大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物

－2

体时，伸长量为9.8 ? 10m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t =

－2

0时，物体在平衡位置上方8.0 ? 10m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上运动，求运动方程。 题1分析：

求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、?，和?。 其

中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即??k/m，k可根据物体受力平衡时弹

?簧的伸长来计算；振幅A和初相需要根据

初始条件确定。 解：

物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F = mg。 而此时弹

?2?l?9.8?10m。簧的伸长量 则弹

簧的劲度系数k?F/?l?mg/?l。 系统作简谐运动的角频率为

??k/m?g/?l?10s?1

（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向。 由初始条件t = 0时，

x10?8.0?10?2m，

v10?0可得振幅

A?x210?(v10/?)2?8.0?10?2m；应用旋转矢量法

???1可确定初相。则运动方程为

x1?(8.0?10?2m)cos[(10s?1)t??]

?1（2）t = 0时，同理可得

x20?0，

v20?0.6m?s，

A2?x220?(v20/?)2?6.0?10?2m，

?2??/2；则运动方程为

2．某振动质点的x－t曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需要的时间。 题2分析：

由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。 本题就是要通过x－t图线确定振动的三个

x2?(6.0?10m)cos[(10s)t?0.5?]?2?1??特征量量A、，和0，从而写出运动方程。

曲线最大幅值即为振幅A；而?、?0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋

转矢量法比较方便 。

解：

（1）质点振动振幅A = 0.10 m。 而由振动曲线可画出t = 0和t = 4s时旋转矢量，如图所示。 由图可见初相

?0???/3(或?0?5?/3）??t1?t0???2??3，而由

?1??5?/24s得，则运动方程为

??5??1??x?(0.10m)cos??s?t??3?24????

（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量

????/30图如图所示。 当初相取时，点 P

的相位为

?P??0??(tp?0)?2?）。

?(tP?0)??3（3）由旋转关量图可得，

则tP?1.6s

?P??0??(tP?0)?0（如果初相取?0?5?/3，

则点P相应的相位应表示为

?P??0??(tp?0)?2?

3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。第一个质点的运动方程为x?Acos(?t??)，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。

题3.解：图为两质点在特定时刻t的旋转矢量图，OM表示第一个质点振动的旋转矢量；ON表示第二个质点振动的旋

转矢量。 可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前?/2，即它们的相位差????/2。第二个质点的运动方程应为

1

4．波源作简谐运动，其运动方程为y?(4.0?10m)cos2(4?0s)t，它所形成的波形以30 m/s

的速度沿一直线传播。（1）求波的周期及波长；（2）写出波 动方程。 解：（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率??240?s。根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有

T?2?/??8.33?10s

?3?1?1x2?Acos(?t????2)?3

定）后，由于k只能取整数值，故满足上式的?只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值。此外，如点P处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k＋ l），它们

?都与观察点P有关，越大，可以划分的半

波带数目也越大。 解：

（l）透镜到屏的距离为d，由于d >>b，对点

xsin??dP 而言，有

。根据单缝衍射明

纹条件

bx??(2k?1)bsin??(2k?1)2 2， 有 d?将b、d（

d?f)、x的值代入，并考虑可

见光波长的上、下限值，有

kmax?4.75??400nmmin 时，

kmin?2.27??760nmmax 时，

因k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有 k = 4和 k = 3，它们所对应的入射光

??2波长分别为= 466.7 nm和1= 600 nm。 （2）点P的条纹级次随入射光波长而异，

??1当= 600 nm时，k = 3；当2= 466.7 nm

时， k = 4。

?（3）当1 = 600 nm时，k = 3，半波带数

?目为（2k＋l）= 7；当2= 466.7 nm时，k = 4，

半波带数目为9。

10．为了测定一光栅的光栅常数，用?= 632.8 nm的单色平行光垂直照射光栅，已知第一级明条纹出现在38?的方向，试问此光栅的光栅常数为多少？第二级明条纹出现在什么角度？若使用此光栅对某单色光进行同样的衍射实验，测得第一级明条纹出现

0

在27的方向上，问此单色光的波长为多少？对此单色光，最多可看到第几级明条纹？

解：由题意知，在? = 632.8 nm， k = 1

?0

时，衍射角 = 38，由光栅方程可得光栅

常数

k??6d??1.03?10msin?

2??1k = 2时，因d，第二级明纹（即k = 2）

?所对应的衍射角2不存在，因此用

此波长的光照射光栅不会出现第二级明纹。 若用另一种波长的光照射此光栅，因第一

?'?27级明纹出现在的方向上，得

0dsin?'?'??468nmk

令，可得用此波长光照射时，屏

上出现的最大条纹级次为

sin?'?1?'

因k只能取整数，则km = 2，故最多只能

km?d?2.2看到第二级明纹。

11．测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多

o)

大仰角处？（水的折射率为1.33）(36.912．一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几。

解：设入射混合光强为I，其中线偏振光强为xI，自然光强为（1?x）I。按题意旋转偏振片，则有： 最大透射光强。

ImaxImin?1???(1?x)?x?I?2?

?1???(1?x)?I?2?

最小透射光强。

按题意，Imax/Imin = 5，则有

11(1?x)?x?5?(1?x)2 2

解得

x?2/3

即线偏振光占总入射光强的2／3，自然光占1／3。 13．用波长为589.3 nm的钠黄光观察牛顿

－3

环，测得某一明环的半径为1.0×10 m，而

－3

其外第四个明环的半径为3.0×10 m，求平凸透镜凸面的曲率半径。（3.39m） 14． 自然光射到平行平板玻璃上，反射

o

光恰为线偏振光，且折射光的折射角为32，试求：

（1） 自然光的入射角； （2） 玻璃的折射率；

（3） 玻璃下表面的反射光、透射光的偏振状态。

解 （1）由布儒斯特定律知，反射光为线偏振光时，反射光与折射光垂直，即i0?r0?90o

所

以

o自然

o光的入射

角

i0?90?r0?58

tg i0n2?n1（2） 根据布儒斯特定律，其

中

，所以玻璃折射率为

n2?n1tgi0?tg58o?1.6

n1?1r（3） 在玻璃片下表面，入射角等于0，

i折射角等于0，

i0?r0?90o 因为

n2tgi0?n1

所以 因此下表面的反射光也是线偏振光，振动方向垂直入射面，玻璃片的透射光还是部分偏振光，不过偏振度比在玻璃中更大了。

如图所示，在杨氏实验中，入射光的波长为 玻璃片覆盖在狭缝 求此玻璃片厚度。

解： 在未覆盖玻璃片时，屏幕上第7级明条纹位于 两相干光在

处的光程差应满足

把玻璃片覆盖在 在

缝上时，零级明条纹移到

处，设玻璃片厚度为，则两束相干光处，

。今将折射率

的薄

n1tgr0?n2上，这时观察到屏幕上零级明条纹向上移到原来的第7级明条纹处。

处的光程差应满足

将 代入上式，则

由此解算出

在空气中垂直入射的白光从肥皂膜上反射，对波长为加强），而对波长为

的光有一个干涉极大（即

的光有一个干涉极小（即减弱）。其它波长的可见光经反射后

，膜的厚度是均匀的，

并没有发生极小。假定肥皂水膜的折射率看作与水相同，即求膜的厚度。

解：按薄膜的反射光干涉加强和减弱的条件，由题中所设光线垂直入射，即

的光干涉极大，故

，则对

对

的光干涉极小，故（ 由于在

和

之间无其它波长的可见光反射后发

生极小，因此两方程中的 是相同的）

联立求解，得

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