【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 湖北详解答案 阶段一(理) 专题二 第二节

考点例题

第 一 阶 段

专 题 二

第 二 节

冲关集训 高考预测课时检测(八)

第一阶段 二轮专题复习

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专题二 三角函数与平面向量第二节 三角变换与解三角形

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考点例题例 1:思路点拨：(1)可以直接代入求值. (2)首先要化简条件得 sin α,cos β,然后用和角公式 sin(α+β)计 算. π 1 解：(1)f(0)=2sin -6 =2× -2 =-1.

(2)由

π 10 f 3α+2 =13,即

10 2sin α=13,

5 所以 sin α=13. π 6 6 由 f(3β+2π)=5,得 2sin β+2 =5, 返回

6 即 2cos β=5, 3 所以 cos β=5. π ∵α,β∈ 0,2 ,

12 ∴cos α= 1-sin α=13,2

4 sin β= 1-cos2β=5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65.返回

例 2: 思路点拨： (1)由题设以及正弦定理得到关于 A 的三角函数 值，进而求得 A 的值.(2)由面积公式以及余弦定理得到 b 与 c 的方程组，进而求得 b 与 c 的值.

解：(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C≠0,所以 π 1 sin A-6 =2.

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π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

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例 3:思路点拨：第(1)步设相遇时小艇航行的距离为 S,利用余 弦定理把 S 表示为关于 t 的函数， 利用二次函数求解 S 的最小值， 并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出 v,t 的关系式， 并利用函数知识求解； 第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问 题. 解：(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里，则

S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos 90° -30° = 900t -600t+400=2

1 2 900 t-3 +300,

1 故当 t=3时，Smin=10 3,v=30 3,即小艇以每小时 30 3海里 的速度航行，相遇时距离最小.返回

(2)若轮船与小艇在 B 处相遇，由题意可得： (vt)2=202+(30t)2-2· (30t)· 20· cos(90° -30° ), 400 600 化简得 v2= t2 - t +900 1 3 2 =400 t -4 +675,

1 1 1 由于 0<t≤2,即 t ≥2,所以当 t =2 时，v 取得最小值 10 13,即 小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时.返回

400 600 1 (3)由(2)知 v = t2 - t +900,令 t =μ(μ>0),2

于是有 400μ2-600μ+900-v2=0,小艇总能有两种不同的航行 方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根， 600 2-1 600 900-v2 >0, 所以 900-v2>0,

解得：15 3<v<30,所以 v 的取值范围为(15 3,30).

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冲关集训 1 1. D 依题意得， α=2, 选 tan -3tan β=1, ta

n β=-3, 即 tan(α 1 tan α+tan β 2-3 +β)= = 2=1. 1-tan αtan β 1+3

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2 . 选A

2 5 依 题 意 得 sin α = 1-cos α = 5 , cos(α + β) =2 2

4 ± 1-sin α+β =± ;又 α,β 均为锐角，因此 0<α<α+β<π, 5 4 5 4 4 cos α>cos(α+β),注意到5> 5 >-5,所以 cos(α+β)=-5. cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- 4 5 3 2 5 2 5 5× 5 +5× 5 = 25 .

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3.解：(1)∵f(x)=2cos 2- 3sin x =1+cos x- 3sin π x=1+2cos x+3 ,

2x

∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3]. π 1 (2)∵f α-3 =3,

1 1 ∴1+2cos α=3,即 cos α=-3.

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2 2 ∵α 为第二象限角，∴sin α= 3 . cos2α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 cos α+sin α -3+ 3 1-2 2 = 2cos α = 2 = 2 . -3

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4.选 A

由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理

sin C c 4 及 8b=5c 得 cos B=2sin B=2b=5, 所以 cos C=cos 2B=2cos2 4 2 7 -1= . B-1=2× 5 25

π 3sin 3 bsin ∠A 1 5.解析：由正弦定理可知 sin ∠B= = 3 =2,所 a π 5π π π π 以∠B=6或 6 (舍去), 所以∠C=π-∠A-∠B=π-3-6= 2.π 答案：2返回

6.解：(1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C, 得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=-3, 1 从而 cos A=-cos(B+C)=3. 1 2 2 (2)由于 0<A<π,cos A=3,所以 sin A= 3 . 1 又 S△ABC=2 2,即2bcsin A=2 2,解得 bc=6. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=13. bc=6, 解方程组 2 2 b +c =13, b=2, 得 c=3, b=3, 或 c=2.

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7.解析：在△BCD 中，CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° + BC CD CDsin 45° 90° =105° ,∠DBC=30° sin 45° sin 30° , = ,BC= sin 30° = AB 10 2.在 Rt△ABC 中，tan 60° BC,AB=BCtan 60° = =10 6.

答案：10 6

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8.解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中，由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D,③ 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米.返回

(2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下： 1 1 易知 S△ABD=2AD· BDsin D,S△ABC=2AC· BCsin C, 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D,所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低. 因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形，∠D=∠C =60° . 1 故 S△ABC=2AC· BCsin C=10 3, 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.返回

高考预测

解：(1)∵ OA =(cos α,sin α), ∴ OA -n=(cos α,sin α+ 5),

∵m⊥( OA -n),∴m·OA -n)=0, (即 2cos α+(sin α+ 5)=0,① 又 sin2α+cos2α=1,② 由①②联立方程解得 2 5 5 cos α=- 5 ,sin α=- 5 ,

2 5 5 ∴ OA = - ,- 5 . 5 返回

2 2 (2)∵cos(β-π)= 10 ,∴cos β=- 10 , 又∵0<β<π, 7 2 π ∴sin β= 10 ,且2<β<π. 又∵sin 2α=2sin αcos2

α=2× -

5 2 5 4 × - =5, 5 5

4 3 cos 2α=2cos α-1=2×5-1=5, 3 2 4 7 2 ∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=5× - +5× 10 = 10 25 2 2 50 = 2 .返回

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