机械工程控制基础计算题

?2n22s?2??s??nn三、设系统的闭环传递函数为Gc(s)=

，试求最

大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn的值。

???解：∵∵tp=

六、某系统如下图所示，试求其无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ，超调量σ％，峰值时间，调整时间s(△=0.02)。

解： 对于上图所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。

tpt?%?e?21??2?100%=9.6% ∴ξ=0.6

＝0.2

?n1??∴ωn=

?tp1??2?314.0.21?0.62?19.6rad/s

四、设一系统的闭环传递函数为Gc(s)=

?2n22100Xo?s?1002s?50s?4?

???2Xi?s?1?100?0.02s?50s?4??2s?0.08s?0.04s?50s?4?，试求最大

与标准形式对比，可知

2?wn?0.08 ，

s?2??ns??n超调量σ％=5%、调整时间ts=2秒(△=0.05)时的闭环传递函数的参数ξ和ωn的值。

???解：∵

?%?e1??2?100%=5% ∴ξ

=0.69 ∵t3s=

?n?＝2 ∴ωn=2.17 rad/s

五、设单位负反馈系统的开环传递函数为 G?25k(s)s(s?6)

求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn；

（2）系统的峰值时间tp、超调量σ％、 调整时间tS(△=0.02)； 解：系统闭环传递函数

25Gs(s?6)2525B(s)?1?25?

s(s?6)?25?s2?6s?25s(s?6)与标准形式对比，可知 2?w6 ，w2n?n?25 故 wn?5 ， ??0.6 又 w?w?2?5?1?0.62dn1??4

t??p?w? d4?0.785 ????0.6??%?e1??2?100%?e1?0.62?100%?9.5%

t4s??w?1.33n

七、已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

G(s)?100Ks(s?2) 求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K； （2）试求输入为r(t)?1?3t时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式

GK(s)?100s(s?2)?50s(0.5s?1)

可见，v＝1，这是一个I型系统 开环增益K＝50； （2）讨论输入信号，r(t)?1?3t，即A＝1，B＝3

根据表3—4，误差

ess?A1?K?B?1?3?0?0.06?0.06

pKV1??50

1

w2n?0.04

?n?0.2?rad/s???0.2???????0.2%?e1??2?e1?0.22?52.7%

t??p????2?n10.21?0.22?16.03?s?t44s????n0.2?0.2?100?s?

八、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

GK(s)?2

s2(s?0.1)(s?0.2)

求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K；

（ 2 ）试求输入为 r(t)?5?2t?4t2时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式

G ( s ) ? 2K2?100 s(s?0.1)(s?0.2)s2(10s?1)(5s?1)

可见，v＝2，这是一个II型系统 开环增益K＝100； （2）讨论输入信号，

r(t)?5?2t?4t2，即A＝5，B＝2, C=4

根据表3—4，误差

eA1?K?B?C?51???2??4ss?100?0?0?0.04?0.04pKVKa

九、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

GK(s)?20(0.2s?1)(0.1s?1)

求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K； （2）试求输入为

r(t)?2?5t?2t2时，系统的稳态误差。 解：（1）该传递函数已经为标准形式

可见，v＝0，这是一个0型系统 开环增益K＝20； （2）讨论输入信号，r(t)?2?5t?2t2，即A＝2，B＝5，C=2

根据表3—4，误差

eAss?1?K?BK?C?2?5?2?2??????

pVKa1?200021

十、设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=2，a2=3，a1=4，a0=5均大于零，且有

2400??2?0 ??2?3?1?4?2?0

12十四、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。

G(s)?30

s(0.02s?1)1350?4?02400135解：该系统开环增益K＝30；

有一个积分环节，即v＝1；低频渐近线通过（1，20lg30）这点，斜率为－20dB/dec；

有一个惯性环节，对应转折频率为w1?1?50，斜率增加－

0.02?3?2?3?4?2?2?5?4?1?4??12?0

?4?5?3?5?(?12)??60?0 所以，此系统是不稳定的。

432十一、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=6，a2=12，a1=10，a0=3均大于零，且有

20dB/dec。

系统对数幅频特性曲线如下所示。

十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。

s?6s?12s?10s?3?0G(s)?100

s(0.1s?1)(0.01s?1)61001123?4?0000解：该系统开环增益K＝100；

有一个积分环节，即v＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec； 有两个惯性环节，对应转折频率为w1?1?6?0

?1?10，0.161001123w2??2?6?12?1?10?62?0

?3?6?12?10?6?6?3?10?1?10?512?0 ?4?3?3?3?512?1536?0

所以，此系统是稳定的。

十二、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=5，a2=2，a1=4，a0=3均大于零，

s4?5s3?2s2?4s?3?040 率分别增加－20dB/dec

-40 dB / dec 系统对数幅频特性曲线如下所

示。

0 1 (rad/s) 10 100 ?

-60 dB /

十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性稳态误差不变，响应速度降低曲线。

1?100，斜

0.01L( ? )/dB -20 dB / dec G(s)?0.1s?1

解：该系统开环增益K＝1；

L( ? ) /d

0 1 -20 无积分、微分环节，即v＝0，低频渐近线通过（1，20lg1）这点，即通过

（1，0）这点斜率为0dB/dec； 有一个一阶微分环节，对应转折频

? -40 dB /

5400且有

1?10，斜率增率为w1?0.1L( ? )/dB 20 dB / dec 1230 ?4?05400123?1?5?0

?2?5?2?1?4?6?0

?3?5?2?4?5?5?3?4?1?4??51?0 ?4?3?3?3?(?51)??153?0

所以，此系统是不稳定的。

十三、设系统特征方程为 ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。 解：（1）用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a3=2,a2=4,a1=6,a0=1均大于零，且有

加20dB/dec。

系统对数幅频特性曲线如下所示。 0 10 ? (rad/s)

二． 图1为利用加热器控制炉温的反馈系统（10分）

试求系统的输出量、输入量、被控对象和系统各部分的组成，且画出原理方框图，说明其工作原理。

解答：输出量：炉温。输入量：给定电压信号。被控对象：电炉。

系统包括：电位器、放大器、电机、减速器以及自藕调压器、热电偶。

原理方框图：

2s3?4s2?6s?1?0

410?3?260041

?1?4?0?2?4?6?2?1?22?0?3?4?6?1?4?4?0?1?2?1?6?0

所以，此系统是稳定的。

2

三．如图2为电路。求输入电压

ui与输出电压u0之间的微分方程，并

u0求出该电路的传递函数。（10分）

uiRuiCRu0

解答：跟据电压定律得 (b)(a)1 u0dt?u0?ui RC 2d2ui1du00 uiLCduu??dt20RCdtdt2

RCs(c)G(s)?

RCs?1

四、求拉氏变换与反变换

?七、图示机械系统由质量m、阻尼系数C、弹簧刚度K和外力f(t)组成的机械动力系统。图(a)中o是输出位移。当外力f(t)施加3牛顿阶跃力后，记录仪上记录质量m物体的时间响应曲线如（b）图所示。试求：

1）该系统的微分方程数学模型和传递函数；(4分)

2）该系统的弹簧刚度质量m、阻尼系数C、弹簧刚度k；（3分）

3）时间响应性能指标：上升时间s、调整时间r、振荡频数N、稳态误差ss（5分）。

x(t)ettf(t)kcmx0(t)x00.0951.0t0241． 求

[0.5?tet] 解答：

11 ?22s(s?1)

图(a) 机械系统 图（b）响应曲线 解答：解：1）对于该系统有：

?0?t??cx?0?t??kx0?t??f?t? m?x2． 求

t3s?1[] 解答：=?3e?t?6te?2(s?1)(s?2)1故 G?s??ms2?cs?k2）求k 由Laplace变换的终值定理可知：

t??s?0

八、已知某系统是单位负反馈系统，其开环传递函数Gk?10，

5s?1x0????limx0?t??lims?X0?s?s?0则该系统在单位脉冲、单位阶跃和单位恒速信号作用下的ss分别是多少？（8分）

解答：该系统为单位负反馈且为0型系统，k=11, 所以该系统在单位阶跃

e?lims 而0得：

1和单位恒速信号作用下的ess分别是、?。

11在单位脉冲信号作用下的稳态误差为

x?t??x0???因此k=3.求m， 由M?0px???=1.0，?100%px0???Mp?0.095?100%?9.5% 1.0133??ms2?cs?ksk

ess?lims?s?01?Xi(s)?lims?s?0H(s)[1?G(s)H(s)]1

?1?0101?5s?1??? 又由式Mp 将p?e1??2?100%求得?p=0.6

中，得

九、设有如图所示的反馈控制系统，试求根据劳斯判据确定传递函数k值的取值范围

t?2,??0.6代入t?????d?n1??2Xi(s)×-1sk(s?1)(s?5)X0(s)

?n=1.96。

再由kXm(s?)?n2求得m=0.78。求c 由2??ns ts?cm，求得c=1.83.

Ts?13）求t?3k解答：G(s)?

s(s?1)(s?5)?k系统的特征方程：

3??n?2.55 (取?=0.05时) ts?4??n?3.40

(取?=0.02时) 求r

s(s?1)(s?5)?k?0

2可展开为：s?s列出劳斯数列：

?5s?k?0

t1??2??arctan?0.91

?s31630-k6k5k

tr?s2s1????2.323

?dN?1.51??2 求N 取?=0.05时，

??=0.64 取?=0.02时，

s0k>0,30-k>0 <0k<30

N?21??2??e =0.85

求ss 当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为：

ess?11?Kp

对于0型系统

Kp?K?1，代入式中求得： ess=0.5

3

二．设有一个系统如图1所示，k1=1000N/m, k2=2000N/m, D=10N/(m/s)，当系统受到输入信号出

xi(t)?5sint 的作用时，试求系统的稳态输

五．已知系统结构如图4所示, 试求：(15分) 1. 绘制系统的信号流图。(5分) 2. 求传递函数

xo(t)。(15分)

xiXo(s)Xo(s)及。(10分)

Xi(s)N(s)N(s)K1Xi(s)D+-G1(s)+-G2(s)H1(s)+ +Xo(s)xoK2解：

Xo?s?k1Ds0.01s ??Xi?s??k1?k2?Ds?k1k20.015s?1

H2(s)

L1??G2H1,L2??G1G2H2 P1?G1G2?1?1

然后通过频率特性求出

xo?t??0.025sint?89.14???

三．一个未知传递函数的被控系统，构成单位反馈闭环。经过测试，得知

闭环系统的单位阶跃响应如图2所示。(10分) 问：(1) 系统的开环低频增益K是多少？(5分)

(2) 如果用主导极点的概念用低阶系统近似该系统，试写出其近似闭环传递函数；(5分)

17/80.55Xo(s)G1G2?Xi(s)1?G2H1?G1G2H2P1?1?1?1?G2H1

Xo(s)1?G2H1 ?N(s)1?G2H1?G1G2H2六．系统如图5所示，r(t)?1(t)为单位阶跃函数，试求：(10分) 1. 系统的阻尼比?和无阻尼自然频率?n。(5分)

tO25ms解：（1）

(2)

Xo?s?7 ?Xi?s?0.025s?82. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间sK07?1?K08

，

K0?7

四．已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。(10分) 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式；(5分) 2. 概略绘制系统的Nyquist图。(5分) 1．G(s)?t(??5%)。(5分)

Ks(ss?1)(?1)0.01100?100

s(s?0.01)(s?100)4?2n?1．?S(S?2)s(s?2??n)

K??20lg?80dB ????K?100? 2．

七．如图6所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

??n?2??????0.5

??2??n?2???2．

Mp?e1??2?100%?16.5%

ess≤2.25时，K的数值。(10分)

ts?33??3(s) ??n0.5?2D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

s32 由劳斯判据： ss1s01654?K6K9K 0八．已知单位反馈系统的闭环传递函数?(s)? 第一列系数大于零，则系统稳定得0?K?54 又有：

相位裕量?。(10分)

解：系统的开环传递函数为G(s)2，试求系统的

s?39ess?≤2.25

K 可得：K≥4

?W(s)2?

1?W(s)s?1? 4≤K＜54

|G(j?c)|?22?c?1?1，解得?c?3

??180???(?c)?180??tg?1?c?180??60??120?

4

136.二阶系统的传递函数为，试在左图中标出系统的特征根

s2?s?1在S平面上的位置，在右图中标出单位阶跃曲线。 解：

?n?12??n?1??0.5

40.（7分）机械系统如图所示，其中，外力f(t)为系统的输入，位移x(t)为系统的输出，m为小车质量，k为弹簧的弹性系数，B为阻尼器的阻尼系数，试求系统的传递函数（忽略小车与地面的摩擦）。

解：系统的微分方程为

dxd2xf(t)?B?Kx(t)?m2

dtdtd2xdxm2?B?Kx(t)?f(t)

dtdt拉氏变换得：（零初始条件）

ms2X(s)?BsX(s)?KX(s)?F(s)

X(s)1??

F(s)ms2?Bs?K41.（7分）已知系统结构如图，试求传递函数

C(s)C(s)及

R(s)N(s)解：.

L1??G2H1,L2??G1G2H2 P1?G1G2?1?1

C(s)G1G2?R(s)1?G2H1?G1G2H2P1?1?1?1?G2H1 C(s)1?G2H1?N(s)1?G2H1?G1G2H2

45.（8分）已知单位反馈系统的闭环传递函数W(s)系统的相位裕量

??和幅值裕量kg

?2，试求

s?3解：系统的开环传递函数为G(s)W(s)2?

1?W(s)s?1|G(j?c)|?22?c?1?1，解得?c?3

??180???(?c)?180??tg?1?c?180??60??120?又??g?? ?Kg??

5

42.（7分）系统如图所示，r(t)?1[t]为单位阶跃函数，试求：

1. 系统的阻尼比

?和无阻尼自然频率?n

4?2n?1．?S(S?2)s(s?2??n) ????n?2???0.5 ???2??n?22. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间ts(?????5)

2．Mp

?e1??2?100%?16.5%

ts?33??3(s) ??n0.5?243.（8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

ess≤2.25时，K的数值。

.

D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

由劳斯判据：

s3s2

s1s01654?K6K9K0

第一列系数大于零，则系统稳定得0? 又有：essK?54

?9≤2.25 可得：K≥4 ? 4≤K＜54 KK100s(s?0.01)(s?100)44.（7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G(s)?sss(?1)(?1)0.01100?

K??20lg?80dB ?????K?1002. 概略绘制系统的乃奈斯特图。

6

42.（7分）系统如图所示，r(t)?1[t]为单位阶跃函数，试求：

1. 系统的阻尼比

?和无阻尼自然频率?n

4?2n?1．?S(S?2)s(s?2??n) ????n?2???0.5 ???2??n?22. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间ts(?????5)

2．Mp

?e1??2?100%?16.5%

ts?33??3(s) ??n0.5?243.（8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

ess≤2.25时，K的数值。

.

D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

由劳斯判据：

s3s2

s1s01654?K6K9K0

第一列系数大于零，则系统稳定得0? 又有：essK?54

?9≤2.25 可得：K≥4 ? 4≤K＜54 KK100s(s?0.01)(s?100)44.（7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G(s)?sss(?1)(?1)0.01100?

K??20lg?80dB ?????K?1002. 概略绘制系统的乃奈斯特图。

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