t1t2

?26?288

?－?＋＝， ?5?55

8

所以弦AB的长为.

5

??x＝1＋4cos θ，

10．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

?y＝2＋4sin θ?

(θ为参数)，

π

直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.

3

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)曲线C：(x－1)＋(y－2)＝16， 1x＝3＋t，?2?直线l：?

3

y＝5＋t??2

2

2

(t为参数)．

(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t＋(2＋33)t－3＝0，

设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.

2

9

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