高考数学-总复习精品资料-高中数学知识汇总

高考数学总复习精品资料

高中数学知识汇总

熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。

一、集合与简易逻辑

1.集合的元素具有无序性和互异性.

2.对集合A、B，A?B??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.?

3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依

2?1，，次为2， 2?1 2?2.

4.“交的补等于补的并，即CU(A?B)?CUA?CUB”；“并的补等于补的交，即

nnnnCU(A?B)?CUA?CUB”.

5.判断命题的真假

关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?.

8.充要条件

二、函 数

1.指数式、对数式，

mnnma?a，a?mnlogaNa?N ，?1manab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，.

a0?1，loga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，logex?lnx，

logab?logcb，.logbn?nlogb.

aammlogca2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，

但第二个集合B中的元素不一定有原像（A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”.

(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.

(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.

注意：①f(a)?b?f?1(b)?a，f[f?1(x)]?x，f?1[f(x)]?x，

但f[f?1(x)]?f?1[f(x)].

②?函数y?f(x?1)的反函数是y?f?1(x)?1，而不是y?f?1(x?1).

3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称?.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.

对于偶函数而言有：f(?x)?f(x)?f(|x|).

（2）若奇函数定义域中有0，则必有f(0)?0.即0?f(x)的定义域时，f(0)?0是

f(x)为奇函数的必要非充分条件. （3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.

(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有

f(x)?0(x?{0})有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对

称的任意一个数集）.

(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）

4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）

(1)函数y?f?x?与函数y?f??x?的图像关于直线x?0（y轴）对称.

推广一：如果函数y?f?x?对于一切x?R，都有f?a?x??f?b?x?成立，那么

y?f?x?的图像关于直线x?a?b(a?x)?(b?x)（由“x和的一半x?确定”）对称.

22推广二：函数y?f?a?x?，y?f?b?x?的图像关于直线x?确定）对称.

b?a（由a?x?b?x2(2)函数y?f?x?与函数y??f?x?的图像关于直线y?0（x轴）对称.

推广：函数y?f?x?与函数y?A?f?x?的图像关于直线y?A对称（由“y和的一

2半y?[f(x)]?[A?f(x)]确定”）.

2(3)函数y?f?x?与函数y??f??x?的图像关于坐标原点中心对称.

推广：函数y?f?x?与函数y?m?f?n?x?的图像关于点(n,m)中心对称.

22(4)函数y?f?x?与函数y?f?1?x?的图像关于直线y?x对称.

推广：曲线f(x,y)?0关于直线y?x?b的对称曲线是f(y?b,x?b)?0；

曲线f(x,y)?0关于直线y??x?b的对称曲线是f(?y?b,?x?b)?0.

(5)曲线f(x,y)?0绕原点逆时针旋转90，所得曲线是f(y,?x)?0（逆时针横变再交换）.

特别：y?f(x)绕原点逆时针旋转90，得?x?f(y)，若y?f(x)有反函数

??y?f?1(x)，则得y?f?1(?x).

曲线f(x,y)?0绕原点顺时针旋转90?，所得曲线是f(?y,x)?0（顺时针纵变再交换）.

特别：y?f(x)绕原点顺时针旋转90，得x?f(?y)，若y?f(x)有反函数

?y?f?1(x)，则得y??f?1(x).

(6)类比“三角函数图像”得：

若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?2|a?b|.

若y?f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则y?f(x)是周期函数，且一周期为T?2|a?b|.

如果函数y?f(x)的图像有下一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数

y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?4|a?b|.

如果y?f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x?nT)?f(x)(n?Z). 特别：若f(x?a)??f(x)(a?0)恒成立，则T?2a.

若f(x?a)?成立，则T?2a.

如果y?f(x)是周期函数，那么y?f(x)的定义域“无界”.

5.图像变换

(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？

函数y?f(x)的图像按向量a?(k,h)平移后，得函数y?h?f(x?k)的图像.

(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.

(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数y?x?k?11(a?0)恒成立，则T?2a.若f(x?a)??(a?0)恒f(x)f(x)x?k?0?”及函数

y?x?kx?k?0?等）相互转化.

注意：①形如y?ax2?bx?c的函数，不一定是二次函数.

②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.

③形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线

cx?dx??d(由分母为零确定)、直线y?a(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是

cc点(?d,a).?

cc三、数 列

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an??S1,(n?1)Sn?Sn?1,(n?2)(必要时请分类讨论).

注意：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；

an?anan?1a????2?a1. an?1an?2a12.等差数列{an}中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；p?q?m?n?ap?aq?am?an. (3){an1?(k?1)m}、{kan}也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(5)a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?仍成等差数列. （6）Sn?n(a1?an)n(n?1)ddd，Sn?n2?(a1?)n， ，Sn?na1?2222an?S2n?1Aa，n?f(n)?n?f(2n?1).

bn2n?1Bn(7)ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0；Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q)；

Sm?n?Sm?Sn?mnd.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；

(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项. （10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

3.等比数列{an}中：

（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.

（1）an?a1qn?1?amqn?m； p?q?m?n?bp?bq?bm?bn.

(3) {|an|}、{an1?(k?1)m}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.

(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

(5)a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.

?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（6）Sn??a1?anqa1(1?qn). a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q?? 特别：a?b?(a?b)(annn?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1).

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