中考数学压轴题 - 2008~2010

2008_中考数学专题复习压轴题

1.（2008年四川省宜宾市）

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

?b4ac?b2?（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,4a??）

??2

.

2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点

的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，23)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S； (1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由. y y B B C C O O x T A x T A

?3. （08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的

中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

1

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

A D P B H Q

R E C

4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A N C P 图 3

5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=B

D 图 2 M O B P C B

图 1

C N M O A N M O

k(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ； （2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明x四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由. 2

y A O B 图1 P A x B Q O 图2 6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3，若存在，请求出符4 7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a?b，k?0)，第(1)

题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

3

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

1，求BE2?DG2的值． 2

8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t?0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）

为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积； ②当2?t?4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存．．AB．．

在点P，使?PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，

请说明理由．

9.(2008山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

4

10.(2008山东烟台)如图，抛物线L1:y??x2?2x?3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.

11.2008淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程． （2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？ （3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2

5

①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸??都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示．

开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸?．已知标准纸的短边长为a． ．．．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B?处，铺平后得折痕AE； 第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．

则AD:AB的值是 ，AD，AB的长分别是 ， ． （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M?90?，MN?MQ?2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

A B?

4开

a

2开

8开 16开 图1

D F

A E

H

D G

B

E 图2

C

B

F 图3

C

13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

D M C N

A E F B

14．（2008山东威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y?（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式．

友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）

6

y A B O x k

的图象上． x

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标 y Q1 为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平

移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1， Q 2 则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ． P1 1

O 1 2 3 P x

15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

y

C

A B x

M O

7 D

16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)．动点

2秒时，动点P从点A出发以相等的速3度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动

（1）用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t?1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标； （4） 连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC 能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

8

y C Q O P 图1

A x D B C y B E Q O 图2 P A x

17.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y?ax2?23x?c(a?0)经过A，B，C三点． 3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

9

y A C O F B x 图16

18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y?轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点

2A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax?bx?c过点A，E，D．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y E A B

10

F C D O x

19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y??相交于点B，点C，直线y??323x?3与x轴交于点A，点B，与直线y??x?b443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=5. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；

（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S?QMN，△QNR的面积S?QNR，求S?QMN∶S?QNR的值.

11

21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2?(m?2)x?n?1?0的两根: (1) 求m，n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l`分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是，求出定值，若不是，请说明理由

11?的值是否为定值，若CMCNC M A D O B N L`

22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

12

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

?b4ac?b2?（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,4a??）

??2

23.(天津市2008年)已知抛物线y?3ax2?2bx?c，

（Ⅰ）若a?b?1，c??1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若a?b?1，且当?1?x?1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（Ⅲ）若a?b?c?0，且x1?0时，对应的y1?0；x2?1时，对应的y2?0，试判断当0?x?1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

24.(2008年大庆市)

如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．

（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

D D C F 13 G

A

F

E B G

A

B

E

C

.

25. （2008年上海市）已知AB?2，AD?4，?DAB?90?，AD∥BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE?x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

D D A A

M C B B E C

备用图 图13

26. （2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的23km处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

??? 14

北 东 B 甲村 A M C 乙村 D 图① E A F 甲村 M C 乙村 D 图② E B F 30? O 30? O

27. （2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

B B P P A Q 图①

C A 图② Q C P?28. （2008年江苏省南通市）已知双曲线y?n）（在A点左侧）是双曲线y?线y?

k1与直线y?x相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，x4k上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲xk于点E，交BD于点C. x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.

15

29. （2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

图1

压轴题答案

?c?31. 解：（ 1）由已知得：?解得

?1?b?c?0?c=3,b=2

16

∴抛物线的线的解析式为y??x2?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE

111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4 222=

=9

（3）相似

如图，BD=BG?DG?1?1?2 BE=BO?OE?3?3?32 DE=DF?EF?2?4?25 222所以BD?BE?20, DE?20即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222222222222222所以?AOB??DBE?90?,且所以?AOB??DBE.

AOBO2, ??BDBE22. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)， ∴tan?OAB?23?3，

10?8 ∴?OAB?60?

当点A′在线段AB上时，∵?OAB?60?，TA=TA′， ∴△A′TA是等边三角形，且TP?TA?， ∴TP?(10?t)sin60??113(10?t)，A?P?AP?AT?(10?t)，

222y A′ C O E B P A x ∴S?S?A?TP13?A?P?TP?(10?t)2， 2823 当A′与B重合时，AT=AB=?4，

sin60?T 所以此时6?t?10.

(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，

17

纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) y 又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0) A′ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2?t?6. P E B (3)S存在最大值 C F 1当6?t?10时，S? ○

3(10?t)2， 8O T A x 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是23.

2当2?t?6时，由图○1，重叠部分的面积S?S○?A?TP?S?A?EB

∵△A′EB的高是A?Bsin60?， ∴S?313 (10?t)2?(10?t?4)2?82233(?t2?4t?28)??(t?2)2?43 88 ?当t=2时，S的值最大是43；

3当0?t?2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA′与CB的交点，F○

是TP与CB的交点)，

∵?EFT??FTP??ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴S?11EF?OC??4?23?43 22综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0?t?2. 3. 解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2??DHB??A?90?，?B??B．

?△BHD∽△BAC， DHBDBD312???AC??8?． ，?DH?ACBCBC105（2）?QR∥AB，??QRC??A?90．

???C??C，?△RQC∽△ABC， ?RQQCy10?x?，??， ABBC610 18

即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

3x?6． 5①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A

??1??2?90?，?C??2?90?，

D P B 1 M 2 H Q

R E C

??1??C．

QM484?cos?1?cosC??，??，

105QP51?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?A D B H

A D B H

E P R Q

C

P E Q R C 312x?6?， 55?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

11?CR?CE?AC?2．

24QRBA?tanC??，

CRCA3?x?6156?5?，?x?．

2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

A M O P B

图 1

C N xAN∴ AM?AN，即?．

43ABAC3∴ AN＝x． ……………2分

4∴ S=S?MNP?S?AMN?133?x?x?x2．（0＜x＜4） ……………3分 2481MN． 2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB?AC=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

B 19

M O Q D 图 2

N 22A C

xMN∴ AM?MN，即?．

45ABBC5x， 45∴ OD?x． …………………5分

8∴ MN?过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM．

BCAC55?x8?25x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?24324∴ x＝

96． 4996时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分 49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ 当x＝

∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2．

ABAP2故以下分两种情况讨论：

3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2．

8B M O P 图 3

N C ∴ 当x＝2时，y最大?323?2?. ……………………………………8分 82M E P O A ② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB．

N C B F 图 4

S?PEF?PF??∴ ?． ?ABS???ABC∴ S?PEF?232?x?2?． ……………………………………………… 9分 23392y?S?MNP?S?PEF＝x2??x?2???x2?6x?6．……………………10分

82820

929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2．

88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………11分 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． …………………………12分

3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-） m∴ 当x?(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ②可能是矩形，mn=k即可 不可能是正方形，因为Op不能与OA垂直. 解：（1）作BE⊥OA， 2∴ΔAOB是等边三角形 ∴BE=OB·sin60o=23， ∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??3,的以直线AB的解析式为 3y??3x?4 3（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,

∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO2?OP2?19 6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=23，∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??o

3, 3以直线AB的解析式为y??3x?4 3（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO2?OP2?19

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30° 21

∴GD=

1BD=23353,DH=GH+GD=+23=, 222∴GB=3373BD=,OH=OE+HE=OE+BG=2??

2222∴D(537,) 22(3)设OP=x,则由（2）可得D(23?x,2?3133 x)若ΔOPD的面积为：x?(2?x)?2224解得：x?7. 解:

?23?21?23?21所以P(,0) 33

(1)①BG?DE,BG?DE ????????????????????????2分 ②BG?DE,BG?DE仍然成立 ????????????????????1分

在图（2）中证明如下

∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形

0∴ BC?CD，CG?CE， ?BCD??ECG?90

∴?BCG??DCE?????????????????????????1分

22

∴?BCG??DCE （SAS）?????????????????????1分

∴BG?DE ?CBG??CDE

又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?900 ∴?CDE??DHO?900 ∴?DOH?900

∴BG?DE ????????????????????????????1分

（2）BG?DE成立，BG?DE不成立 ???????????????????2分 简要说明如下

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，

且AB?a，BC?b，CG?kb，CE?ka(a?b，k?0)

BCCGb??，?BCD??ECG?900 DCCEa∴?BCG??DCE

∴?BCG??DCE???????????????????????????1分

∴?CBG??CDE

∴

又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?900 ∴?CDE??DHO?900 ∴?DOH?900

∴BG?DE ?????????????????????????????1分

22222222（3）∵BG?DE ∴BE?DG?OB?OE?OG?OD?BD?GE

又∵a?3，b?2，k?1 23265 ??????????????????1分 4222222 ∴ BD?GE?2?3?1?()?22 ∴BE?DG?65 ???????????????????????????1分 48. 解：

（1）①AB?2 ?????????????????????????????2分OA?8?4，2OC?4，S梯形OABC=12 ?????????????????2分

②当2?t?4时，

直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积

23

S?12?12(4?t)?2(4?t)??t2?t8?4????????????????4分

（2） 存在 ????????????????????????????????1分

8P(?12,4),P(?4,4),P(?,4),P4(4,4),P5(8,4) ?（每个点对各得1分）??5分 1233 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D为直角顶点，作PP1?x轴

OE?2OD，?设OD?b，OE?2b.Rt?ODE?Rt?PPD?在Rt?ODE中，（图示阴影） ，1?b?4，2b?8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）

E点在0点与A点之间不可能；

② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得P点的生标为P（－

以点P为直角顶点

24

8，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能. 3

同理在③二图中分别可得P点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4）， E点在A点下方不可能.

综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－P（8，4）、P（4，4）．

8，4）、 3下面提供参考解法二：

以直角进行分类进行讨论（分三类）：

此时（D-b,o)，E(O,2b) 第一类如上解法⑴中所示图?P为直角：设直线DE：y?2x?2b，b1b3b的中点坐标为(-,b)，直线DE的中垂线方程：y?b??(x?)，令y?4得P(?8,4)．由已知

2222可得2PE?DE即2?(b?8)?(4?2b)?b?4b化简得3b2?32b?64?0解得

32222283bb1?8，b2?将之代入（P-8，4）?P（4，4)、 P1?2(?4,4)；

32此时（D-b,o)，E(O,2b) 第二类如上解法②中所示图?E为直角：设直线DE：y?2x?2b，，直线PE的方程：y??1x?2b，令y?4得P(4b?8,4)．由已知可得PE?DE即2(4b?8)2?(4?2b)2?b2?4b2化简得b2?(2b?8)2解之得 ，

b1?4，b2?48将之代入（P4b-8，4）?P3?（8，4)、P4(?,4) 33此时（D-b,o)，E(O,2b) 第三类如上解法③中所示图?D为直角：设直线DE：y?2x?2b，，直线PD的方程：y??1(x?b)，令y?4得P(?b?8,4)．由已知可得PD?DE即2 P-b-8，4）?P（-12，4)、82?42?b2?4b2解得b1?4，b2??4将之代入（5?． P6(?4,4)（P6(?4,4)与P2重合舍去）

综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－P（8，4）、P（4，4）．

事实上，我们可以得到更一般的结论：

8，4）、 3OA?h、如果得出AB?a、OC?b、设k?

b?a，则P点的情形如下 h25

直角分类情形 k?1 k?1 P1(h,h) ?P为直角 P1(?h,h) P2(?h,h) P3(?hk,h) 1?khkP4(,h) k?1?E为直角 hP2(?,h) 2P5(?h(k?1),h) ?D为直角 P3(0,h) P4(?2h,h) P6(?h(k?1),h)

9.

10.

26

11. 解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，

x?120x······································································································· 2分 ?， ·

1023解得x?180．

由题意得

?A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ······················································ 4分

（2）1.8?180?28?2?380（元），

····························· 6分 ?该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ·

（3）设这批货物有y车，

由题意得y[800?20?(y?1)]?380y?8320， ································································· 8分 整理得y?60y?416?0，

2 27

解得y1?8，y2?52（不合题意，舍去）， ········································································ 9分 ············································································································· 10分 ?这批货物有8车．

12. 解：（1）2，21······························································································ 3分 a，a． ·

44（2）相等，比值为2． ···················· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG?x，

在矩形ABCD中，?B??C??D?90?，

??HGF?90?，

??DHG??CGF?90???DGH，

?△HDG∽△GCF，

DGHG1???， CFGF2?CF?2DG?2x．············································································································· 6分 同理?BEF??CFG． ?EF?FG，

?△FBE≌△GCF，

1?BF?CG?a?x． ········································································································ 7分

4?CF?BF?BC，

12······································································································ 8分 ?2x?a?x?a， ·

44解得x?2?1a． 42?1·············································································································· 9分 a． ·

4即DG?（4）

32a， ························································································································ 10分 1612分

27?1822a． 813. 解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分 ∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH．

28

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

C D ∴ △AGD≌△BHC（HL）．

M N AB?GH7?1∴ AG＝BH＝＝3． ………2分 ?22∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4．

A B E G H F 1?7??4?∴ S梯形ABCD??16． ………………………………………………3分

2（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

C D ∴ ME＝NF，ME∥NF．

M N ∴ 四边形MEFN为矩形．

∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， A B E G H F ∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF． ……………………4分 设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分 ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA．

AEME∴ ． ?AGDG4∴ ME＝x． …………………………………………………………6分

348?7?49∴ S矩形MEFN?ME?EF?x(7?2x)???x???． ……………………8分

33?4?677当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为49．……………9分

436（3）能． ……………………………………………………………………10分

4由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝x．

3若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 4x21 即 ?7－2x．解，得 x?． ……………………………………………11分

3102∴ EF＝7?2x?7?2?2114?＜4． 105?14?196． ????525??2∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN14. 解：（1）由题意可知，m?m?1???m?3??m?1?． 解，得 m＝3． ………………………………3分

∴ A（3，4），B（6，2）；

∴ k＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．

∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，

29

y A N1 M2 O N2 B M1 x

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．

由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2）， ∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分 M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分

2设直线M1N1的函数表达式为y?k1x?2，把x＝3，y＝0代入，解得k1??．

32∴ 直线M1N1的函数表达式为y??x?2． ……………………………………8分

3②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）． ∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称． ∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分

2设直线M2N2的函数表达式为y?k2x?2，把x＝-3，y＝0代入，解得k2??，

3∴ 直线M2N2的函数表达式为y??x?2．

22所以，直线MN的函数表达式为y??x?2或y??x?2． ………………11分

33（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0)

23又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 ∴y=x2-2x-3 ············································································································· 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ···························································································· 4分

解法2：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

?a?b?c?0?a?1?? ∴?9a?3b?c?0，解之得：?b??2

?c??3?c??3??∴y=x2-2x-3 ······················································································ 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ··································································· 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=3 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ··························································· 6分

∴切线CE的解析式为y?3······························································· 8分 x?3 ·

3y

C

A E O M 30 B x

(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ······························· 9分

??y?kx?3 由题意可知方程组?只有一组解 2??y?x?2x?3 即kx?3?x2?2x?3有两个相等实根，∴k=-2 ··················································· 11分 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ························································· 12分

16.

解：（1）OP?6?t，OQ?t?y C Q O D B C Q 2． 3y B C Q E P 图3 F A x

y B D1 P 图1

A x O 图2 P A x O （2）当t?1时，过D点作DD1?OA，交OA于D1，如图1， 则DQ?QO?54，QC?， 33?CD?1，?D(1，3)．

（3）①PQ能与AC平行．

若PQ∥AC，如图2，则

OPOA?， OQOC即

1476?t6?，?t?，而0≤t≤， 2393t?331

?t?14． 9②PE不能与AC垂直．

若PE?AC，延长QE交OA于F，如图3，

则

QFOQQF???ACOC353t?23．

?2??QF?5?t??．

?3??EF?QF?QE?QF?OQ

?2??2??5?t????t??

?3??3?2?(5?1)t?(5?1)．

3又?Rt△EPF∽Rt△OCA，?PEOC?， EFOA?6?t3?，

?2?6(5?1)?t???3?7?t?3.45，而0≤t≤，

3?t不存在．

17. 解：（1）?直线y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C．

······································································································ 1分 ?A(?1，0)，C(0，?3) ·

?点A，C都在抛物线上，

??2330?a??ca????? ??3 3?c??3??3?c???抛物线的解析式为y?3223··································································· 3分 x?x?3 ·33?43?1，? ·············································································································· 4分 ?顶点F????3??（2）存在 ································································································································ 5分

32

···························································································································· 7分 P，?3) ·1(0····························································································································· 9分 P，?3) 2(2（3）存在 ······························································································································ 10分

理由： 解法一：

延长BC到点B?，使B?C?BC，连接B?F交直线AC于点M，则点M就是所求的点． ············································································································ 11分 过点B?作B?H?AB于点H．

y ?B点在抛物线y?32230) x?x?3上，?B(3，33H A C B O B x

3在Rt△BOC中，tan?OBC?，

3??OBC?30?，BC?23，

在Rt△BB?H中，B?H?M F 图9 1BB??23， 2························································· 12分 BH?3B?H?6，?OH?3，?B?(?3，?23) ·设直线B?F的解析式为y?kx?b

?3??23??3k?bk????6??43 解得?

?k?b???b??33?3??2?y?333 ··············································································································· 13分 x?623??y??3x?3x???3103?7???? ?M?，333 解得??7?7?? 103x??y????y??，62??7?

?3103??········· 14分 ?在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M???7，?． ·7??解法二：

过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交AC于点M，则点M即为所求． ······································································ 11分

y 33

A O C M G B x

过点F作FG?y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH．

??BOC??FGH?90?，?BCO??FHG

??HFG??CBO

同方法一可求得B(3，0)．

在Rt△BOC中，tan?OBC?33，??OBC?30?，可求得GH?GC?， 33?GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形，

?AC垂直平分FH．

?53?ACFH即点为点关于的对称点．?H?0，······················································ 12分

??3?? ·??设直线BH的解析式为y?kx?b，由题意得

5?k?3?0?3k?b???9 解得? 5?5b??3?b???33??3??y?553?3 ··············································································································· 13分 933?55x???3x?3?3107??y?93? 解得? ?M?，???77??y??103?y??3x?3??7?3??? ??3103???在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M???7，?． 7??1

18. 解：（1）点E在y轴上 ···································································································· 1分 理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO?3，?AO?2

?sin?AOB?1?，??AOB?30 2?由题意可知：?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30??60??90?

················································································· 3分 ?点B在x轴上，?点E在y轴上． ·

34

（2）过点D作DM?x轴于点M

?OD?1，?DOM?30?

?在Rt△DOM中，DM??点D在第一象限，

13，OM? 22?31? ····································································································· 5分 ?点D的坐标为???2，?2??由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上

2) ?点E的坐标为(0，······································································································ 6分 ?点A的坐标为(?31)， ·

?抛物线y?ax2?bx?c经过点E，

?c?2

由题意，将A(?31，)，D??31?代入y?ax2?bx?2中得 ，??22???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?853······························································· 9分 x?2 ·?所求抛物线表达式为：y??x2?99（3）存在符合条件的点P，点Q． ··················································································· 10分 理由如下：?矩形ABOC的面积?AB?BO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．

由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3

?OB边上的高为2 ·············································································································· 11分

依题意设点P的坐标为(m，2)

853x?2上 ?点P在抛物线y??x2?99

35

853??m2?m?2?2

99解得，m1?0，m2??53 8?53?，P2??P(0，2)2?1??8，?

???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ?PQ∥OB，PQ?OB?3，

y E A B F C D x O M 2)时， ?当点P1的坐标为(0，点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)；

?53?当点P2?2的坐标为???8，?时，

??点Q的坐标分别为Q3???133??33?，． ······················································· 14分 ，2Q，2??4?????8???8?（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 19. 解：（1）在y??32x?3中，令y?0 43??x2?3?0

4?x1?2，x2??2

························································· 1分 ?A(?2，0)，B(2，0) ·又?点B在y??C E y 3x?b上 4A N 3?0???b

23b?

2M D O P B x 33?BC的解析式为y??x? ··························································································· 2分

4232?y??x?3?x1??1x?2??2??4（2）由?，得? ································································ 4分 9?y1??y2?0?y??3x?3??4??42

36

9??0) ?C??1，?，B(2，4??9 ·············································································································· 5分 4199?S△ABC??4?? ······································································································· 6分

242（3）过点N作NP?MB于点P ?EO?MB ?NP∥EO

?△BNP∽△BEO ·············································································································· 7分 BNNP?? ·························································································································· 8分 BEEO?AB?4，CD?由直线y??33?3?x?可得：E?0，? 42?2?35，则BE? 22?在△BEO中，BO?2，EO?62tNP，?NP?t ····································································································· 9分 ?5352216?S??t?(4?t)

25312S??t2?t(0?t?4) ·································································································· 10分

55312S??(t?2)2? ············································································································ 11分

5512?此抛物线开口向下，?当t?2时，S最大?

512?当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

5?20. 解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中，

∵∣AB∣=35,sin∠OAB=5, 5 ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =35×5=3. 52又由勾股定理，得 AD?AB?BD 2 37

?(35)2?32?6

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（4，3）. ??3分 设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx(a≠0).

1?a?,??16a?4b??3?8??由?

?100a?10b?0?b??5.??4∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y?125x?x. ??2分 84（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C（4，-3）不是抛物线y?125x?x的顶点， 84∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .

则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于y?125x?x，令y=-3?x=4或x=6. 84∴??x1?4,?x2?6, ??y1??3;?y2??3.而点C（4，-3），∴P1(6,-3).

在四边形P1AOC中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.

∴点P1（6，-3）是符合要求的点. ??1分 ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为y?k1x. 将点C（4，-3）代入，得4k1??3.?k1??. ∴直线CO的函数表达式为y??343x. 43x?b1. 4 于是可设直线AP2的函数表达式为y??将点A（10，0）代入，得?315x?. 42315∴直线AP2的函数表达式为y??x?.

42315?y??x?.??42?x2?4x?60?0，即（x-10）由?（x+6）=0.

15?y?x2?x?84? 38

∴??x1?10,?x2??6 ??y1?0;?y2?12;而点A（10，0），∴P2（-6，12）.

过点P2作P2E⊥x轴于点E，则∣P2E∣=12. 在Rt△AP2E中，由勾股定理，得

AP2?P2E?AE?122?162?20.

22而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.

∴点P2（-6，12）是符合要求的点. ??1分 ③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得

1?k?,?10k2?b2?0?2?2 ???4k2?b2??3?b??5.?21x?5. 21∴直线OP3的函数表达式为y?x

2∴直线CA的函数表达式为y?1?y?x??2?x2?14x?0,即x(x-14)=0. 由??y?1x2?5x?84??x1?0,?x2?14,∴? ?y?0;y?7.?1?2而点O(0,0),∴P3（14，7）.

过点P3作P3E⊥x轴于点E，则∣P3E∣=7. 在Rt△OP3E中，由勾股定理，得

OP3?P3F?OF?72?142?75.

22而∣CA∣=∣AB∣=35.

∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.

∴点P3（14，7）是符合要求的点. ??1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),

使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. ??1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.

①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.

39

可设抛物线的函数表达式为y?a(x?2k)(x?5k)即y?ax2?3akx?10ak2

?a(x?3492k)2?4ak2.

如图，过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(??3??2k,0??、

N(0，-10ak2)、??3?2k,?494ak2???, ∴QO?2k,QR?7k,OG?32k,QG?72k,ON?10ak2,MG?4924ak. ?S11?QNR?2?QR?ON?2?7k?10ak2?35ak3.

?12?QO?ON?12(ON?GM)?OG?12?QG?GM?12?2k?10ak2?12?(10ak2?4923174924ak)?2k?2?2k?4a k ?12(29?15??3498??74938ak) .∴S2133?QNM:S?QNR?(4ak):(35ak)?3:20. ??2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，

同理，可得S?QNM:S?QNR?3:20. ??1分 综上所知，S?QNM:S?QNR的值为3：20. ??1分 21.解：

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

43x+2 (3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h， 设△ABC AB边上的高为H, 则利用面积法可得：

CM?hCN?h2?MN?H2?2 （CM+CN）h=MN﹒H

CM?CNH?MNh

40

（a＞0）.

M

又 H=

CM?CN

MNMN1?

CM?CNh化简可得 (CM+CN)﹒故

22. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

111?? CMCNh?c?3解得 ???1?b?c?0∴抛物线的线的解析式为y??x2?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE

111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4 222=

=9

（3）相似

如图，BD=BG?DG?1?1?2 BE=BO?OE?3?3?32 DE=DF?EF?2?4?25 222所以BD?BE?20, DE?20即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222222222222222所以?AOB??DBE?90?,且所以?AOB??DBE.

AOBO2, ??BDBE223. 解（Ⅰ）当a?b?1，c??1时，抛物线为y?3x2?2x?1， 方程3x2?2x?1?0的两个根为x1??1，x2?1． 3∴该抛物线与x轴公共点的坐标是??1······················································ 2分 ，0?和?，0?． （Ⅱ）当a?b?1时，抛物线为y?3x2?2x?c，且与x轴有公共点．

41

?1?3??

1对于方程3x2?2x?c?0，判别式??4?12c≥0，有c≤． ············································ 3分

3①当c?111时，由方程3x2?2x??0，解得x1?x2??． 333此时抛物线为y?3x2?2x?1时， 3?1?1与x轴只有一个公共点??，··································· 4分 0?． ·33??②当c?x1??1时，y1?3?2?c?1?c， x2?1时，y2?3?2?c?5?c．

1由已知?1?x?1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x??，

3应有??y1≤0，?1?c≤0， 即?

y?0.?2?5?c?0.解得?5?c≤?1．

1综上，c?或?5?c≤?1． ························································································· 6分

3（Ⅲ）对于二次函数y?3ax2?2bx?c，

由已知x1?0时，y1?c?0；x2?1时，y2?3a?2b?c?0， 又a?b?c?0，∴3a?2b?c?(a?b?c)?2a?b?2a?b． 于是2a?b?0．而b??a?c，∴2a?a?c?0，即a?c?0．

∴a?c?0． ······················································································································· 7分 ∵关于x的一元二次方程3ax2?2bx?c?0的判别式

??4b2?12ac?4(a?c)2?12ac?4[(a?c)2?ac]?0，

∴抛物线y?3ax2?2bx?c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方． ································· 8分 又该抛物线的对称轴x??b， 3ay 由a?b?c?0，c?0，2a?b?0， 得?2a?b??a， 1b2∴???． 33a3O 1 x 又由已知x1?0时，y1?0；x2?1时，y2?0，观察图象，

42

可知在0?x?1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点． ················································ 10分

24. 解：（1）∵点F在AD上， ∴AF?2a， ∴DF?b?2a，

1112DFAB?×(b?2a)×b?b2?ab. 2222（2）连结AF， 由题意易知AF∥BD，

∴S△DBF?∴S△DBF?S△ABD?b2.

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆.

第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值；

因为△BFD的边BD?122b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值.

如图②所示CF2?BD时，

S△BFD的最大值=S△BF2D?2b?b2?2ab1?2b???2a??,

??22?2??2b?b2?2ab1?2b??,

?2?2a???22??S△BFD的最小值=S△BF2D第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值；

b2?2ab.（如果答案为4a2或b2也可） S△BFD的最大值=

2 D C

O F E F1 B G A F2 25. 解：（1）取AB中点H，联结MH，

?M为DE的中点，?MH∥BE，MH?1(BE?AD)． ···································· （1分） 2又?AB?BE，?MH?AB． ·················································································· （1分）

?S△ABM?11AB?MH，得y?x?2(x?0)； ············································ （2分）（1分） 22(x?4)2?22． ········································································ （1分）

（2）由已知得DE??以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

43

1111AB?DE，即(x?4)??2?(4?x)2?22?．····························· （2分）

?2222?44解得x?，即线段BE的长为； ············································································· （1分）

33（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似， 又易证得?DAM??EBM． ······················································································ （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①?ADN??BEM；②?ADB??BME． ①当?ADN??BEM时，?AD∥BE，??ADN??DBE．??DBE??BEM． ?DB?DE，易得BE?2AD．得BE?8；···························································· （2分） ②当?ADB??BME时，?AD∥BE，??ADB??DBE． ??DBE??BME．又?BED??MEB，?△BED∽△MEB． DEBE1222??2?(x?4)2?22?(x?4)2． ，即BE?EM?DE，得x?BEEM2?MH?解得x1?2，x2??10（舍去）．即线段BE的长为2． ············································· （2分） 综上所述，所求线段BE的长为8或2．

26. 解：方案一：由题意可得：MB?OB，

············································································ （1分） ?点M到甲村的最短距离为MB． ·

?点M到乙村的最短距离为MD．

?将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB铁路建设的长度之和最小．

即最小值为MB?MD?3?23． ·············································································· （3分）

方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M?，则MM??2ME，连接AM?交OE于点P，则

1AM． 2?AM?2BM?6，?PE?3． ················································································ （4分） 在Rt△DME中，

∥PE ?DE?DM?sin60??23?113?3，ME?DM??23?3，

222?PE?DE，?P，D两点重合．即AM?过D点． ················································· （6分）

在线段CD上任取一点P?，连接P?A，P?M，P?M?，则P?M?P?M?． ?AP??P?M??AM?，

?把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小．

即最小值为AD?DM?AM?? O

AM2?MM?2?62?(23)2?43． ············ （7分）

北 东 M? F B 甲村 A F G B G?M

A O N H M E 30? C P?P D E

30? 44 C N? D M?

(第25题答案图①)

(第25题答案图②)

方案三：作点M关于射线OF的对称点M?，连接GM，则GM??GM．

N?OE于点N，交OF于点G，交AM于点H， 作M??M?N为点M?到OE的最短距离，即M?N?GM?GN．

HM中，?MM?N?30?，MM??6， 在Rt△M??MH?3．?NE?MH?3．

?DE?3，?N，D两点重合，即M?N过D点．

DM中，DM?23，?M?在Rt△M?················································ （10分） D?43．·

在线段AB上任取一点G?，过G?作G?N??OE于点N?，连接G?M?，G?M．

D． 显然G?M?G?N??G?M??G?N??M??把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小．

即最小值为GM?GD?M?···································································· （11分） D?43． ·综上，?3?23?43，?供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短． ········ （12分）

27. 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm ∴AP＝（5－t）cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝∴当t为

10 710秒时，PQ∥BC 7??????2分

（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD＝AB∶BC ∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝∴△APQ的面积：

6t 5116×AP×QD＝（5－t）×t 22532∴y与t之间的函数关系式为：y＝3t?t

5??????5分

（3）由题意：

2 当面积被平分时有：3t?t＝

35115?5××3×4，解得：t＝ 222 45

当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1 ∴不存在这样t的值

??????8分

（4）过点P作PE⊥BC于E

1QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝

2∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝45t

∵QC＝4－2t，∴2×45t＝4－2t,解得：t＝109

∴当t＝109时，四边形PQP′C为菱形

此时，PE＝8279，BE＝3，∴CE＝3

在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝PE2?CE2＝(8)2?(7250593)＝9∴此菱形的边长为5059cm ??????12分

28. 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y?14x中，得y＝－2. ∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2） 从而k＝8×2＝16 （2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上, ∴mn＝k，B（－2m，－

n2），C（－2m，－n），E（－m，－n） S，S1111矩形DCNO＝2mn＝2k△DBO＝2mn＝2k，S△OEN＝2mn＝2k.

∴S矩形OBCE＝S矩形DCNO―S△DBO―S△OEN＝k.∴k＝4. 由直线y?14x及双曲线y?4

x

，得A（4，1），B（－4，－1） ∴C（－4，－2），M（2，2）

设直线CM的解析式是y?ax?b，由C、M两点在这条直线上，得

???4a?b??2，解得a＝b＝2?2a?b?23 ∴直线CM的解析式是y＝

23x＋23. 46

10分

??????

（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是p?

MAA1M1a?m， ??MPM1Om同理q?MBm?a? MQma?mm?a

－＝－2 mm

∴p－q＝

29. 解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角

302?152?31，每个转发装置都能完全覆盖一个小线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为?正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．

························· （3分）（图案设计不唯一）

（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?DG?CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE?x，则ED?30?x，DH?15．

2222由BE?DG，得x?30?15?(30?x)，

21222515?15??x??，?BE????302?30.2?31，

604?4?即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ·················································· （6分）

或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形

的

对

角

线

交

点

处

，

则

AE?312?302?61，

DE?30?61，

?DE?(30?61)2?152≈26.8?31，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．

（6分）

要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的?O去

覆盖边长为30的正方形ABCD，设?O经过A，B，?O与AD交于E，连BE，则

AE?312?302?61?15?1AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD． 2所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． ······································ （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．

E A D A E D A D

O B

图1

C

B

F 图2

H

47

O B F 图3

C

30解：（1）OH?1；k?

323，b?． 33（2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．

?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN． 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1，0)，N(5，0)．

?D(2，0)，?ED?DN?3．?E的坐标为(2，3)．

把E(2，3)代入抛物线解析式，得a??．

13y 1?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)．

31245即y??x?x?．

333②若DN为等腰直角三角形的斜边， 则DE?EN，DE?EN．

?E的坐标为(3.51.5)，．

把E(3.51.5)，代入抛物线解析式，得a??P A C H M O B ?2D N x

2． 922810?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)，即y??x2?x?

999911245当a??时，在抛物线y??x?x?上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的

3333E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E?(3.5，1.5)，显

1245145x?x?上，因此抛物线y??x2?x?上没有符合条件的其他的E点． 333333222810当a??时，同理可得抛物线y??x?x?上没有符合条件的其他的E点．

9999145当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时，

333然E?不在抛物线y??

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?△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45?．

又??NPG??BPO，?△NPG∽△BPO．

?PGPN?，?PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102． POPB2810当E的坐标为(3.51.5)，，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时，

999同理可证得：PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102

31. 解：（1）如图所示： ········································································································ 4分 A A

??10080

B C B C

（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ············································ 6分

若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ················································································································································· 8分 （3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）． ····························································································· 10分 M G 理由如下：

由?HEF??HEG??GEF?47.8?35.1?82.9，

???H ?EHF?50.0?，?EFH?47.1?，

故△EFH是锐角三角形，

所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，

设此外接圆为?O，直线EG与?O交于点E，M，

??则?EMF??EHF?50.0?53.8??EGF．

?49.8 ?32.4 53.8? 50.0? 44.0? 47.1? ?47.8?35.1 F

E

故点G在?O内，从而?O也是四边形EFGH的最小覆盖圆． 所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．

································································································ 12分

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