2015年山西中考复习导学案第14讲 函数的应用

襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案

编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2015年3月 课题 第14讲 函数的应用 课时 班级 姓名 组别 1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用． 2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量； (2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案． 3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题． 一种模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面． 两种技巧 (1)实际问题中函数解析式的求法：设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y. (2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x的取值范围． 三种题型 (1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想； (3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动． 中考真题再现 1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？ 解：(1)由题意，得，当0＜x≤1时，y＝22＋6＝28；当x＞1时y＝28＋10(x－1)＝10x＋18；∴y??28（0＜x≤1）＝? (2)当x＝2.5时，y＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元 ?10x＋18（x＞1）?

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2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象． (1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB段图象的函数表达式； (3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 解：(1)由图象可设OA段图象的函数表达式为y＝kx，当x＝1.5时，y＝90；所以：1.5k＝90解得k＝60即y＝60x(0≤x≤1.5)，当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB段图象的函数表达式为y＝k′x＋b，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB上，代入得??90＝1.5k′＋b，?解得：k′＝80，b＝－30，所以y＝80x－30(1.5≤x≤2.5) (3)当x＝2时，代入得：y＝?170＝2.5k′＋b?80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米 3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米． (1)求出y与x的函数表达式； (2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？ 4??b＝299，?k＝－125，?4解：(1)设y＝kx＋b，则有?解之，得?∴y＝－x＋299 (2)当x＝1200125?2000k＋b＝235???b＝299.4时，y＝－×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米 125 一次函数相关应用题 【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会． (1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 解：(1)按优惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4) (2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少 【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．

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1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元． (1)根据图象，求y与x之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价； (3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？ ?250＝50k＋b，解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象，得?解得 ?100＝200k＋b，?k＝－1，∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋300 ??b＝300，(2)∵y＝－x＋300，∴当x＝120时，y＝180.设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意得120a＋180×2a＝7200，解得a＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒的进货(－m＋300)?15m＋30（－m＋300）≤6300，个，由题意得?解得180≤m≤181，∵m为整数，∴m＝180，181.∴共?4m＋9（－m＋300）≥1795，有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，由题意得W＝4m＋9(－m＋300)＝－5m＋2700.∵k＝－5＜0，∴W随m的增大而减小，∴m＝180时，W最大＝1800元 反比例函数相关应用题

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【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米． (1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； (2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？ 360360360解：(1)由题意得y＝，把y＝120代入y＝，得x＝3.把y＝180代入y＝，得x＝2，∴自xxx360变量的取值范围为2≤x≤3，∴y＝(2≤x≤3) x(2)设原计划平均每天运送土石方x万立方米，则实际平均每天运送土石方(x＋0.5)万立方米，根据360360题意得－＝24，解得x＝2.5或x＝－3.经检验x＝2.5或x＝－3均为原方程的根，但x＝－3xx＋0.5不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米 【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；??乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销． (1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝优惠金额)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况； 购买商品的总金额(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由． 200解：(1)510－200＝310(元) (2)p＝，∴p随x的增大而减小 (3)购x元(200≤x＜400)在甲商场x的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x－0.6x＝0.4x，当0.4x＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；当0.4x＝100，即x＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x＞100，即250＜x＜400时，选乙商场优惠

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二次函数相关应用题 【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？ 解：(1)M点的坐标为(12，0)，顶点P的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y＝a(x－6)2＋6，∵抛物线y11＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a＝－6，a＝－.∴抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋661116＝－x2＋2x (3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－m2＋2m)，D(m，－m2＋2m)．∴“支6661111撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋2m)＋(12－2m)＋(－m2＋2m)＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋6633115.∵a＝－＜0.∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米 3 【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题． 3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 90 售价(元/件) x＋40 每天销量(件) 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，当50≤x≤90时，y＝(2002??－2x＋180x＋2000（1≤x＜50）－2x)(90－30)＝－120x＋12000，综上所述：y＝? (2)当1≤x＜50时，?－120x＋12000（50≤x≤90）?二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)

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试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数． (1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式； (2)求纯收益g关于x的解析式； (3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？ ?a＋b＝2，?a＝0，2错解 解：(1)由题意，得x＝1，y＝2；x＝2，y＝4，代入y＝ax＋bx中，有?解得??4a＋2b＝4，?b＝2，故y＝2x. (2)纯收益g＝33x－150－2x＝31x－150. (3)由g＝31x－150可知，x越大，g越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g＞0，∵x＝4时，g＝－26＜0；x＝5时，g＝5＞0，∴5个月后，能收回投资． 剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x＝2时y＝4，而应该是“x＝2时，y＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯． ?2＝a＋b，2正解 解：(1)由题意，得x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝2＋4＝6，代入y＝ax＋bx中，有??6＝4a＋2b，?a＝1，解得?故y＝x2＋x. ?b＝1，(2)纯收益g＝33x－150－(x2＋x)＝－x2＋32x－150. (3)∵g＝－x2＋32x－150＝－(x－16)2＋106，∴x＝16时，g有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；又当x＝5时，g＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x＝6时，g＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本． 教学反思;

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