椭圆的简单几何性质 教案(人教A版选修2-1)

2.2.2 椭圆的简单几何性质

教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；

2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.

y

B2

A1

O

教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 教学过程：

（一）复习： 1．椭圆的标准方程.

A2

x

A2

x2y2

1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(x,y)满足不等式2 1,2 1，

ab

∴x a，y2 b2，∴|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，y b所围成的矩形里.

2．对称性：在曲线方程里，若以 y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以 x代替x， y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令x 0， 得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y 0得x a，即A1( a,0)，A2(a,0)是 椭圆与x轴的两个交点.

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长.

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt OB2F2中，|OB2| b，|OF2| c，

2

2

|B2F2| a，且|OF2|2 |B2F2|2 |OB2|2，即c2 a2 c2．

4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比e

c

叫椭圆的离心率. a

∵a c 0，∴0 e 1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。

222

当且仅当a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x y a．

a2a2

5、准线方程：当焦点在x轴时，x ，当焦点在y时，y

cc

（三）例题分析：

例1、求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

x2y2

解：把已知方程化为标准方程2 2 1，a 5，b 4，

∴c 3，

ab

∴椭圆长轴和短轴长分别为2a 10和2b 8，离心率e

c3

， a5

焦点坐标F1( 3,0)，F2(3,0)，顶点A1( 5,0)，A2(5,0)，B1(0, 4)，B2(0,4)． 练习、过适合下列条件的椭圆的标准方程：

31x2y2

1共准线，且离心率为。 （1）长轴长等于20，离心率等于； （2）和椭圆

522420

解：（1）由已知2a 20，e

2

2

c3 ， a5

2

x2y2y2x2

1或 1． ∴a 10，c 6，∴b 10 6 64， 所以，椭圆的标准方程为

1006410064

x2y2

1 （2）椭圆的标准方程为

3627

x2y2

1，直线l：4x-5y+40=0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多例2．已知椭圆

259

少？（课本47页例7）

x2

y2 1的公共的个数。 练习：对不同的实数m，讨论直线y=x+m与椭圆4

五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．

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