专题整理
更新时间:2024-05-26 04:08:01 阅读量: 综合文库 文档下载
金陵家教 图形的相似与位似专题
1. (2010年福建省德化县)如图,小“鱼”与大“鱼”是位似图形,如果小“鱼”
上一个“顶点”的坐标为(a,b),那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 ( ) A、(?a,?2b)
B、(?2a,?b) D、(?2b,?2a)
C、(?2a,?2b)
【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系(若相似比为k, 则坐标之比同侧为k异侧为-k) 【答案】C
2.(2010江苏泰州,)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( ) A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B
【关键词】相似三角形的判定 3.(2010年宁德市)如图,在□ABCD中,AE=EB,AF=2,则FC等于_____.
【答案4】
1.(2010年台湾省)图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置,其中DG与EF
交于H点。若?ABC=?EFC=70?,?ACB=60?,?DGB=40?,则下列哪 A 一组三角形相似? E (A) △BDG,△CEF (B) △ABC,△CEF
D (C) △ABC,△BDG (D) △FGH,△ABC 。 H 【关键词】相似 【答案】B B C
G F 图(一)
3.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16,则这两个三角形的相似比是( )
A.9:16 B. 3:4 C.9:4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B
4. (2010年兰州市) 如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米.甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6 5.(2010辽宁省丹东市)如图,
△ABC与△A?B?C?是位似图形,且位似比
是1:2,若AB=2cm,则A?B?? cm,
BC ′ 并在图中画出位似中心O. A 【关键词】位似
C【答案】.4(填空2分,画图1分) ′ A BB′ C ′ A第11题图 O C ′ A B ′
第11题图
6.(2010年安徽省芜湖市)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB与CD间的距离是__________m.
【关键词】投影 相似三角形 【答案】1.8
7.(2010重庆市)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3,则△ABC与△DEF的
周长比为_____________.
解析:由相似三角形的对应线段比等于相似比知,△ABC与△DEF的周长比为2:3 答案:2:3.
8.(2010山东德州)如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_____m.
【关键词】三角形相似 【答案】4
第14题图 B时
A时
9.(2010重庆潼南县)12. △ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的周长比为 . 答案:3:4
10. (2010重庆市潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的周长比为 . 答案:3:4.
11.(2010年浙江省金华). 如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点,以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O 的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. 若
BG?3,则BK﹦ . BM上的一个动点,连
A
O
D
E M
F
B CG 【关键词】正方形、相似、切线定理 K
51(第16题【答案】或 3312.一天,小青在校园内发现:旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点(如图所示).如果小青的峰高为1.65米,由此可推断出树高是_______米. 3.3
13.. (2010浙江衢州)
如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上.
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由).
D B
P5 P1 P2 F A
P3 P4
E C
解:(1) △ABC和△DEF相似. ??2分
根据勾股定理,得 AB?25,AC?5,BC=5 ; DE?42,DF?22,EF?210.
??1分
(2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可. ??4分 △P2P5D,△P4P5F,△P2P4D, △P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
D B
P5 P1
P2 F A P3 P4
E C
(第22题)
14.(2010江西)图1所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,起示意图如图2.当伞收紧时,
点P与点A重合;当三慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张得最开。已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN=CM=CN=6.0分米,CE=CF=18.0分米.BC=2.0分米。设AP=x分米.
ABACBC5???, DEDFEF22∴ △ABC∽△DEF.
∵ ??3分
(1)求x的取值范围;
(2)若∠CPN=60度,求x的值; (3)设阳光直射下伞的阴影(假定为圆面)面积为y,求y与x的关系式(结构保留?)
【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等
【答案】23.解(1)因为BC=2,AC=CN+PN=12,所以AB=12-2=10 所以x的取值范围是0?x?10 (2) 因为CN=PN,∠CPN=60°,所以三角形PCN是等边三角形.所以CP=6 所以AP=AC-PC=12-6=6 即当∠CPN=60°时,x=6分米
(3) 连接MN、EF,分别交AC与0、H,
因为PM=PN=CM=CN,所以四边形PNCM是菱形。 所以MN与PC互相垂直平分,AC是∠ECF的平分线
PC12?x??6?0.5x 22在RtVMOP中,PM=6, PO?MO2?PM2?62?(6?0.5x)2?6x?0.25x2
又因为CE=CF,AC是∠ECF的平分线,所以EH=HF,EF垂直AC。 因为∠ECH=∠MCO,∠EHC=∠MOC=90°, 所以VCOM:VCEH,所以MO/EH=CM/CE 所以(MO26)?()2 EM18所以EH2?9gMO2?9(6x?0.25x2) 所以y??gEH2?9?(6x?0.25x2)
15.(2010珠海)19.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. 6、 求证:△ADF∽△DEC
7、 若AB=4,AD=33,AE=3,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中,DE= ∵△ADF∽△DEC ∴
AD2?AE2?(33)2?32?6
ADAF33AF? ∴ AF=23 ?DECD6416.(2010年滨州)本题满分8分)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线); (2)请分别说明两对三角形相似的理由.
解:(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE (2)①证△ABC∽△ADE. ∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE. ②证△ABD∽△ACE. ∵△ABC∽△ADE,
ABAC?AE ∴AD又∵∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE
(2010年滨州)15.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC,在AC上取点
M,使AM=3MC,作MN∥AB交BC于N,量得MN=38cm,则AB的长为
【答案】152
17.(2010日照市)
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证: (1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC; (3)BC2=2AB·CE.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° , 即AD是底边BC上的高.
又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形, ∴D是BC的中点
(2) 证明:∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角, ∴ ∠CBE=∠CAD. 又∵ ∠BCE=∠ACD, ∴△BEC∽△ADC; (3)证明:由△BEC∽△ADC,知即CD·BC=AC·CE. ∵D是BC的中点,∴CD=
CDCE?, ACBC1BC. 21BC ·BC=AB·CE 2 又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE=即BC=2AB·CE.
218.(8分)(2010年浙江省东阳市)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC
于E点,AE=2,ED=4. (1)求证: ?ABE~?ABD;
(2) 求tan?ADB的值; (3)延长BC至F,连接FD,使?BDF的面积等于83, 求?EDF的度数.
【关键词】图形相似 三角函数
【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB
又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD........................3分 (2)∵△ABE∽△ABD ∴AB=2×6=12 ∴AB=23
2
ABODCEF在Rt△ADB中,tan∠ADB=
233..........................3分 ?63(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形, ∠EDF=6°......................................
19.(2010年四川省眉山市).如图,Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,
连结CC ? 交斜边于点E,CC ? 的延长线交BB ? 于点F. (1)证明:△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=?,∠CAC ? =?,试探索?、?满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定 【答案】(1)证明:∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的, ∴AC=AC ?,AB=AB ?,∠CAB=∠C ?AB ? ∴∠CAC ?=∠BAB ?
FB∴∠ACC ?=∠ABB ?
C'又∠AEC=∠FEB
E∴△ACE∽△FBE
(2)解:当??2?时,△ACE≌△FBE. 在△ACC?中,∵AC=AC ?,
B'180???CAC'180??? ∴?ACC'???90???
22 在Rt△ABC中,
∠ACC?+∠BCE=90°,即90?????BCE?90?, ∴∠BCE=?. ∵∠ABC=?,
∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE
由(1)知:△ACE∽△FBE, ∴△ACE≌△FBE.
CA20. (2010年安徽中考)如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k?1),且△ABC
的三边长分别为a、b、c(a?b?c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1,求证:a?kc;
⑵若c?a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数,并加以说明;
⑶若b?a1,c?b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2?请说明理由。
【关键词】三角形相似 【答案】
(1)
证明:∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k(k?1),∴
a?k∴a?ka1 a1又∵c?a1,所以a?kc
(2)取a=8,b=6,c=4,同时取a1?4,b1?3,c1?2 此时
abc???2∴?ABC??A1B1C1且c?a1 a1b1c1不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:
(1)
若k=2,则a?2a1,b?2b1,c?2c1 又∵b?a1,c?b1, ∴a?2a1?2b?4b1?4c ∴b=2c
∴b+c=2c+c<4c=a,而b+c>a
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1使得k?2。
21、(2010年宁波)如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,23),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G。
(1)求?DCB的度数;
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF?,记直线EF?与射线DC的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面积为33,请直接写出点F的坐标。
y D ? 解:(1)60G C y D G H C E x A O (图3)
y B x y D C E E 2) ((2,23) (3)①略 x B A B E作EM⊥直线F A M O F O ②过点CD于点∵CD∥AB (图1DAB) ?60? (图2) ??∴?EDMF?MD E A O B C x ∴Em?DE?sin60??2?∵S?EGH?3?3 211?GH?ME??GH?3?33 22∴GH?6
∵△DHE∽△DEG
DEDH?即DE2?DG?DH DGDE当点H在点G的右侧时,设DG?x,DH?x?6 ∴4?x(x?6)
∴
解:x1??3?13?2?13?1
∴点F的坐标为(?13?1,0)
当点H在点G的左侧时,设DG?x,DH?x?6 ∴4?x(x?6)
解:x1?3?13,x1?3?13(舍) ∵△DEG≌△AEF ∴AF?DG?3?13
∵OF?AO?AF?3?13?2?13?5 ∴点F的坐标为(?13?5,0)
综上可知,点F的坐标有两个,分别是F1(?13?1,0),F2(?13?5,0)
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