人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷

人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长

_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明

CAI?BAJ ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求出x，即可求出AF的长.

【详解】

解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J

在CAE和BAD中

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴CAE?BAD

∴ICA ABJ

∠=∠

∴BFE CAB

∠=∠（8字形）

∴°

120

CFD

∠=

在CAI和BAJ中

°90

ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=?

∴CAI ?BAJ

,AI AJ CI BJ ==

∴°60CFA AFJ ∠=∠=

∴°30FAI FAE ∠=∠=

在RtAIF 和RtAJF 中

°30FAI FAE ∠=∠=

∴12

IF FJ AF ==

设FJ x = 7,4CF BF ==

则47x x +=-

3

2x ∴=

2AF FJ =

AF ∴=

3

【点睛】

此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.

2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，

,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．

【答案】30°

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD

∠的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，

∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得

∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．

【详解】

解：∵AB AC

=，82

BAC

∠=?，∴

180

49

2

BAC

ABC

?-∠

∠==?，

∵38

DBC

∠=?，∴493811

ABD

∠=?-?=?，

作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，

∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，

∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，

又∵AB=AC，EA=EA，

∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=

1

30

2

BEC

∠=?，

∴∠ADB=30°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作

点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．3．如图，BD是ABC的角平分线，AE BD

⊥，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若50

C

∠=?，设ABC x CDE y

∠=?∠=?

,，则y关于x的函数表达式为

_____________．

【答案】80

y x

=-

【解析】

【分析】

根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出BED

∠的度数即可得到y关于x的函数表达式．

【详解】

∵BD是ABC

?的角平分线，AE BD

⊥

∴

11

22

ABD EBD ABC x

∠=∠=∠=?，90

AFB EFB

∠=∠=?

∴

1

90

2

BAF BEF x

∠=∠=?-?

∴AB BE

=

∴AF EF

=

∴AD ED

=

∴DAF DEF

∠=∠

∵180

BAC ABC C

∠=?-∠-∠，50

C

∠=?

∴130

BAC x

∠=?-?

∴130

BED BAD x

∠=∠=?-?

∵CDE BED C

∠=∠-∠

∴1305080

y x x

?=-?-?=?-?

∴80

y x

=-，

故答案为：80

y x

=-．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．

4．已知如图，每个小正方形的边长都是123

1,,, ....

A A A都在格点上，

123345567

,, ....

A A A A A A A A A都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123

A A A

△的三个顶点坐标为()()()

123

2,0,1,1,0,0

A A A

-,则依图中规律,则

19

A的坐标为 ___________

【答案】()

8,0

-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA19=9-1=8,

∴19

A的坐标为()

8,0

-

故答案是()

8,0

-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键

5．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________

【答案】2.25或3

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，

BP=CP=1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若

△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出

96

3

vt

vt t

?

?

-

?＝

＝

，解得：v=3．

【详解】

解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，

若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），

∵点Q的运动速度为3厘米/秒，

∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），

∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；

若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，

则有

96

3

vt

vt t

?

?

-

?＝

＝

，

解得：v=3

∴v的值为：2.25或3厘米/秒

故答案为：2.25或3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

延长BM 至G ，使MG ＝BM ，连接FG 、DG ，证明△BME ≌△GMF （SAS ），得出FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，证出AB ＝FG ，证明△DAB ≌△DFG （SAS ），得出DB ＝DG ，由等腰三角形的性质即可得DM ⊥BM ，由五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积，可求解．

【详解】

延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG

，如图所示：

∵M 为EF 中点，

∴ME ＝MF ，

在△BME 和△GMF 中，

BM MG BME GMF

ME MF =??∠=∠??=?

， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），

∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，

∴FG ∥BE ，

∴∠C ＝∠GFC ，

∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，

∴∠A ＝∠DFG ，

∵AB ＝BE ，

∴AB ＝FG ，

在△DAB和△DFG中，

AB FG

A DFG

AD DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△DAB≌△DFG（SAS），

∴DB＝DG

，S△DAB＝S△DFG，

∵MG＝BM，

∴DM⊥BM，

∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝

1

2

×BG×DM＝

1

2

×8×3＝12，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．

7．如图，已知30

AOB

∠=?，点P在边OA上，14

OD DP

==，点E，F在边OB上，PE PF

=.若6

EF=，则OF的长为____.

【答案】18

【解析】

【分析】

由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB 于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.

【详解】

如图所示，作

DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.

∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，

∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，

∴∠NPD=∠DPO=30°，

∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，

∴△PND≌△PMD，

∴ND=7，

∵EF=6，

∴DF=ND-NF=7-3=4，

∴OF=DF+OD=14+4=18.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.

【答案】20°或40°

【解析】

【分析】

过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则

BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得

∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=1

2

（180°-∠C'PQ）=90°-

1

2

θ，分三种情况讨论，利

用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】

如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，

由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，

∴BP平分∠A'PC，

又∵∠C=∠C'=30°

，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，

∴∠BPQ=1

2

（180°-∠C'PQ）=90°-

1

2

θ，

分三种情况：

①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，

∴90°-1

2

θ+2×（30°+θ）=180°，

解得θ=20°；

②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，

即90°-1

2

θ=30°+θ，

解得θ=40°；

③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-1

2θ，

又∵∠BQP=30°+θ，

∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-1

2

θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），

故答案为：20°或40°．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．

【答案】8cm.

【解析】

【详解】

解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=6cm，DE=2cm，

∴DM=4，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=36°，

∴NM=2，

∴BN=4，

∴BC=8．

10．如图，D为ABC

?内一点，CD平分ACB

∠，BD CD

⊥，A ABD

∠=∠，若8

AC=，5

BC=，则BD的长为_______.

【答案】1.5

【解析】

【分析】

延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的

长，再根据A ABD

∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.

【详解】

延长BD交AC于点E，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC=∠EDC=900，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD

又∵CD=CD

∴△BCD≌△ECD

∴BD=ED,CE=BC=5，

∴AE=AC-CE=8-5=3，

∵A ABD

∠=∠,

∴BE=AE=3，

∴BD=1.5

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，已知：30

MON

∠=?，点

1

A、

2

A、

3

A…在射线ON上，点

1

B、

2

B、

3

B…在

射线OM上，

112

A B A

△、

223

A B A

△、

334

A B A

△…均为等边三角形，若

1

1

2

OA=，则667

A B A的边长为( )

A．6 B．12 C．16 D．32

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理

求∠OB 1A 1

=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=12，得出△A 1B 1A 2的边长为12

，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．

【详解】

解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，

∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，

∵∠MON=30°，

∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，

∴∠MON=∠OB 1A 1，

∴B 1A 1=OA 1=12

， ∴△A 1B 1A 2的边长为

12

， 同理得：∠OB 2A 2=30°， ∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=

12+12

=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1， 同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．

故选：C ．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．

12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ?的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）

A ．90α+

B ．1902α+

C ．180α-

D ．1802α-

【答案】D

【解析】

【分析】

过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.

【详解】

解：

过P点作OB的对称点1P，过P作OA的对称点2P,连接12

PP，交点为M,N，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP和△2

PMP为等腰三角形.

此时∠12

P PP=180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠

12

P PP-x°）

所以 x°=180°-2α

【点睛】

求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键.

13．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；

②CM＝CN；③MN∥

AB；④∠AOB＝120o；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是

（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意易证：△ACE?△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE?△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ?△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，

即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120o；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．

【详解】

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴AC=DC ，CE=CB ，∠ACE=∠DCB=120°，

∴△ACE ?△DCB(SAS)

∴AE ＝BD ，

∴①正确；

∵△ACE ?△DCB ，

∴∠CAE=∠CDB ，

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ，

在△ACM 和△DCN 中，

∵60CAE CDB AC DC

ACD DCE ∠=∠??=??∠=∠=??

∴△ACM ?△DCN （ASA ）,

∴CM ＝CN ，

∴②正确；

∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，

∴△MCN 是等边三角形，

∴∠MNC=60°，

∴∠MNC=∠BCE ，

∴MN ∥AB ，

∴③正确；

∵△ACE ?△DCB ，

∴∠CAE=∠CDB ，

∵∠AMC=∠DMO ，

∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ， 即：∠ACM=∠DOM=60°，

∴∠AOB ＝120o，

∴④正确；

作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图， 在△ACG 和△DCH 中，

∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=??∠=∠??=?

∴△ACG ?△DCH （AAS ），

∴CG =CH ，

∴OC 平分∠AOB ，

∴⑤正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.

14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△

ABD的周长为（）

A．16 B．18 C．20 D．24

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.

【详解】

解：∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，BC=2CE=8

又∵AABC的周长为24，

∴AB+BC+AC=24

∴AB+AC=24-BC=24-8=16

∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

15．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结

论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第4

3

秒或第

8

3

秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．

②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；

④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．

【详解】

①在等边△ABC中，AB=BC．

∵点P、Q的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

∴BP=CQ．

只有当CM=CQ时，BP=CM．

故①错误；

②∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵

AB CA

ABQ CAP AP BQ

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）．

故②正确；

③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

故③正确；

④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，

当∠PQB=90°

时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ ，即4-t=2t ，t=

43

， 当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP ，得t=2（4-t ），t=8

3， ∴当第

43

秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形． 故④正确．

正确的是②③④，

故选C ． 【点睛】 此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．

16．已知：如图，ABC ?、CDE ?都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ?是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ?△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；

③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ?,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ?的形状；

④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ?△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ?,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.

【详解】

①正确，理由如下：

∵ACB DCE α∠=∠=,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

即∠ACD=∠BCE,

又∵CA=CB,CD=CE,

∴ACD BCE ?△△(SAS),

∴AD=BE,

故①正确；

②正确，理由如下：

由①知，ACD BCE ?△△，

∴∠CAD=∠CBE,

∵∠DOB 为ABO 的外角,

∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,

∴∠CBA+∠BAC=180°-α,

即∠DOB=180°-α,

故②正确；

③错误，理由如下：

∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,

∴AM=

12AD,BN= 12

BE, 又∵由①知，AD=BE,

∴AM=BN,

又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,

∴CAM CBN ?(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,

∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,

∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,

∴MCN △不是等边三角形，

故③错误；

④正确，理由如下：

如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，

由①知，ACD BCE ?△△，

∴∠CEO=∠CDP ,

又∵CE=CD,EO=DP ,

∴CEO CDP ?(SAS),

∴∠COE=∠CPD,CP=CO,

∴∠CPO=∠COP ,

∴∠COP=∠COE,

即OC 平分∠AOE,

故④正确；

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.

17．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（

）

A ．12

B ．16

C ．24

D ．32 【答案】A

【解析】

【分析】 连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM+MD 的最小值，再根据三角形的周长求出AD 的长，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD ，

∵△

ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∵△CDM周长的最小值为8，

∴AD=8-1

2

BC=8-2=6

∴S△ABC=1

2

BC?AD=

1

2

×4×6=12，

故选A．

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

18．如图，已知等边△ABC的面积为43， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（）

A．3B．23C．15D．4

【答案】B

【解析】

如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，

设等边△ABC的边长为x，则高为

3

2

x，

∵等边△ABC的面积为3，

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