2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

高中数学试卷

2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）

1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是

A．

5

6

B．

2 3

C．

1 2

D．

1 3

，则

2．若 是第四象限角，且sin

2

cos

2

2sin

2

cos

2

是 2

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP 2OA+BA，则

A．点P不在直线AB上 B．点P在线段AB上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P在线段AB的反向延长线上

4．设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 4 0与圆(x 2)2 (y 2)2 4相切，则m n的取值范围是

A.(0,1 3] B.[1 3, ) C. [2 22, ) D.(0,2 22] 5. 已知正方体C1

的棱长为C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为

A．18

B．92

C．9

D．62

6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 3) f(x),且在区间[0,

3

]上是增函数,若方程2

f(x) m(m 0)在区间 6,6 上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1 x2 x3 x4

A． 6 B． 6 C． 8 D．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）

1

ln,x 0 x

7．已知f(x) ，则不等式f(x) 1的解集为 ▲ .

1,x 0 x

8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.

高中数学试卷

22

c2，则cosC的最小值为. 9．在 ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c，若a b 2

10．给出下列四个命题：

（1）如果平面 与平面 相交，那么平面 内所有的直线都与平面 相交； （2）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 ；

（3）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内与它们的交线不垂直的直线与平面 也不垂直； （4）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ．

其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ．．．

11．若动点M(x0,y0)在直线x y 2 0上运动，且满足(x0 2)2 (y0 2)2≤8，则x02 y02的取值范围是

1 1

12．设函数f x x ，A0为坐标原点，An为函数y f x 图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向

x 1 2

x

量an

n

k 1

n 5

Ak 1Ak，向量i (1,0)，设 n为向量an与向量i的夹角，满足 tan k 的最大整数n是

3k 1

．

。

答 题 卡

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

7． 8． 9． 10． 11． 12．

高中数学试卷

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）

已知函数f(x) 2sin

xxx

cos 2 ． 222

（1）求函数f(x)的单调减区间；

（2）该函数的图象可由y sinx(x R)的图象经过怎样的变换得到?

（3）已知

6 2π

f( ) f( )的值． ，且，求, 5663

高中数学试卷

菱形ABCD中，A(1,2)， (6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. （1）若向量 (3,7)，求点C的坐标； （2）当点D运动时，求点P的轨迹.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rbim.html