_模糊关系方程的传递解

第20卷 第5期 天 中 学 刊 Vol.20 No.5 2005年10月 Journal of Tianzhong Oct.2005

∨─∧模糊关系方程的传递解

李东亚，党平安，周厚勇，张冠宇

（黄淮学院，河南 驻马店 463000）

摘 要：给出了∨─∧模糊关系方程的传递解的存在条件，讨论了解的范围． 关键词：模糊关系；模糊关系方程；∨─∧模糊方程；传递解 中图分类号：O159

文献标识码：A

文章编号：1006-5261(2005)05-0001-02

模糊关系方程在模糊控制、模糊推理和模糊逻辑等领域有着广泛的应用．关于基于∨─∧算子的模糊关系方程A X=B的求解问题，不少学者对模糊数学的这一方向进行了较深入的研究，得到了一些令人满意的结论．本文对∨─∧模糊关系方程的传递解问题进行讨论． 1 准备

a1j

， aj= M anj j=1，，，n． 23L，

设∨(ai∧xi)=B，或

y∈U

u2，L，un}上设A，B，C，X都是有限集U={u1，

的模糊关系，S是连续的s 模，其合成运算规定如下：

z)=∨S(A(x，y)，B(y，z))， (AB)(x，

y∈U

其中x，z∈U．该合成关系有以下性质： AB∨C)=AB∨AC； (1) (

AB∧C)=AB∧AC； (2) (

(3) 若A B，则XA XB，AX BX； (4) 存在单位元E，使得

EX=XE=X，

1，当x=y

E(x，y)=

0，当≠xy

0，当x=y

E′(x，y)=

1xy，当≠

y)=0，(5) 存在零元O，使XO=OX，O(x，

其中x，y∈U．

U上的关系A通常用模糊方阵表示，A=(aij)，其中aij=A(xi，xj)，i，j=1，，，23L，n．也可以用如下形式表示

A=(a1，a2，L，an)，

收稿日期：2005-04-22

A X=B (1)

是一个模糊矩阵方程，其中A是m×n矩阵，X是n×1的未知矩阵，B是m×1矩阵， 是∨─∧运算， i∈I（I为指标集），ai，xi∈[0，1]．

令aαb=sup{x∈|S(a，x)≤b}，则有以下定理1.1和定理1.2．

定理1.1[1] 方程(1)有解的充分条件是AX =B，其中

X（x，z)=∧(A(y，x)αB(y，z))，x，z∈U， (2)

y∈U

若方程(1)有解，则X 就是其最大解．

易知(2)式给出的X 在一般情况下满足AX ≤B．

定理1.2 若方程(1)有解，则存在解

x1，x2，L，xm，

对(1)的任意解X，存在j≤m，使Xj≤X≤X ．方程(1)的解集为

X(A，B)=U[Xj，X ]．

1≤j≤m

2 传递解

若模糊关系A满足A2≤A（A2=A），则称A

是传递的（幂等的）．

引理2.1 对任何模糊关系A，存在包含A的最

基金项目：国家自然科学基金资助项目（60364001）；河南省教育厅自然科学研究计划项目（2003110011） 作者简介：李东亚（1962 ），男，河南遂平人，黄淮学院数学科学系副教授．

·2·

李东亚，党平安，周厚勇，张冠宇：∨─∧模糊关系方程的传递解

定理2.2 设A≤B，则方程(1)有传递解当且仅当B 1αB是(1)的一个解．

把(2)式记为X =A 1αB，可得以下引理．

证明：A≤B B 1αB≤A 1αB=Xs

引理2.2 设A为一模糊关系，则关系A 1αB是

Xs=B 1αB．

传递且幂等的．

方程(1)的传递解一般不构成关系区间，但可以

引理2.3 若方程(1)有传递（幂等）解X，则

确定其传递解的边界．定理2.1给出其最大传递

X≤B 1αB．

解．假设Xi为方程(1)的极小解，利用引理2.1得到

引理2.4 若方程(1)有传递（幂等）解，则

传递关系(Xi)γ．那么

Xs=(B 1αB)∧X 也是传递（幂等）解．

(1) 若Xγ是(1)的一个解，则必为(1)的一个极

证明：设X是(1)的传递解，则X≤X ，由引

小传递解．

理2.3得

X ]内(2) 若Xγ不是(1)的解，则在区间[Xγ，s

X≤X≤X． (3)

没有传递解，于是有定理2.3．

于是，Xs是(1)的解．又

定理2.3 若方程(1)有传递解，则其极小传递解

A(Xs)2=(AXs)Xs=BXs≤B(B 1αB)=B，

X∈{(X1)γ，(X2)γ，L，(Xm)γ}．

可得

A(Xs)k+1≤B(Xs)k≤L≤BXs≤B，

参考文献：

以及

[1] 张文修，王国俊，刘旺金．模糊数学引论[M]．西安：

∨(AXs)k≤B．

1≤j≤m

2≤x≤n

小传递关系Aγ，且Aγ=∨Aj．

西安交通大学出版社，1991．144～150 南理工大学出版社，2001．147～156．

又由于 [2] 杨纶标，高英仪．模糊数学原理及应用[M]．广州：华

A(Xs)γ=A(Xs∨（∨A(Xu)k))

2≤k≤n2≤k≤n

（∨(AXu)k)=B，=B∨

sγ

[3] 党平安．∨─∧方程的求解方法[J]．天中学刊，2001，

(2)：9～11．

[4] Zadeh L A．Fuzzy Sets[J]．Information and Control，1965，

(8)：338～353．

[5] Fu Cheng Tang．Perturbation techniques for fuzzy matrix

equations[J]．fuzzy sets and systems，2000，109(3)：363～369．

[6] 陈贻源．解fuzzy关系方程[J]．模糊数学，1983，(2)：

109～124．

[7] Higashi M，Klir G J．Resolution of finite fuzzy relation

equations[J]．fuzzy sets and systems，1984，13(1)：65～82．

〔责任编辑 张继金〕

所以，传递闭包(X)也是(1)的解．又由(3)式得 Xs≤(Xs)γ≤Xs， 即Xs是传递的．

定理2.1 方程(1)有传递解当且仅当Xs=(B 1αB)∧X 是(1)的解．若方程(1)有传递解，则Xs是其最大传递解．

证明：若Xs是(1)的解，由引理2.4的证明可知，Xs也是传递的；反之，若方程(1)有传递解，则由引理2.4，Xs是(1)的解，再由(3)式，Xs是最大传递解．

Transitive Solutions of ∨ ∧ Fuzzy Equations

LI Dong-ya, DANG Ping-an, ZHOU Hou-yong, ZHANG Guan-yu

（Huanghuai University, Zhumadian Henan 463000, China）

Abstract: In this paper, the existence conditions of ∨ ∧ Fuzzy relation equations are given, and the ranges of the solutions are discussed.

Key words: fuzzy relation; fuzzy relation equations; ∨ ∧ fuzzy equation; transitive solutions

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rbqm.html