【高优指导】2017版高考数学一轮复习 滚动测试卷四 文 北师大版

滚动测试卷四(第一~九章)

(时间:120分钟 满分:150分)

滚动测试卷第13页 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合M=,N={x|y=lg(x+2)},则M∩N等于( ) A.[0,+∞) B.(-2,0] C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)∪[0,+∞) 答案:B

解析:因为集合M=,

所以M={x|x≤0},

N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},

所以M∩N={x|x≤0}∩{x|x>-2}={x|-2

2.全称命题:任意x∈R,x2

>0的否定是( )

A.任意x∈R,x2

≤0

B.存在x∈R,x2

>0

C.存在x∈R,x2

<0

D.存在x∈R,x2

≤0 答案:D

解析:命题:任意x∈R,x2>0的否定是:存在x∈R,x2

≤0.

3.将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,那么所得的图像对应的函数解析式是( ) A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=sin D.y=sin 答案:D

解析:∵f(x)=sin,

∴将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,得f=sin=sin, 所得的图像对应的函数解析式是y=sin.

4.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(-x)=0,当x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图像是( )

答案:A

解析:因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},

满足f(x)+f(-x)=0,

所以函数是奇函数,排除C,D.

当x=e时,f(10)=1-e+1=2-e<0,排除B,A正确.

5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=( ) A. B. C.- D.- 答案:A

解析:在△ABC中,已知D是AB边上一点.

∵=2+λ, 又)

=,∴λ=. 6.

1

某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是( ) A. B. C. D.π 答案:A

解析:根据几何体的三视图,得

该几何体是平放的半圆锥,且圆锥的底面半径为1,母线长为3, ∴圆锥的高为=2;

∴该几何体的体积为V半圆锥=π31232π.

7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:A

解析:∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,

双曲线的一个焦点在直线l上, ∴解得a=2,b=, ∴双曲线方程为=1. 8.

如图,在△ABC中,点D在AC上,AB⊥BD,BC=3,BD=5,sin∠ABC=,则CD的长为( ) A. B. C.2 D.5 答案:B

解析:由题意可得sin∠ABC=

=sin=cos∠CBD,

222

再根据余弦定理可得CD=BC+BD-2BC2BD2cos∠CBD=27+25-233353=22,可得CD=.

22

9.过P(2,0)的直线l被圆(x-2)+(y-3)=9截得的弦长为2时,直线的斜率为( ) A.± B.± C.±1 D.± 答案:A

解析:(方法一)设直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),

即kx-y-2k=0.

圆心为C(2,3),半径r=3, 圆心到直线的距离d=.

2

由题意得2=2,即3-=1,解得k=±.

(方法二)如图,圆心C(2,3),半径3,取弦PA的中点D,PD=1,

2

则CD=2,tan∠PCD=.

由对称性知所求直线斜率为±.

2

10.已知抛物线方程为y=8x,直线l的方程为x-y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1,P到l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( ) A.2-2 B.2 C.2-2 D.2+2 答案:C

解析:∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,

∴过焦点F作直线x-y+2=0的垂线,此时d1+d2最小. ∵F(2,0),

∴d1+d2=-2=2-2.

322

11.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x-3x+2x和y=x+a都相切,则a的值是( ) A.1 B. C.1或 D.1或- 答案:C

解析:设过O(0,0)与f(x)相切的切点为P(x0,y0),

则y0=-3+2x0,且k=f'(x0)=3-6x0+2.① 又k=-3x0+2,②

由①,②联立,得x0=或x0=0, 所以k=-或2.

∴所求切线l的方程为y=-x或y=2x.

22

直线l与曲线y=x+a相切,当切线为y=2x时,联立方程可得x+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,a=1. 当切线为y=-x时,

2

可得得x+x+a=0.

依题意,Δ=-4a=0.∴a=. 综上,a=1或a=.故选C.

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:C

解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,

由a2=-11,a5+a9=-2,得 解得

∴an=-15+2n.

由an=-15+2n≤0,解得n≤. ∴当Sn取最小值时,n等于7.

二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分)

2

13.(2015辽宁锦州二模)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于 . 答案:3

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,

|AB|=x1+x2+p=p, 即有x1+x2=p,

由直线l的倾斜角为60°, 则直线l的方程为y-0=, 即y=x-p,联立抛物线方程, 消去y并整理,得

3

12x-20px+3p=0,

则x1x2=,可得x1=p,x2=p. 则=3.

14.若变量x,y满足约束条件且z=x+3y的最小值为4,则k= . 答案:1

解析:由z=x+3y,得y=-x+,画出不等式对应的可行域,

平移直线y=-x+,由平移可知当直线y=-x+经过点B时, 直线y=-x+的截距最小,此时z取得最小值为4, 即x+3y=4,

由解得即B(1,1),

点B同时也在直线y=k上,则k=1.

22

15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为 . 答案:=1

解析:∵双曲线的一个焦点在直线l上,

令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0), ∴c=5.

∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,∴=2. ∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20. ∴双曲线的方程为=1.

16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值为 . 答案:

解析:设两个圆柱的底面半径分别为R,r,高分别为H,h,

∵,∴,

∵它们的侧面积相等,∴=1, ∴, ∴.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

2

17.(10分)已知函数f(x)=sin-4sinwx+2(w>0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为. (1)求函数f(x)的解析式;

(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调增区间.

2

解:(1)函数f(x)=sin-4sinwx+2(w>0)

=sin 2wx-cos 2wx-42+2 =sin 2wx+cos 2wx =sin,

根据图像与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为23,求得ω=1, 故函数f(x)=sin.

(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sinsin的图像, 再根据g(x)的图像恰好经过点, 可得sin=0,故m=, 所以g(x)=sin.

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,故函数g(x)的增区间为,k∈Z.

4

再结合x∈,可得增区间为. 18.

(12分)如图,已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,且AB=BE=AF=1,BE∥AF,AB⊥AF,∠CBA=,BC=,P为DF的中点. (1)求证:PE∥平面ABCD; (2)求三棱锥A-BCE的体积.

(1)证明:取AD的中点M,连接MP,MB,

∵P为DF的中点, ∴MP",AF, 又∵BE",AF, ∴BE",MP,

∴四边形BEPM是平行四边形. ∴PE∥BM.

又PE?平面ABCD,BM?平面ABCD, ∴PE∥平面ABCD.

(2)解:在△ABC中,由余弦定理可得:

AC2=AB2+BC2-2AB2BCcos∠ABC=1+()2-23133cos=1, ∴AC=1.∴AC2+AB2=BC2. ∴AC⊥AB.

∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB, ∴AC⊥平面ABEF.

∵S△ABE=BE2AB=3131=, ∴VA-BCE=VC-ABE=S△ABE3AC=31=.

19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,长轴长是短轴长的2倍.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,其中A点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内,求实数k的取值范围. 解:(1)根据题意,得

解得a=2,b=1.

∴椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)由(1)及题意,知顶点A为(-2,0), ∴直线l的方程为y=k(x+2), 与椭圆方程联立,得

2222

消去y,得(1+4k)x+16kx+(16k-4)=0; 设点B为(x0,y0),则x0-2=-, ∴x0=,y0=.

又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内, ∴∠APB为钝角,即<0. ∵P(0,1),A(-2,0),B,

5

∴=(-2,-1),. ∴<0,

2

即20k-4k-3<0,解得k∈.

20.(12分)已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),若S3=b5+1,b4是a2和a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an2bn}的前n项和Tn.

解:(1)∵数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),

∴b5=6,b4=4,

设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0, ∵S3=b5+1=7,∴a1+a1q+a1q2=7,① ∵b4是a2和a4的等比中项,

∴=a22a4==16,解得a3=a1q2=4,②

2

由①②得3q-4q-4=0, 解得q=2,或q=-(舍), ∴a1=1,∴an=2n-1. (2)当n为偶数时,

Tn=(1+1)220+222+(3+1)222+4223+(5+1)224+…+[(n-1)+1]22n-2+n22n-1 =(20+222+3222+4223+…+n22n-1)+(20+22+…+2n-2),

023n-1

设Hn=2+222+322+422+…+n22,①

234n2Hn=2+222+322+422+…+n22,② ①-②,得-Hn=20+2+22+23+…+2n-1-n22n =-n22n=(1-n)22n-1, ∴Hn=(n-1)22n+1,

∴Tn=(n-1)22n+1+22n+. 当n为奇数,且n≥3时,

Tn=+(n+1)22n-1=22n-1++(n+1)22n-1=22n-1+, 经检验,T1=2符合上式, ∴Tn=

22

21.(12分)已知点M是圆心为C1的圆(x-1)+y=8上的动点,点C2(-1,0),若线段MC2的中垂线交MC1于点N.

(1)求动点N的轨迹方程;

22

(2)若直线l:y=kx+t是圆x+y=1的切线且l与点N的轨迹交于不同的两点P,Q,O为坐标原点,若=μ,且≤μ≤,求△OPQ面积的取值范围.

解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2>|C1C2|=2,

2

故动点N的轨迹是以C1,C2为焦点,以2为长轴长的椭圆,a=,c=1,b=1,

2

动点N的轨迹方程为+y=1.

22

(2)∵直线l:y=kx+t是圆x+y=1的切线, ∴=1,∴t2=k2+1.

222

直线l:y=kx+t代入椭圆方程可得(1+2k)x+4ktx+2t-2=0,

222

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=16k-8t+8=8k>0可得k≠0. ∴x1+x2=-,x1x2=,

∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=, ∵t2=k2+1, ∴x1x2=,y1y2=, ∴=μ=x1x2+y1y2=, ∵≤μ≤,∴, ∴≤k2≤1, ∵|PQ|= =2.

422

令λ=k+k,∵≤k≤1,

6

∴λ∈.

|PQ|=22=22上递增, ∴≤|PQ|≤.

∵直线PQ是圆x2+y2=1的切线, ∴O到PQ的距离为1, ∴S△OPQ=|PQ|,即|PQ|≤. 故△OPQ面积的取值范围是. 22.(12分)已知函数f(x)=x--aln x, (1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;

(2)设g(x)=x+-(ln x)2

,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值; (3)证明:>ln(n∈N+). (1)解:求导可得f'(x)=,

∵函数f(x)无极值,∴方程x2-ax+1=0在(0,+∞)上无根或有唯一根, ∴方程a=x+在(0,+∞)上无根或有唯一根, 又x+≥2(x=1取等号), 故=2,∴a≤2.

(2)解:a=2时,f(x)=x--2ln x,g(x)=x+-(ln x)2

,

由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函数,

当x∈(0,1)时,f(x)=x--2ln xf(1)=0,即x->2ln x>0; ∴x>0时,≥|2ln x|=|ln x2|,

令x2

=t>0,∴≥|ln t|,

平方得t+-2≥(ln t)2,∴t>0时,t+-2≥(ln t)2

成立,当且仅当t=1时取等号, ∴当x=1时,函数g(x)取最小值2.

(3)证明:由上知,x>1时,x+-(ln x)2

>2,

∴x>1时,>ln x成立, 令x=,得>ln,即>ln,

∴不等式:>ln+…+ln>ln+…+ln =ln=ln.

即>ln(n∈N+).

7

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