矩阵与变换

b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法规则： 21

b11 [a11 a12] b21 a11a12 x0 的乘法规则： (2)二阶矩阵 与列向量 a21a22 y0

a11 a12 x0 ＝ a11×x0＋a12×y0 . a21a22 y0 a21×x0＋a22×y0

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

a11 a12 b11 b12 ＝ a21a22 b21b22

a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22 a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22

(4)(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．

2．常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．

3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称AB称为A

(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1＝B1A1. －－－

4．特征值与特征向量

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

考向一 矩阵与变换

10 【例1】 求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝ 0 2 ，

10 N＝ －1 1 .

1

为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M.

【训练1】将曲线y＝2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为y＝sinx，求变换矩阵M的逆矩阵．

考向二 矩阵的乘法与逆矩阵

1 【例2】 已知矩阵A＝ 0

0 0 －1 ，B＝ ，求(AB)－1. 2 1 0

1 【训练2】 已知矩阵A＝ 2

0 1 ，B＝ 0 1 3 ，求矩阵AB的逆矩阵． 1

2

1 【训练2】已知矩阵M＝ 0

方程．

1 2 ，N＝ 2 0 0 0 11，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的22 1

考向三 矩阵的特征值与特征向量

2 【例3】 已知矩阵M＝ 2

求：

(1)实数a的值；

(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

a ，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，1

a 【训练3】已知二阶矩阵A＝ c b 1 ，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝ ，属d －1

3 于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝ ，求矩阵A. 2

3

a (本题满分10分)(2011·福建)设矩阵M＝ 0 0 (其中a＞0，b＞0)． b

(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；

x22(2)若曲线C：x＋y＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：4＋y＝1，求a，b的22

值．

1 (2011·江苏)已知矩阵A＝ 2

1 1 ，向量β＝ ，求向量α，使得A2α＝β. 2 1

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rbuj.html