大学物理练习及答案

习题十一稳恒磁场中的毕奥——萨伐尔定律

一、选择题

1、半径为a1的载流圆形线圈与边长为a2的正方形载流线圈中通有相同大小的电流，若两线圈中心的磁感应强度大小相同，则a1:a2为（ D ）

提示：圆电流中心的磁场：B?A、1:1

B、2?:1

C、2?:4

D、2?:8

?0I2R??0I2a1

正方形中心的磁场为4段有限长直电流的磁场之和：

B?4??0I?0I?22?22?0Icos??cos???? ???12???4?r?(a2/2)?22??a2

2、真空中作匀速直线运动的点电荷，在其周围空间产生的磁场随时间的变化为（ C ）

?A、B的大小和方向都不变

??B、B的大小和方向都在变

?C、B的大小在变，方向不变 D、B的大小不变，方向在变

????0qv?er?提示：由公式B?可知磁场的方向不变。 24?r?0qvsin??0qvsin??0qvsin3??????大小B?， 2224?r4??d/sin??4?d?为速度和位置矢量的夹角，其中 d 为考察点到速度所在直线的距离，不变，

改变。

3、若将某载流线圈中的电流增加一倍，则由该线圈在空间任一点产生的磁场将

（ C ）

?BA、的大小和方向都不变

?

?BB、的大小和方向都在变

C、B的大小增加一倍，方向不变 D、以上说法都不对，要视具体情形而定

????0Idl?er提示：由公式dB?可知 24?r

4、在毕奥——萨伐尔定律中，dl、r、dB三者的关系为（ D ）

??????A、dl、r、dB一定相互垂直 ???C、r与dl、dB垂直

???B、dl与r、dB垂直 ???D、dB与r、dl垂直

????0Idl?er提示：由公式dB?可知 24?r

二、填空题

?9?0I1、 边长为a的正三角形线圈上通有I的电流，则在线圈的中心的B=

2?a线圈中心的磁场为3段有限长直电流的磁场之和：

B?3?

?3?0I?0I3?9?0I?? ?cos?1?cos?2??3?????4?r222?a4?(3a/6)??2、 带电量为q的粒子在一半径为R的圆形轨道上以v0的速率匀速运动，则在圆周

的垂直中心线上与圆心相距为d处的B?=

q?0v0

4?(R2?d2)

提示：不可等效为圆电流，因要求的是瞬时值，而用等效圆电流算出的是在一个周

期内的平均值。（参考课件有关例题）

3、 由半径为R的均匀导线圆环和两根半无限长的 I I O 平行导线组成图示形状，当导线中通有电流I ??0I时，线圈中心O处的B=

4?R

提示：O点磁场为四部分电流的磁场的合磁场。其中从左边来的半无限长直电

??????0dlIe?r流在O点的磁场为 0 。（dB?，Idl和er的夹角为0）

4?r2顺时针的1/4电流和逆时针的3/4电流的磁场反向，两部分电流的合磁场（设顺时针电流的磁场为正）：

?0???1?0I顺3?0I逆?0??? ????I?3I??3???顺逆???42R42R8R8R?R顺R逆?????0????????3????8R??R?R???0 8R?R3R顺?顺??顺?顺向右边去的半无限长直电流在O点的磁场可用有限长直电流的磁场公式算出。

?0???B?

三、计算题

?0I?I?I?cos?1?cos?2??0?cos90??cos0???0 4?R4?R4?R1、 一半径为R的圆盘面上均匀分布有Q的电量，若圆盘以?的角速度绕圆盘面的垂直中心线作定轴转动，求在圆盘中心处产生的磁感应强度大小。

解：在圆盘面上取半径为 r , 宽度为 dr 的圆环微元，转动时形成等效圆电流。由圆电流在其中心的磁场公式：

u0u0dqu0(Q/?R2)(2?rdr)u0?QdB?dI?????dr 22r2rT2r2?/?2?R

2、 边长为a的正方形线圈上通有I的电流，求在其垂直中心线上，与中心相距为a处的磁感应强度大小。

解：该磁场为4段有限长直电流的磁场之和。 单根导线形成的磁场：

B??R0u0?Qu0?Qdr? 2?R22?RB?u0I?a?4?a2????2?2?cos?1?cos?2?

在与中垂轴垂直方向上的分量叠加抵消。平行于中垂轴的分量叠加为

??u0Ia/2a/2?B?4??2?2222?a??2?a??a??a??a?224?a????a??????a???????2???2??2??2??2????? ????a2?a?a2????2?2?26u0I

15?a

提示：本题够不上难题，但计算时须特别小心，否则极易出错！！！

3、 将一根无限长直导线弯成如图形状，导线中通有I的电流，计算圆心处的磁感

应强度大小。

解：B?B环?B直线1?B直线2

I r O 30??u0I1u0Iu0I????cos0?cos150?cos150??cos0?? ???r2r34??r4??222?3u0Iu0I?? 6r2?r（可参考课件有关例题）

??习题二十三稳恒磁场中的安培环路定理

一、选择题

1、内外半径分别为R1和R2的空心无限长圆柱形导体，通有电流I，且在导体的横

?截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r的关系，

定性分析如图（ B ） B B O O R1R2 r R1R2 B A

提示：1）

B B r O R1C

R2 r O R1D

R2 r ???B?dl???Bdlcos???Bdlcos0??Bdl?B?dl?B(2?r)??0I内??????????lllll??0?0,(r?R1)?2?r??II??22B?0内??0??(?r??R),(R1?r?R2) 1222?r?2?r?R2??R1??0I,(r?R2)??2?r??0,(r?R1)?22?u0Ir?R1（参考课件有关例题） ???2,(R1?r?R2)；2?2?rR2?R1?u0I,(r?R2)??2?r2）当r?R1时，B?0，可排除 C；

3）当R1?r?R2时，令r?R1，则B?0，可排除 A 和 D 。

2、一截面是边长为2a的正方形的无限长柱体的四条棱上都分别有相同大小的四个线电流I，方向如图，则在柱体中心轴线处的磁感应强度大小为（ C ）

A、B?2u0I ?a

B、B?2u0I 2?aC、B?0 D、B?u0I ?a??提示：1）????B?dS?0（磁场的高斯定理）

S提示：该磁场为4段无限长直电流的磁场之和，但方向相同的一对电流的磁场完全抵消。

3、在无限长载流直导线附近有一球面，当球面向长直导线靠近时，球面上各点的磁感应强度B和球面的磁通量?为（ D ） A、?增大，B也增大 B、?不变，B也不变

C、?增大，B不变 D、?不变，B增大

长度上的作用力为

u0I1I2 。 2?a提示：两平行长直电流之一单位长度的受力：F?斥。（见课件有关例题）

?0I1I2。同向吸引，反向排2?a4、一半径为R，均匀带有电量Q的圆盘面绕其中心垂直轴以?的角速度转动时，

产生的磁矩为

?QR24，若将该圆盘面放在与盘面成?角的匀将磁场B中时，圆

?盘面所受到的磁力矩为

?QR2Bcos?4。

提示：把圆盘剖分成无数细圆环，每一细圆环转动时可等效为一圆电流。

dq(Q/?R2)(2?rdr)2dm?(dI)S???r???r2

T2?/?m??dm??R0(Q/?R2)(2?rdr)?QR22??r?

2?/?4M?mBsin??mBcos???QR24Bcos???QR2Bcos?4

注意题中的?并非磁矩和磁场的夹角！

三、计算题：

1、 载有电流I1的无限长直导线旁边有一共面的、载有电流I2的圆形线圈，线圈半

径为R，圆心与直导线相距d（d?R），求两者的相互作用力。

解：在圆环上取Rd?长度为微元，受力大小为

dF?I2B1dl?I2?u0I1?Rd?

2?(d?Rsin?)I1 dF d I2 ? B

R B

整个圆环受力在竖直方向上相互抵消，在水平方向上受力向右，大小：

F??dF?sin???I2?02?u0I1sin??Rd?2?(d?Rsin?)?????d?u0I1I2?1??d2?R2?

2、如图所示，一无限长载流直导线L1中有电流I1，另有一根与L1垂直且共面的导

体棒L2，其长为a，质量为M，若L2的A端固定，导体棒可在该平面内自由转动，则要使导体棒在该位置稳定放置，则导体棒中应通以多大的电流I2？

解：导体棒相对于过A端的水平轴，磁力矩 = 重

力矩。建立ox坐标轴，原点在A点，方向向右。

M磁??dM磁??x?dF磁I1 A 2a I2 a ??u0I1??x??I2dxsin90??2?(2a?x)????x?0au0I1I2uII?2??dx?012?a?2aln?

2?(2a?x)2??3?a?Mg?

2?I2?Mg? 2??u0I1?1?2ln?3??注意：重力的力矩可用L2所受的总重力乘L2的中点到A的距离计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是正确的）。

习题十四有介质存在时的稳恒磁场

一、选择题

1、磁介质的三种，用相对磁导率?r表征它们各自的特性时（ C ） (A) 顺磁质?r? 0 ，抗磁质?r? 0 ，铁磁质?r?? 1. (B) 顺磁质?r? 1 ，抗磁质?r=1 ，铁磁质?r?? 1. (C) 顺磁质?r? 1 ，抗磁质?r? 1 ，铁磁质?r?? 1. (D) 顺磁质?r? 0 ，抗磁质?r? 0 ，铁磁质?r? 1.

2、公式（1）H = B ??0－M，（2）M =?m H和（3）B= ? H的运用范围是（ C ） (A) 它们都适用于任何磁介质.

(B) 它们都只适用于各向同性磁介质. (C)（1）式适用于任何介质，（2）式和（3）式只适用于各向同性介质. (D) 它们都只适用于各向异性介质.

提示：本题超纲！！

3、关于环路l上的H及对环路l的积分H?dl，以下说法正确的是（ A ）

l?(A) H与整个磁场空间的所有传导电流，磁化电流有关，而H?dl只与环路l内的

l?传导电流有关；

?(C) H与?H?dl都与整个磁场空间内的所有传导电流有关； (D)H与?H?dl都与空间内的传导电流和磁化电流有关.

(B) H与H?dl都只与环路内的传导电流有关；

lll

????提示：B??H，B与整个空间的所有传导电流，磁化电流有关，H自然也与整

个空间的所有传导电流，磁化电流有关。

4、磁化强度M（ B ）

(A) 只与磁化电流产生的磁场有关. (B) 与外磁场和磁化电流产生的场有关. (C) 只与外磁场有关.

(D)只与介质本身的性质有关，与磁场无关.

提示：本题超纲！！

5、以下说法中正确的是（ D ）

(A) 若闭曲线L内没有包围传导电流，则曲线L上各点的H必等于零； (B) 对于抗磁质，B与H一定同向； (C) H仅与传导电流有关；

(D) 闭曲线L上各点H为零，则该曲线所包围的传导电流的代数和必为零. 二、填空题

1、如图所示的两种不同铁磁质的磁滞回线中，适合制 造永久磁铁的是磁介质 2 ，适合制造变压器铁 芯的是磁介质 1 .

提示：本题超纲！！

2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细环,载有 0.3A电流时，铁芯的相对磁导率为600

(1) 铁芯中的磁感应强度B为 0.226 T ； (2) 铁芯中的磁场强度H为 300 A/m .

提示：参考课件有关例题。当积分曲线位于细环内部时，其周长随半径的改变而改变，但本题环的直径很小，可近似认为所有积分曲线的周长都等于环的平均周长50cm。

3、图15.2中为三种不同的磁介质的B～H关系曲线，其中虚线表示的是B =?0H的关系，说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B～H关系曲线：

a 代表铁磁质的B～H关系曲线； b代表顺磁质的B～H关系曲线； c代表抗磁质的B～H关系曲线.

提示：B??H，??O 图15.2

b c H B a 磁介质2 磁介质1 H O B B，各直线的斜率即为介质的磁导率。 H虚线的斜率为真空的磁导率?0。C线的斜率小于虚线的，b线的斜率大于虚线的，a线前半段的斜率远大于虚线的。

三、计算题

1、一铁环中心线周长L = 30cm，横截面S =1.0cm2, 环上紧密地绕有N = 300匝的线圈,当导线中电流I =32mA时,通过环截面的磁通量?= 2.0×10?6Wb，试求铁芯的相对磁导率.

解：环的截面积较小，其上磁场可认为是均匀的。

??BS?B?????0?rH??rH? SS?0??NIH?dl?HL?NI?H? ???lL??r?

2、一根无限长同轴电缆由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成，中间充满磁导率为?的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图15.3，传导电流I沿导线向右流去，由圆筒向左流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴线内外的磁感应强度大小的分布.

?L?497.4

S?0NI

解：取圆形闭曲线，设其方向从电缆的右端看为逆时针，则其包围的圆板方向向右。

I R1 R3 R2 ?????H?dl?H?2?r?I内

l图15.3

?H?I内2?r

?I内?B??H?

2?rI??2??r,(r?R1)?2?r?R21????2?r?I,(R1?r?R2)???I22?????I?(?r??R2)?,(R2?r?R3)22?2?r??R??R32?????I内?(I?I),(r?R3)??2?r

??0Ir?2?R2,(r?R1)1???I?2?r,(R1?r?R2)??

2??I??r2?R201?,(R2?r?R3)??22??2?r?R3?R2??0,(r?R)3?

习题十五电磁感应（感应电动势）

一、选择题

1、一闭合正方形线圈由电阻率为ρ的导线构成，在匀强磁场中绕通过其中心且与其一边平行的轴线以ω的角速度转动，且该轴线与磁感应强度方向垂直，则采用何种方法可以使线圈中的感应电流的幅值增加为原来的两倍。（ C ） A、将线圈的匝数增加一倍 B、保持形状不变，将线圈的面积增加一倍 C、把线圈的角速度增加一倍 D、将线圈的切割磁力线的边长增加一倍

提示：（1）电阻率：单位长度导线的电阻；

（2）设线圈切割磁力线的边长度为a，不切割磁力线的边长度为b，则

??NBabcos?ε??d?d??NBabsin???NBabsin? dtdtI?εR?ε??N?2?(a?b)??Babsin?

2?(a?b)电流幅值：Im??Bab，

2?(a?b)?Ba2?Ba?当线圈为正方形时，a?b，Im?

2?(2a)4? 2、一矩形线圈沿其一边的方向以恒定的速度从无场空间插入到均匀磁场中，且这运

动方向与分界面垂直，则在插入过程中（ C ）。 A、线圈中感应电动势线性增加 B、线圈中感应电动势线性减小 C、线圈中感应电动势保持不变 D、以上说法都不对

提示：通过线圈的磁通量随时间均匀增加，ε??d??C dt 3、在同一平面内有一无限长载流直导线和一段导体棒，导体棒绕其一端点在该平面内以ω的角速度转动，转动时导体棒整体保持在载流导线一侧，则有（ D） A、导体棒两端的电动势为0 B、导体棒两端有恒定电动势

C、导体棒两端有变化的电动势，且电动势方向随转过的角度而变 D、导体棒两端有变化的电动势，但电动势方向恒定不变

提示：1）参考课件有关例题。

2）无限长直电流的磁场不均匀。

3）电动势的方向变和不变指的是导体棒两端分别作为电源的正负极有无改变。

4、圆铜盘放置在匀强磁场中，磁场强度的方向与盘面垂直，当铜盘绕通过其中心垂直于盘面的轴转动时（ D ）。

A、盘上有感应电流，且电流方向与转动方向相反 B、盘上产生涡流

C、盘上有感应电流，且电流方向与转动方向相同 D、盘上无感应电流，只有感应电动势

提示：把每一条半径铜线等效为一电源，所有电源的电动势大小相等，方向相同。且各电源并联，未形成闭合回路。 5、如图所示，直角三角形线圈ABC在匀强磁场中B中，绕其一直角边AB以角速

?度ω转动，另一直角边BC长为l，AB方向与B平行。 转动方向如图所示，则（ B ）

?1B?l2 2?1B?l2 B、回路中??0，VA?VC?2122C、回路中??B?l，VA?VC?B?l

2?12B?l2 D、回路中??B?l，VA?VC?2A、回路中??0，VA?VC?B C ω A ?B

提示：1）通过三角形线圈的磁通量为0，ε??d?d0???0； dtdt???C???2）(v?B)和dl的夹角小于90度，故εAC??(v?B)?dl?0，即AC

A段上动生电动势的方向为从A到C，C端为电源的正极，C端电势高于A端。

二、填空题

1、感应电场是由变化的磁场产生的，它的电场线的特点是闭合曲线。

2、如图所示，一无限长直截流导线与一矩形线圈共面放置， 矩形线圈的高为h，宽为a，靠近无限长导线的一边与长直

h 导线相距为d，当长直导线中的电流随时间变化规律为I(t)

d 时，线圈中感应电动势为?u0hd?ad?ln?I(t)，方向 2?ddta 为顺时针。（或数值加一负号，但方向取逆时针）

提示：选矩形板的方向垂直纸面向里，则其周长的方向为顺时针。

??d?a?IuIhd?a0????B?dS???BdScos0????BdS??(hdr)?0ln

SSSd2?r2?duhd?d?adε????0?ln?I(t)

dt2?ddt

3、在上图中，当线圈以υ0的恒定速度向上运动时，在图示时刻线圈中的感应电动

势为 0 ；当线圈以υ0的恒定速度向右运动时，在图示时刻线圈中的感应电动势为

提示：1）当线圈以υ

0

u0hIav0，方向为顺时针。（或数值加一负号，但方向取逆时针）

2?d?d?a?的恒定速度向上运动时，通过线圈的磁通量为常数，

ε??

d??0。 dt2）当线圈以υ0的恒定速度向右运动时，选矩形板的方向垂直纸面向里，则其周长的方向为顺时针。设 t 时刻靠近无限长导线的一边与长直导线相距为x，

??x?a?IuIhx?a0????B?dS???BdScos0????BdS??(hdr)?0ln

SSSx2?r2?xε??u0hIau0hIad?d?uIhx?a?dx???0ln????v0 ?dtdt?2?x?2?x?x?a?dt2?x?x?a?在图示时刻，x = d ，ε?

u0hIav0

2?d?d?a?a R b ，

4、如图所示，与匀强磁场B垂直的平面内有一导轨和在导轨上 移动的导线ab，导线和导轨构成的回路电阻恒为R0，ab以

?vB2l2速率υ向右匀速运动时，作用在ab上的外力为。

R0提

示

：

?? εba?vBl,

I?εbaR0?vBlR0vBlvB2l2 F安?BIl?Bl?R0R0导线做匀速运动，外力等于安培力。

三、计算题

1、如图，在一与地面倾角为θ的光滑轨道上有一导体棒ab，若导体棒ab与轨道构

成的回路电阻恒为R，当该系统置于垂直向上的匀强磁场B中时，求导体棒在光滑轨道上向下滑动所能达到的最大速率。

解：导体棒达最大速率时，重力在斜面方向上的分力等于安

b ?培力在斜面方向上的分力。

B ?mgsin??F安培cos??BIlcos??Baθ

Blvcos?lcos?Rv?BBmgRsin?B2l2cos2?

2、一半径为R的空心无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通入dI?常数的

dt电流，将导线oab和bc垂直于磁场放在管内外，oa=ab=bc=R，求oa、ab、bc各段导线上感生电动势。

解：无限长密绕螺线管内部磁场是均匀的，大小为B??0nI，

外部磁场为 0 。

感生电场的电场线为环绕螺线管的同心圆。

o R c a b ??εoa??E?dl?0

oaεab?ε?oabo??εbc?ε?obco??d??oabodt?3dI，方向从 a 到 b 。 u0nR24dtd??obco?dI?u0nR2，方向从 b 到 c 。 dt12dt

（参考课件有关例题）

习题十六

一、选择题

自感、互感，磁能

1、一个电阻为R，自感系数为L的线圈，将它接在一个电动势为?(t)的交变电源上，设线圈的自感电动势为?1，则通过线圈的电流为（ C ）

A、

?(t)

RB、

??(t)??1?R C、

??(t)??1?R D、

?1R

提示：先把两个电动势都看成算术量（只取正数或 0 ），考虑两种特殊情形： 1）当ε(t)增大从而电流也增大时，ε1要阻碍电流的继续增大，故通过线圈的电流为

ε(t)?ε1R；

2）当ε(t)减小从而电流也减小时，ε1要阻碍电流的继续减小，故通过线圈的电流

为

ε(t)?ε1R。

可知没有一个选项能把两种情形都包括进去。

事实上本题应把二电动势均看成代数量（可以取负值），且易知二电动势有时同号，有时异号。计算回路中的总电动势时只需把二者相加即可。

2、面积为S和2S的两个线圈A和B的中心垂直轴相同，通有相同的电流I，由线圈A中电流产生通过线圈B的磁通量为?BA，由线圈B中电流产生通过线圈A的磁通量为?AB，则二者的关系为（ C ） A、?BA=2?AB

B、?BA=?AB/2

C、?BA=?AB

D、?BA>?AB

提示：?BA?MIA?MI?AB?MIB?MI

3、下列那种情况下，不会出现位移电流（ A ）

A、电场不随时间变化 B、电场随时间变化 C、交流回路 D、在接通直流电路的瞬时 提示：位移电流的实质是变化的电场。

4、一长为l的螺线管，原来用细导线单层密绕而成，如换用直径比原来的大一倍的导线绕制，则螺线管的自感系数为（ C ） A、增加到原来的两倍 B、减少为原来的二分之一 C、减少为原来的四分之一 D、增加到原来的四倍

提示：L??0n2V（见课件有关例题）。换用直径比原来的大一倍的导线绕制，

n将减小为原来的一半，但螺线管的体积不变。

二、填空题

1、边长为a的正方形线圈放在一根长直导线旁，线圈与直导线共面，其中心距长直导线为3a/2，线圈的一组边与直导线平行，此时，正方形线圈与长直导线的互感

系数为

u0aln2，若将线圈垂直于长直导线方向的两条边向外侧延长一倍而成矩2?形，此时的互感系数为

u0aln3。 2?提示：B??0I， 2?r??2a?I?Ia0????B?dS???BdScos0????BdS???(adr)?0ln2

SSSa2?r2???aM??0ln2

I2?3a?I?0Ia??0a0???(adr)?ln3M??ln3 后一种情况：?a2?r2?I2?参考课件有关例题。

2、两根直径为d的平行长直导线的中心轴线相距为l（l>>d）,此时这两根长直导线单位长度上的自感系数为

u0?2l?d?ln??。 ??d?提示：参考课件有关例题。 3、有两个自感线圈，线圈Ⅰ的自感系数为L1，电阻为R1，线圈Ⅱ的自感系数为L2，电阻为R2，且L2=2L1，R2=2R1。若把两线圈串联后接在电源上，两自感线圈中储存的磁能W1:W2= 1:2 ，若把两线圈并联后接在电源上，两自感线圈中储存的磁能W1:W2= 2:1 ，

11??V?提示：串联电流相等，并联电压相等。W?LI2?L??

22?R?

4、一长为l，总匝数为N的细长密绕螺线管内，通有变化的电流I?I0e?at（a、I0都为常数），则螺线管内距螺线管的轴线为r处一点的磁感应强度的大小为

2u0NI0?atuNIrae，电场强度的大小为00e?at。 L2L提示：本题超纲！

5、有两个线圈，自感系数分别为L1=3mH、L2=5mH，串联成一个线圈后测得自感系数L=11mH，则两线圈的互感系数M = 1.5 mH 。

提示：L?L1?L2?2M（参考课件有关例题）?M?1.5(mH)

三、计算题

1、 如图所示，两条长直平行输电导线和一矩形线圈共

面，长直导线在无限远处相接，求线圈和两条导线的互感系数。

解：建立坐标原点在右导线、方向向右的坐标轴。设输电导线中的电流为I，则在矩形线圈中的磁通为：

l1 a ?????B?dS??BdSl2 b ??l1?bl1?u0I?u0I????(adx) ?2?x2?(x?l2?l1)?u0Ia?l1?bl2?b???ln?ln? 2??l1l2?M?

2、 一截面为矩形的螺绕环，内外半径分别为R1和R2，高为h ，绕有N匝线圈。在螺绕环的中心轴线处置一无限长直导线。求： （1）螺绕环的自感系数；

（2）长直导线与螺绕环的互感系数； （3）当螺绕环中通以I?I0sin?t的交变电流时，长直导线中的感应电动势。

解：（1）

l2?b??u0a?l1?b?ln?ln?? I2??l1l2???R2uNIu0N2IhR20??N?B?dS?N?(hdx)?ln

R12?x2?R1h ?u0N2hR2L??ln

I2?R1R2 R1 （2）

??R2uIuNIhR20 ??N?B?dS?N?(hdx)?0lnR12?x2?R1M??u0NhR2?ln（参考课件有关例题） I2?R1（3）设螺绕环中电流方向如图所示，

ε??uNIh?Rd?d(MI)dI????M??00ln2cos?t，方向：向下。 dtdtdt2?R1提示：判断电动势方向时须增加一些辅助线，从而把直导线连接为闭合导线！此外应使

以闭合导线为边界的曲面的方向与该曲面所在处的磁场同方向。

习题十七电磁波

四、选择题

1、设位移电流激发的磁场为B1，传导电流激发的磁场为B2，则有（ B ） (A) B1、 B2都是保守场． (B) B1、 B2都是涡旋场． (C) B1是保守场，B2是涡旋场． (D) B1是涡旋场，B2是保守场．

2、设位移电流与传导电流激发的磁场分别为Bd和B0，则有（ A ）

??B?dS?0,??B?dS?0． (B) ??B?dS?0,??B?dS?0． (C) ??B?dS?0,??B?dS?0． (D)??B?dS?0,??B?dS?0．

(A)

S0SdSS00SdSdS0Sd

3、在某空间，有电荷激发的电场E0，又有变化磁场激发的电场Ei，选一闭合回路l，则（ D ）

??(B) 一定有?E?dl?0,?E?dl?0．

(C) 可能有?E?dl?0,一定有?E?dl?0． (D)一定有?E?dl?0，可能有?E?dl?0．

(A) 一定有E0?dl?0,Ei?dl?0．

lll0lil0lil0li????d?提示：??lEi?dl?0。例?lEi?dl??dt，可设想出一种情形，使得??C，则?如积分曲线为一圆周，处在一变化的匀强磁场中，圆周所在平面与磁场平行，此时??0。

4、电荷激发的电场为E1，变化磁场激发的电场为E2，则有（ C ） (A)E1、E2同是保守场． (B) E1、E2同是涡旋场．

(C) E1是保守场， E2是涡旋场． (D)E1是涡旋场， E2是保守场．

5、位移电流的实质是（ D ）

(A)电场． (B)磁场．

(C)变化的磁场． (D)变化的电场．

二、填空题

1、在没有自由电荷与传导电流的变化电磁场中

????E???l?H?dl??S??0?t?dS；

????B???l?E?dl???S??t?dS．

2、写出包含以下意义的麦克斯韦方程：

??q内E(1)电力线起始于正电荷，止于负电荷????dS?；

S?0????B?(2)变化的磁场一定伴随有电场??l?E?dl???S??t?dS；

??(3)磁力线无头无尾???B?dS?0；

S(4)静电场是保守场

??E?dl???静?0；

l

3、反映电磁场基本性质和规律的麦克斯韦方程组的积分形式为

?D?dS??qSi?1ni ①

?E?dl=?d?/dt ② ?B?dS?0 ③

lm

S?H?dl??Ili?1ni? d?d/dt ④

试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用

代号填在相应结论后的空白处 （1）变化的磁场一定伴随有电场②；

（2）磁感应线是无头无尾的③； （3）电荷总伴随有电场① .

三、计算题

1、如图所示，电荷+q以速度v向O点运动(+q到O的距离用x表示)在O点处作一半径为a的园，园面与v垂直，计算通过此园面的位移电流.

????0qv?er?解：B?

4?r2运动的点电荷在圆盘边缘上磁场的方向：位于圆盘 边缘的切线上，从圆盘右侧看为逆时针。

q ? v x a O 即圆盘边缘上的磁感应线为圆周，方向：从圆盘右侧看为逆时针。 运动的点电荷在圆盘边缘上磁场的大小：

B?

?0qv?0qv?0aqvasin???

4?x2?a24?x2?a2(x2?a2)1/24?(x2?a2)3/2选圆盘边缘上的磁感应线为积分曲线，曲线方向：从圆盘右侧看为逆时针，则圆盘的方向向右。位移电流的方向：与圆盘的方向相同，即向右，大小计算如下：

???0?0qvaRqva?2?R? ?B?dl?B?2?R???l4?(x2?a2)3/22(x2?a2)3/2??0?I传?I位???0I位

?I位?

qvaR， 223/22(x?a)2、如图,一半径为r2电荷线密度为?的均匀带电圆环,里面有一半径为r1总电阻为R的导体环,两环共面同心(r2?? r1),当大环以变角速度?=?(t )绕垂直于环面的中心轴旋转时,求小环中的感应电流,其方向如何？

????0qv?er?解：B?

4?r2O r1 r2 ? 转动圆环在其圆心处的磁场垂直纸面向外，大小计算如下：

? dB??0dqv?0(?ds)(?r2)??0?ds ??4?r224?r224?r2dB??B???圆环??0?ds??0??圆环4?r24?r2?圆环ds

??0???0? ?2?r2?4?r22设小圆盘的方向向外，则小圆环的方向为逆时针。

由于小圆盘较小，其上磁场可近似认为均匀，都等于其圆心处的磁场。小圆环上的感应电动势和感应电流的方向：与小圆环的方向相同，即为逆时针，感应电流的大小计算如下：

????0??0??r12?2????B?dS???BdScos0?B??dS?BS???r1??

SSS22?0??r12d?d?d??0??r12? ε?????????dtdt?22dt?I?

?R???0??r12d?2Rdt

习题 十八 振动

一、选择题：

1. 一倔强系数为k的弹簧与一质量为m的物体组成弹簧振子的固有周期为T1, 若将此

弹簧剪去一半的长度并和一质量为m/2的物体组成一新的振动系统, 则新系统的固有周 期T2为（ C ）

(A) 2T1. (B) T1. (C) T1/2. (D) T12. f。k?提示：设弹簧由两个相同的半截弹簧（设两弹簧弹性系数均为k?）串联而成，则整个串联弹簧受到拉力f时，两个半截弹簧的弹性力也均为f，其伸长量均为?x?整个串联弹簧总伸长量2?x?2?ff?，?k??2k。 k?kmm/2m/21?m?T1T1?2?T2?2??2???2????2 k?2k2?kk??

2. 两个质量分别为m1、m2并由一根轻弹簧的两端连接着的小球放在光滑的水平面上.当m1固定时,m2的振动频率为ν2,当 m2固定时,m1的振动频率为ν1,则ν1 等于（ D ）

(A)ν2. (B) m1ν2/m2. (C) m2ν2/m1.

(D)ν2m2/m1.

?1????1T1?提示：????1?22??12?km2km1??1m2m2???1??2 ?2m1m1

3. 火车沿水平轨道以加速度a作匀加速直线运动,则车厢中摆长为l的单摆的 周期为（ B ）

(A) 2??a2?g2l

?(B)2?la2?g2

(C) 2?(a?g)l

(D)2?l/(a?g)

提示：类比静止车厢中的单摆！

静止车厢中的单摆相对车厢静止时，摆线的张力：mg。周期：T?2?ml。 mg静止车厢中的单摆相对车厢静止时，摆线不在竖直方向，而是与竖直方向有一夹角，

22易知此时摆线的张力：mg?a。则周期：T?2?mlmg?a22。

4、某质点作谐振动，周期为T，它由平衡位置沿X轴负方向运动到离最大负位移1/2处所需要的最短时间为（ B ）

(A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8 提示：找旋转矢量转过的最小角度！?tm?

??m???/6T?

2?/T12二、填空题：

1、一复摆作简谐振动时角位移随时间的关系为?=0.1cos(0.2 t +0.5),式中各量均为SI制,则刚体振动的角频率? = 0.2, 刚体运动的角速度?= d?/dt =?0.02sin(0.2t+0.5) ,角速度的最大值?max=0.02.

提示：???0cos(?t??)。?既是刚体振动的角频率，又是旋转矢量的角速度。但不是刚体运动的角速度，所以刚体运动的角速度的符号不能再用?了，本题用了?。

2、一物体沿X轴作谐振动，振幅为10.0cm，周期为2.0s，在t=0时，坐标为5.0cm，且向X轴负方向运动。则当物体在x = —6.0cm处，向X轴负方向运动时，物体的速度大小为8? cm/s，加速度大小为 6?2 cm/s2，加速度的方向沿X轴正方向；

它从该位置回到平衡位置所需的最短时间为

11?3??arccos???0.768s。 2??5?提示：由已知条件：??2???，???/3（参考课件有关例题） Tx?0.1cos(?t??/3)

v?dx??0.1?sin(?t??/3) dtdva???0.1?2cos(?t??/3)

dt34cos(?t??/3)??，sin(?t??/3)?

55v??0.1?sin(?t??/3)??0.08?

当物体在x = —6.0cm处，向X轴负方向运动时，

a??0.1?2cos(?t??/3)?0.06?2

找旋转矢量转过的最小角度！

?3??arccos????2?5??1?1arccos?3? ?tm?m?????2??5?本题应充分利用旋转矢量图！！否则极其麻烦！！

3.如图所示的旋转矢量图，描述一质点作简谐振动，通过计算得出在t=0时刻,它在X轴上的P点，位移为x=+2A/2，速度v<0.只考虑位移时，它对应着旋转矢量图中圆周上的B 和C点，再考虑速度的方向，它应只对应旋转矢量图中圆周上的B点，由此得出质点振动的初位相值为+?/4. 提示：参考课件有关例题。

B ?－A O v P C A x

提示：参考教材有关内容。

4.一振源的功率为1.0w，这振源在无吸收的各向同性介质中发射球面波，则离振源1.0m处波的强度为

1?0.08(W/m2) 。 4?1 4?提示：1.0?I?(4?1.02)，?I?

三. 计算题

1 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，

C为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程y?Acos(Bt?Cx)

将上式与波动方程的标准形式y?Acos?2??t?2???x?? ??B2?，波长??，波速2?C比较，可知：波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率??u????B12?，周期T??． C?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程y?Acos(Bt?Cl) (3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为:

???2???x2?x1?

2?代入上式，即得???Cd． C将x2?x1?d，及??

2. 如图所示，沿 x 正向传播的平面简谐波（周期 T > 1 s ）在t=0 和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，试根据图中绘出的条件求：

(1)波动方程（波函数）； (2)P点的振动方程．

解: (1)由图可知，A?0.1m，??4m，

又，t?0时，O点：yO?0,vO?0，作旋转矢量图知：?0?而u??， 2?x1?k?1?4k???2?8k(m?s?1)，(k?0) ?t0.50.5?421T????1，?k?，?k?0，?u?2(m/s)

u2?8k1?4k4u2????0.5(Hz)，∴??2????

?4故波动方程（波函数）为y?Acos???t?????x????x??? ???0??0.1cos???t????（m）

u????2?2?(2)将xP?1m代入上式即得P点振动方程为

???y?0.1cos??t????0.1cos?t（m） ?22??

3.一沿X轴正向传播的平面简谐波的频率ν＝250Hz，波长λ＝0.10m，振幅A＝0.020m，O点初相为0。

（1）写出波函数（波动方程）；

（2）距原点为x＝1.0 m处的质点的振动方程及振动速度； （3）画出t＝100s时的波形； （4）求波的传播速度。

解：（1）yO?Acos(2??t??0)?0.020cos?2??250t? 波函数：y?0.020cos?2??250t?2???x???0.020cos?2??250t?10x??（m） ??（2）x＝1.0 m时，y?0.020cos2??250t?10?（m）

??v?dy??10?sin?2??250t?10??（m/s） dt（3）t=100s时，y?0.020cos??20?x?50000???0.020cos??20?x?（m），图象：

（4）u????25(m/s)

y 0.02 o 0.1 x

习题 二十 波动（二）

一. 选择题

1.一平面简谐波沿

x轴负方向传播，振幅A=0.01m，频率??550Hz,波速

u?330m/s。若t=0时，坐标原点处的质点达到负的最大位移，则此波的波函

(A) y = 0.01cos[2? (550t＋1.67x)＋?] (B) y = 0.01cos[2? (550t－1.67x)＋?] (C) y = 0.01cos[2? (550t＋1.67x)－?/2] (D) y = 0.01cos[2? (550t－1.67x)＋3?/2]

2. 在波传播的过程中，以下说法正确的是（ B ） (A)某质元的动能和势能相互转化,总能量保持不变；

(B)某质元任一时刻的动能与势能相等,且随时间作周期性的变化； (C)某质元任一时刻的动能与势能相等,且不随时间发生变化；

(D) 某质元任一时刻的动能与势能有可能相等,有可能不等,视时刻而定. 提示：参考课件有关内容。

3. 两相干波分别沿BP、CP方向传播,它们在B点和C点的振动表达式分别为

yB= 0.2cos2? t(SI) 和yC = 0.3cos(2? t +? ) (SI)

己知BP=0.4m,CP=0.5m，波速u=0.2m/s,则P点合振动的振幅为（ C ）

(A) 0.2m. (B) 0.3m. (C)0.5m. (D)0.1m. 提示：??数为 （ A ）

?2?u0.2??1，????0.2， 2?2??1两个振动的位相差：

???2?

r1?r2????2??1??2??0.4?0.5???0，即二振动同相，相互加强。 0.24. 关于驻波的特性, 以下说法错误的是（ B ）

(A) 驻波是一种特殊的振动,波节处的势能与波腹处的动能相互转化； (B) 两波节之间的距离等于产生驻波的相干波的波长； (C) 一波节两边的质点的振动步调（或位相）相反； (D) 相邻两波节之间的质点的振动步调（或位相）相同.

提示：关于（A）选项，1）不能套用关于行波能量的结论；2）驻波不传播能量，可认为二波节之间的介质具有的能量守恒；3）波节静止，无动能，但一般有形变（切变），有弹性势能（随时间改变）。波腹一般有动能（随时间改变），但无形变（切变），无弹性势能。

5.设声波在媒质中的传播速度为u，声源频率为νs，若声源s不动，而接收器R相对于媒质以速度vR沿着s、R的连线向着声源s运动，则接收器R的振动频 率为（ D）

(A)νs.(B)

uν.(C)uν.(D)u?vRν.

s

uu?vRsu?vRs

二. 填空题

1. 两相干波源s1、s2之间的距离为20m,两波的波速为c=400m/s,频率ν=100Hz,振幅A相等且A=0.02m,并且己知s1的相位比s2的相位超前?,则s1与s2连线中点的振 幅为0.

两个振动的位相差：

???2?

r1?r2????2??1??2??0??(??)???，即二振动反相，相互削弱。

2.一无限长线波源发射柱面波，设介质各向同性，不吸收能量，r0处的振幅为A0，

则r处的振幅为A0r0 。 r提示：作两个柱面，使用平均能流密度计算一个周期内通过两个柱面的能量，并利用两能量相等列方程。

???E1?I1TS1?I1TS1?I2TS2?I1T(2?rh?1)?I2T(2?r2h)

???E2?I2TS2I1r2AA12r2?I1r1?I2r2???2??1?A2I2r1A2r13. 两列波在同一直线上传播,其表达式分别为

y1 = 6.0cos[? (0.02x?8t) /2 ] y1 = 6.0cos[? (0.02x+8t) /2 ]

式中各量均为 S I 制。则驻波波节的位置为100k + 50 (k为整数)。 提示：法1：求驻波波函数，从中找出振幅 A的表达式，然后令A = 0 。

法2：把两波函数变形为： y1 = 6.0cos[? ( 8t - 0.02x) /2 ]

y1 = 6.0cos[? ( 8t + 0.02x) /2 ]

x 点所参与的两个振动的的位相差：

[? ( 8t + 0.02x) /2 ] -[? ( 8t - 0.02x) /2 ]

r2 r1?0.02?x??2k?1??（两振动须反相）

?x?100k?50

4. 设沿弦线传播的一入射波的表达式为

y1=Acos [2?(t/T?x/?)+?]

波在x=L处(B点)发生反射，反射点为固定端(如图)，设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式为y2 =Acos[2?(t/T+x/?)+(?+??4?L/?)]. O y B L x 提示：考虑有无半波损失！参考课件有关例题或下面的计算题2。

5. 为测定某音叉C的频率，选取频率已知且与C接近的另两个音叉A和B，已知A的频率为800Hz , B的频率是797Hz，进行下面试验：

第一步，使音叉A和C同时振动，测得拍频为每秒2次； 第二步，使音叉B和C同时振动，测得拍频为每秒5次. 由此可确定音叉C的频率为802Hz. 提示：???2??1????2?800??C

??5?797??CA)??2?800??C?2?800??C B)?

5?797??5???797CC???2??C?800?2??C?800C）? D）?

5?797??5???797CC??易知只有D）有解。

三. 计算题

1．在直径为14cm的管中由空气介质传播平面简谐波，平均能流密度为6.8ⅹ10-3J/s?m2，频率为340Hz，波速为340m/s，求波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中含有多少能量。

I6.8?10?3?2.0?10?5(J/m3) 解：I?wu?I?wu?w??u340x?w???2A2sin2??t???

?u??wmax???A22?w?T0wdtT?1??2A2 2?wmax?2w?4.0?10?5(J/m3) E?I?T??r2?6.8?10?3

2．设入射波的波函数为y1?Acos2??1?0.072?3.1?10?7(J) 340?t?x??，在x?0处发生反射，反射点为一固T???定端。

（1） 写出反射波的波函数；（2）写出驻波的波函数； （3）求波节和波腹的坐标。 y2 解：(1)y1O?Acos?2?y1

x

??t?? T?O

t?y?Acos?2?t?2?x???y2O?Acos?2?????2??

??T??T?(2)y?y1?y2?2Acos?2???x?????2?t???cos???

2??T2?(3)cos?2???x????x??0?2???(k?1/2)? ??22??x?k?，x?0?k?0， 2k??x??k?0?（波节）

2x??x?cos?2????1?2???k? ???2??2??x?2k?1?，?x?0?k?1， 4?x?2k?1??k?1?（波腹） 4

3．位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100Hz，位相差为?。若A、B相距30m，波速为400m/s，求AB连线上叠加静止的各点的位置。 解：??u??400?4(m), 100???2??1??2??30???16?，振动加强。 4在AB或BA延长线上任一点，两个振动的位相差：

???2?r1?r2?

在AB之间任一点x，两个振动的位相差：

???2?r1?r2????2??1??2??x?(30?x)2x?30???2?????(x?15)???44?(x?14)??(2k?1)?（两振动须反相）

?x?13?2k。

考虑到0?x?30，则?6.5?k?8.5，k??6,?5,?8，

?x?1,3,5,?29。

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