2014年高考导数压轴题汇编

20．（本小题满分13分） 解：

3a?x?a?1-,当x??2a,或x?a时，是单调递增的。??x?2ax?2aa?0,f(x)??

?x?a3a??-1?,当?2a?x?a时，是单调递减的。?x?2a?x?2a（Ⅰ）由上知，当a?4时，f(x)在x?[0,4]上单调递减，其最大值为f(0)?-1?3a?1

2a2 当a?4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增。令f(4)?1-3a1?f(0)?,解得：a?(1,4],即当a?(1,4]时，g(a)的最大值为f(0); 4?2a2当a?(0,1]时，g(a)的最大值为f(4)

3a?1-,当a?(0,1]时??4?2a 综上，g(a)???1,当a?(1,??)时??2（II）由前知,y=f（x）的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且f'(x1)?f'(x2)??1.

?3a?(x?2a)2,当x??2a,或x?a时? ??3af'(x)??,当?2a?x?a时2(x?2a)??0?a?4??不妨设

3a?3a???1,x1?(0,a),x2?(a,8]?3a?(x1?2a)(x2?2a)

(x1?2a)2(x2?2a)22?3a?2ax2?4a2?a 3a?2ax2?4a?0??0?x1x2?2a(x1?x2)?4a2?3a?x1???x2?2ax2?2a?a?x?82??0?3?2x2?4a?2x2?3?4a?2?4a?3?4a11?????1?x2?2a??2?4a?2x2??2a?3?4a?a?，且0?a?4?a?(0,)

32?a?x?8?2a?2x?16?2?4a?1622???所以,当a?(0,)时,函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.

21．（本小题满分14分）

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解：（Ⅰ）依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∴PQ?QF．

故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2?4py(p?0)． （Ⅱ）设M(m,?p)，两切点为A(x1,y1)，B(x2,y2) 由x2?4py得y?121x，求导得y??x．

2p4p11x1(x?x1) ①x2(x?x) y?y2? 2②2p2p112x1(m?x1)，又y1?x1, 2p4p∴两条切线方程为y?y1?对于方程①，代入点M(m,?p)得，?p?y1?∴?p?121x1?x1(m?x1)整理得：x12?2mx1?4p2?0， 4p2p2同理对方程②有x2?2mx2?4p2?0，即x1,x2为方程x2?2mx?4p2?0的两根．

∴x1?x2?2m,x1x2??4p2 ③

2y2?y1x2?x121设直线AB的斜率为k，k???(x1?x2)，

x2?x14p(x2?x1)4px121所以直线AB的方程为y??(x1?x2)(x?x1)，展开得：

4p4py?xx1(x1?x2)x?12，代入③得： 4p4pmx?p，∴直线恒过定点(0,p)． 2py?（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）的结论，设M(m,?p)，A(x1,y1)，B(x2,y2) ， 且有x1?x2?2m,x1x2??4p， ∴kMA?2y1?py?p,kMB?2 ， x1?mx2?m

∴x?mx2?mx1?mx?m4p(x1?m)4p(x2?m)11 ??2?22?2?2???1x2y1?py2?px1x1?4p2x2?4p2kMAkMB?p?p4p4p=

4p(x1?m)4p(x2?m)4p(x1?m)x2?4p(x2?m)x14pm4pmm， ??????222x1?x1x2x2?x1x2x1x2(x1?x2)x1x2?4pp1kMF?mm， ???p?p2p又∵所以

112。 ??kMAkMBkMF即直线mA,mF,MB的斜率倒数成等差数列．

x217．解：⑴ m?3，椭圆方程为?y2?1，设P(x,y)，则

9x2891|PA|?(x?2)?y?(x?2)?1??(x?)2?(?3?x?3)

99422222∴ x?29时|PA|min?； x??3时|PA|max?5。

24⑵设动点P(x,y)，则

x2m2?12m224m2|PA|?(x?2)?y?(x?2)?1??(x?2)?2?5(?m?x?m)

mm2m?1m?12222m2?12m2∵ 当x?m时，|PA|取最小值，且?0，∴ 2?m且m?1解得2mm?11?m?1?2

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