2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练(二次函数)

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2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

二次函数

◆知识讲解

①一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

③二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）

2

2

2

+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），

通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－

b2a

，

4ac b4a

2

）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），

由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

④二次函数y=ax+bx+c的对称轴为x=－

2

b2a

，最值为

4ac b4a

2

，（k>0时为最小值，

k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．

⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax±k，将y=ax沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2． 在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y 轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．

⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．

⑦抛物线y=ax+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－

b2a

2

2

2

的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－

4ac b4a

2

b2a

2

的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－

b2a

，

4ac b4a

）

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为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－

b2a

2

b2a

的左侧，y随x的增大而增大，在对称

4ac b4a

2

轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（－，

4ac b4a

）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边

越靠近y轴，│a│越小，开口越大， 图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b 异号时，对称轴x=－

b2a

b2a

<0，

>0，即对称

轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c 的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y 轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

◆例题解析

例1 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方， 即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值． 【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（ ∴对称轴是直线x=

12

12

）2]－

14

+m=（x－

12

12

）2+

4m 14

，顶点坐标为（，

4m 14

）．

（2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即 ∴m> ∴m>

1414

4m 14

>0

时，顶点在x轴上方．

（3）令x=0，则y=m．

即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．

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∵AB∥x轴

∴B点的纵坐标为m．

当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m）

在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S△AOB = ∴

12

12

OA·AB=4．

│m│·1=4，∴m=±8

2

2

故所求二次函数的解析式为y=x－x+8或y=x－x－8．

【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．

例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

【分析】（1）解方程求出m，n的值． 用待定系数法求出b，c的值．

（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积， 用割补法可求出△BCD的面积．

（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能： ①EH=

32

EP， ②EH=

23

2

EP．

【解答】（1）解方程x－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m<n，有m=1，n=5．

所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5

）的坐

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标分别代入y=－x+bx+c， 得

1 b c 0, c 5

2

解这个方程组，得

2

b 4, c 5

所以抛物线的解析式为y=－x－4x+5．

（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解这个方程，得x1=－5，x2=1．

所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．

过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示． 则S△DMC= S

梯形MDBO

1212

×9×（5－2）=

272

．

=×2×（9+5）=14，

252

S△BDC =

12

×5×5=．

+S△DMC －S△BOC =14+

272

所以S△BCD =S

梯形MDBO

－

252

=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）

因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5 的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）． 由题意，得①EH=

32

EP，即

32

（－a2－4a+5）－（a+5）= 解这个方程，得a=－ ②EH=

23

32

（a+5）．

或a=－5（舍去）．

EP，得

32

（－a2－4a+5）－（a+5）= 解这个方程，得a=－ P点的坐标为（－

32

23

（a+5）．

或a=－5（舍去）．

23

，0）或（－，0）．

m 12

2

例3 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x－mx+

2

与y=x2－mx－

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m 22

2

，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x 值的增大而减小？

【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x－mx+

2

m 12

2

．

由于b－4ac=（－m）－4×1×

2

m 12

2

=－m2－2<0，

所以此函数的图像与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数y=x－mx－

2

m 22

2

．

由于b－4ac=（－m）－4×1×

22

m 22

2

=3m2+4>0，

所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x－mx－

2

m 22

2

．

（2）将A（－1，0）代入y=x－mx－

2

2

m 22

2

．

得1+m－

m 22

=0．

整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2．

当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）．

当m=2时，y=x－2x－3．令y=0，得x－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）．

2

2

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（3）当m=0时，二次函数为y=x－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，

所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．

当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．

【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决． ◆强化训练 一、填空题

1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像， 观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，

7），B（6，7），C（3，－8）， 则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．

3．已知二次函数y=－x+2x+c的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______． 4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数， 则c=_______（只要求写出一个）．

5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c 的值是______．

6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－

112

2

2

2

2

s2+

23

s+

32

．如下左图所示，

94

已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳

点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是______．

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7．（2005，甘肃省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．

8．（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高， 房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y） 都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2． 二、选择题

9．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 则下列关系式不正确的是（ ）

A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b－

4ac>0

2

(第9题) (第12题) (第15题)

10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ）

A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2

11．（2005，山西省）抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2 12．如图所示，抛物线的函数表达式是（ ）

A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）

2

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A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

14．（2005，包头市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．（2006，诸暨）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ） A．（

12

，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）

16．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数， 且m≠0）的图像可能是（ ）

三、解答题

17．（2006，浙江舟山）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP 是什么

四边形？并证明你的结论；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

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18．（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n， 抛物线y=－x+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n）． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．

2

19．（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道， 其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定， 机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m． 为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．

20．（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点． （1）求抛物线的对称轴；

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（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=

254

，抛物线与x轴交于A，B两点． 在抛物

线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．

21．（2005，吉林省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x 轴交于

A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

22．（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线

y=x（x≥0）于点B，交抛物线y=

2

12

x（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，

14

2

交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y= （1）求AB：BC；

x2于点E．

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（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请

说明理由．

答案

1．－2≤x≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．3 6．

5<m<4+ 7．4 8．2080 9．C 10．B 11．B 12．D 13．D 14．B 15．B 16．D

17．（1）对称轴是直线x=2，A点坐标为（－3，0） （2）四边形ABCP是平行四边形 （3）∵△ADE∽△CDP，∴ ∵△ADE∽△PAE，∴12=

t3

2

PEPD

=

12

·t，∴

3

将B（－1，0）代入y=ax+4ax+t得t=3a，

∴抛物线解析式为

18．（1）y=－x2－4x+5

3

x2

+

3

．

（2）C（－5，0），D（－2，9） S△BCD=15 （3）设P（a，0），∵BC所在直线方程为y=x+5． ∴PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）．

PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．

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①若EH= ②若EH= ∴P（－

32

3223

EP．则（－a－4a+5）－（a+5）=EP，则（－a2－4a+5）－（a+5）=

23

2

3223

（a+5），则a=－（a+5），则a=－

3223

或a=－5（舍） 或a=－5（舍）

，0）或（－，0）．

32

19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（ 9

a c 4, 42

设抛物线的表达式为y=ax+c，则

4a c 7. 22

a , 7

解这个方程组，得

c 65 14

，4），N（2，

72

），

∴y=－

27

x2+

6514

6514

，当x=0时，y=

6514

6514

，

∴C（0，），OC=

27

．

2

当y=0时，－

x2+

6514

=0，解得x=

．

∴A

（－

2

0），B

（

2

，0），

AB=

27

所以，抛物线拱形的表达式为y=－

隧道的跨度AB

为

x2+

6514

．

，拱高OC为

6514

m．

20．（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c． c 3 a 1

根据题意，得 a b c 2 ，解得 b 6

16a 4b c 5 c 3

即y=－x+6x－3=－（x－3）+6． ∴抛物线的对称轴为直线x=3． （2）解得点B（

3+，0）．

22

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设点P的坐标为（3，y），如图， 由勾股定理，得BP2=BC2+PC2， 即BP2=（

3）2+y2=y2+6． ∵L与x轴的距离是 ∴y+6=（

2

254

，

234

254

），解y=±

234

2

．

234

∴所求点P为（3，）或（3，－）．

a b c 0 a 1

21．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得 c 5，解得 b 4

c 5 a b c 8

∴所求抛物线的解析式为y=－x2+4x+5． （2）∵C点坐标为（0，5），∴OC=5，令y=0． 则－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5． ∴B点坐标为（5，0），∴OB=5． ∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9， ∴顶点M的坐标为（2，9）．

过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9． ∴S△MCB=S

梯形OCMN

+S△BNM －S△OBC =

12

×（5+9）×2+

12

×9×（5－2）－

12

×5×5=15．

22．（1）∵A（0，1）．

∴B点纵坐标为1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1． C点纵坐标为1，1=

14

x2，x2=4，x≥0，x=2．

C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1．

（2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4）． E点的纵坐标为4，E在y=

14

x2，则E（4，4）．

过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x．

E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rbn4.html