概率论与数理统计(魏宗舒)答案

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，

?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是正确的？(4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)

?A; (2) ?A??A; (3) ?[A(?A)];

iiinnnnniji?1i?1i?1i?1j?1j?in(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为1.4 证明下列各式：

i,j?1i?j?AAij；

(1)A?B?B?A;(2)A?B?B?A(3)(A?B)?C?A?(B?C);(4)(A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C)(6) ?A??A

iii?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A8?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是 P(A)?21122?3?69?。

8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

1

解 样本点总数为?????10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)??5??3?3。 101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以

P(A)?3!2!2!2!48 ?13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的。故所求概率为 P(A)?9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”

17 891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A9个样本点，

77A97于是P(A)?7。

91.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9????，所以 解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)?10000?10?94?9??1??? P(A)?1-P(A)?1?10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1) 答案为

44142。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为? 51052(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含10个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立

方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是（??）

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，

2

2任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是

P(A)?(5?3?1)(4?2)8? (2) 2n根草的情形和(1)类似得 215(5?3?1)1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是

哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k?N?n?k?2????n?k个球的概率为???，0?k?N?n?1?????n???N??n?1??????N?m?1??m?n (2)恰好有m个盒的概率为?????，N?N?n?1?????n???n?m?N?1

?m?j?1??N?m?n?j?1?????????，1?m?m?1n?j(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为?????N?n?1?????n??N,0?j?N. 解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 解 所求概率为P(A)?3 5n?11的概率为2。 nn1n?1解 截取CD??CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于，因此所求概

nn1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于

21?CD2?A?B?C有面积CD?1n?率为P(A)?。 ??222?ABC的面积nCDCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小

时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：(1) x2位于x1与x3之间的概率。(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然

P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，

则

P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然

P(Aa)3

P(Aab)?P(Aac)，

P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，

P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以 P(A3)?211[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?(a?b?c)?(a?b?c)

2?d?d2（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白，

a则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1a， P({?3})?，?， P({?2})????a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2P({?i})?bb?1b?(i?2)ab!a P({?b?1})? ?????a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)(a?b)(a?b?1)?a甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+? 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+? 1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r

1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2); (2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订

丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；

(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%

4

(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%

(4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90% (6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(nn?A)。

ii?1N?N?1?，?N?N??N?2?，??，P(Ai)??P(A1?AN)??P(AiAj)?????0 ??N??N??N?n?N??N?1?1?1?N??N?1????P(A)???(?1)???i?1??1???N? N??i?1??????NnNN?N??N?2?2?1?N??N?2?i?1?N?i???P(AiAj)????2???N??(?1)??2???N?，?? 所以P(?Ai)??(?1)?N?

????1?i?Ni?1i?1??????nnnn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

P(Ai)?N(n?2)!(n?1)!(1?i?j?n)，?? 1?i?n P(AiAj)?n!n!ni?1?n?(n?i)!ni?11??(?1)所以P(?Ai)??(?1)? ??i?n!i!i?1i?1i?1??1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是

女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则 P(B|A)?P(AB)6/86??

P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合格品”，则

5

?m??m??M?m???2?????1????1?? ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? P(B|?M???2????A)?P(AB)P(B)m?1 ??P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m????1????????1? P(D|C)?M???2?????P(CD)P(D)2m ??P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。 解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?11 ?n?(k?1)n?k?1n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：一个母鸡

(?p)r??pe。 恰有r个下一代（即小鸡）的概率为

r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?rk?r???ke???k?rk?r????p(1?p) ??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)(?p)r??p?e?e?e ?e?r!r!r!(k?r)!k?r 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、

三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645

k?14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产” A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”

A3表示“任取一只产品是丙台机器生产” B表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式：

6

P(A|B)?1P(A1)P(B|A1)?P(Ak)P(B|Ak)k?13?P(A2)P(B|A2)28 25

P(A2|B)?3?P(A3|B)?6969?P(Ak)P(B|Ak)k?1P(A3)P(B|A3)?P(Ak?13?k)P(B|Ak)16 691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 解 则 P(A1)?932112， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? P(B|A1)?，P(B|A2)?， 151515157731，P(B|A4)? 由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9

147722P(B|A3)??P(Ak?1k)P(B|Ak)1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是率是多少？

解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，。 则 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?1 B表示“朋友迟到了”

142111、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概4312?P(Ak?1k)P(B|Ak)1.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) =P(A?B)P(C) （2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)

（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)

1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。 解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 则 6411511P(A)?P(B)?P(C)???， P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)

64644641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)

64P({?2})? P({?3})?P({?4})?1.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生；(2) n个事件中至少发生一件；(3) n个事件中恰好发生一件。 解 (1) P(n?Ak?1nk)??P(Ak)??(1?pk)(2) P(?Ak)?1?P(?Ak)?1??(1?pk)

k?1k?1k?1k?1k?1nnnnn(3) P[?(A?Akk?1j?1j?knj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].

k?1j?1j?kk?1j?1j?knnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。

7

解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以

min(P(A),P(B))?0.

1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事

件的概率 。(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为

A型；(3)没有一人为AB。

解 (1)从5个人任选2人为O型，共有????种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：

?5??2??5??5?2225?????3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168?0.46?0.40?0.1557 (2) (3) (1?0.03)?0.8587 ?2??3?????1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，

k?1,2,?。 (1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.42?0.84

(2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026

lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。 解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第

?n?m?1?n?1?n?m?1?nmm???p(1?p)?p?p(1?p) n?m次试验成功” 则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)???m??m?????1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完

一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。

解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，即在前2n?r?1?2n?r?1??1?在甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)???n?1???2?????n?1?1?????2?n?r?1 22n?r?1?2n?r?1??1?由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????

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第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)??2?n??35?23?12?n???1?0?1?1222n? ?? (4)????(2) (3) 1?1?11?1?1?1?1?1??1?????????0.50.30.2??0.70.10.1??22?3?2?3??2?3????2?2???2?????????????????解 （1）是 （2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。

1?1?1?1?1?3（3）1?1??????????????,所以它不是随机变量的分布列。

22?3?2?3?2?3?4?11???（4）???0,n为自然数，且?????1，所以它是随机变量的分布列。 ?2?n?1?2?2nnn2.2 设随机变量?的分布列为：P(??k)?(2)P(k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 1515???)) ； (3) P(1???2)。 22121151解 (1) P(??1或??2)???; (2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;

151552251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.

52?2.3 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C????,i?1,2,3。求C的值。 ?3?2327解 C?2??2???2???1，所以C?。

??????38?3???3?3?i??2.4 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N成反比，求?的分布列。

2C?解 根据题意知P(??N)?C，其中常数C待定。由于，所以C?6，即?的分布列为?C??126?2N2N?1N??2P(??N)?6，N取正整数。

?2N22.5 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。

解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：

P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.

n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为

31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首次测到合格44k?11?品，求?的分布列。 解 P(??k)?????4?3,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以?表示取出球的取大号码，

9

?k?1???2????求?的分布列。 解 P(??k)?,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求?的分布列。 解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设?，?表示第二名队员的投篮次数，则

P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。

2.10 设随机变量?服从普哇松分布，且P(??1)?P(??2)，求P(??4)。

解P(??k)??kk!e(??0)k?0,1,2,?。由于?e??????22e??,得?1?2,?2?0（不合要求）。所以

24?22?2P(??4)?e?e。

4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，

才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得x?16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

(?t)k??t解 设?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?

k!t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而 P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p?1，因而，至少出现三个错误的概率为 500k500?k?500??1??499? ???k???500??500????k?3???500k500?k?500??1??499??1????k???500??500????k?0???2

2151?0.080301 利用普哇松定理求近似值，取??np?500??1，于是上式右端等于 1??e?1?1?2e500k?0k! 10

解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)

P(?1??2????n)1?n?1?rn?1?r?q??pqq ?n?r P(?i?1|???2????n?r)?1?n?r?r。 ?1???nnn?n?rn?r??r??pq??2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：

?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?证明 P(?1?k|?1??2?n)?k??1??1???????12??n?k

P(?1?k,?1??2?n)P(?1?k)P(?2?n?k)?

P(?1??2?n)P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以

?k1 P(?1?k|???2?n)?k!1(n?k)!(?1??2)n?(?1??2)en!e??1??n2?ke??2?1??n???????k??????????12?k??1??1???????12??n?k

2.51 设

?1，?2，?，

?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有

P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条件下，

(?1,?2,?,?r)的分布是均匀分布，即

P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n.

?n?1???r?1????证明 P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)?P(?1?n1,?,?r?nr)

P(?1????r?n)P(?1????r?n)由于?1，?2，?，?r相互独立且服从同一几何分布，所以

P(?1??2????r?n)?ki?1,2,?i?1,?,r?n?1?rn?rki?1?(q?p)????r?1??qp。

k1???kr?ni?1??rqrpn?r1?从而P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?n)?。

?n?1?rn?r?n?1????r?1??qp?r?1??????1

16

第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a)

解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)；（2）P(??a)?F(a?0)；（3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。

1是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）???x??? 21?x（2）0?x??，在其它场合适当定义；（3）-??x?0，在其它场合适当定义。

3.2 函数F(x)?解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；

?F(x)???x?0~ （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义F(x)??x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为（1）[0,

~?3（2）[0,?]；（3）[0,?]。 ]；22解：（1）当x?[0,x?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；

0 （2）因为

?sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

0 （3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。

3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）

321F(?a)?1?F(a)??2 证：（1）F(?a)??a0（2）P（??a)?2F(a)?1；（3）P(??a)?2?1?F(a)?。 p(x)dx；

???a??p(x)dx?1??0?ap(x)dx=1?a???ap(?x)dx?1??p(x)dx

??a1a?p(x)dx； ???02?0aa1a （2）P(??a??p(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知 1-F(a)???p(x)dx

?a020 =1?F(a)?1?p(x)dx??p(x)dx? 故上式右端=2F(a)?1； （3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明F(x)?aF1(x)?bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与

F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，于是

17

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)又limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0

x???x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1 F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)

x??x??所以，F(x)也是分布函数。

取a?b??0x?01，又令 F1(x)??2?1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1

?1x?1??0?1?x这时 F(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。

?1?(1?x)e?x3.6 设随机变数?的分布函数为 F(x)???0x?0x?0 求相应的密度函数，并求P(??1)。

?xe?xd?x?x解：[1?(1?x)e]?xe，所以相应的密度函数为 p(x)??dx?0?0?23.7 设随机变数?的分布函数为 F(x)??Ax?1?x?0x?0x?0 P(??1)?F(1)?1?2。 e0?x?1 求常数A及密度函数。 x?1解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为 p(x)???2x0?x?1

0其它?3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0 limF(x)?A?Bx????2?1 所以 A?11,B? 2?因而 F(x)?111?arctgx,p(x)?F?(x)?。 2??(1?x2)0?x?11?x?2 其它?x?3.9 已知随机变数?的分布函数为 p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；（2）求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。

18

x?0?01P(??0.5)?F(0.5)??x128ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245

1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?2P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.6612?0?x?2?13.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x；

??Acosx??x?（2）p(x)??22 （3）

?其它?0解：（1）

???Ax2?p(x)??Ax?0?1； 21?x?22?x?3 其它????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A?0???20 （2）

??Acosxdx?2A?2?22812962cosxdx?2A?1，所以A=;(3)?Axdx??Axdx?A?1,所以A?。

1226293.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。

430??x?xx解：当0?x?R时 F(x)P(??x)?3?()3 所以 F(x)??()343R?R?R?13x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

?12x(1?x)20?x?1p(x)??

0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？

解： P(??0.8)??10.812x(1?x)2dx?0.0272 P(??0.9)??12x(1?x)2dx?0.0037

0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，

则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14

设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程 4x?4?x???2?0有实根的概率。

22 解：当且仅当 (4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。 因此，该方程有实根的概率 p?P(??2)?P(???1)?P(??2)?22?5213dx?。 553.17 某种电池的寿命?服从正态N(a,?)分布，其中a?300（小时），??35（小时）

(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。 解：（1）P(??250)?P(?1.43)??(1.43)?0.9236；

35x??300xxxx （2）P(a?x???a?x)?P(? =?()??(?)?2?()?1?0.9 ??35353535353535

19

??300??1.43) =P(??300即?(xx)?0.95 所以 ?1.65 即 x?57.75 353512?e?x223.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有

y22y221.?1??(x)?x12??y22e?x2211(?3) xx 证： 1??(x)?1?x2212??x??e?dy??12?y2??xe?dy =

12?ex2?x2211.?x2???x1ey21dy

x22111e(?3)? =

xx2?2?3.21 证明：二元函数 F(x,y)??1?x3?21?21edye.?1??(x)? 所以 4xy2?2?e?11(?3)。 xx?1x?y?0对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，

?0x?y?0F(??,??)?0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。

证：（1）设?x?0， 若x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1，

若x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；

当x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。

可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。

（2）x?y?0时 limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，

?x?0?y?0 x?y?0时， limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1=F(x,y)，所以F(x,y)对x、y左连续。

?x?0?y?0 （3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。

（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。

?1?sin(x?y)3.23 设二维随机变数(?,?)的密度p(x,y)??2??0解：当0?x?0?x?其它xy?2,0?y??的分布函数。 （?,?）2求

?0?0221x1=?[cot?cos(t?y)]dt=[sinx?siny?sin(x?y)],所以 202，0?y?时，F(x,y)?P(??x,??y) =

??1sin(t?s)dsdt 2 20

(x?0)?(y?0)?0?1??[sinx?siny?sin(x?y)]0?x?,0?y??22?2???1(sinx?1?cosx)0?x?,y? F(x,y)??222

?1??(1?siny?cosy)x?,0?y??222????1x?,y?22??ke?3x?4y3.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为 p(x,y)???0x?0,y?0其它

（1） 求常数k；（2）求相应的分布函数；（3）求P(0???1,0???2)。 解：（1）

??0??0ke?3x?4ydxdy?k??3xk， 所以k?12； edx??0412 （2）x?0,y?0时， F(x,y)? =(1?e?3x??12e0yxy?3t?48dtds?12(?edt)(?e?48ds)

00x?3ty)(1?e?4y?(1?e?3x)(1?e?4y))，所以 F(x,y)???0x?0,y?0其它?3

（3）P(0???1,0???2) =F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0) =1?e3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数 p(x,y)??e?8?e?11。

A 222?(16?x)(25?y)求常数A及(?,?)的密度函数。

dtds?2??????(16?t2)(25?s2)??A解： ??? dxdy所以，A?20；

y?????2(16?x2)(25?y2)20xdtds?2(?)(?)22?????16?t25?s4A?dx?dyA?2???11x?y??016?x2?025?y220?2(arctg?)(arctg?)4252?????????F(x,y)??p(x,y)dxdyx?????yp(t,s)dtds?20xy?4xy0?x?1,0?y?1p(x,y)?3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为 ?0其它?求（1）P(0???11,???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。 24 21

11111522(1)P(0???,???1)???14xydxdy?4?xdx?1ydy?;0024644411(2)P(???)?解：

x?y??4xydxdy?0;

1111(3)P(???)???4xydxdy???4xydydx??2(x?x2)dx?;0x02x?y(4)P(???)?12?11?0?x?1,0?y?23.28 设(?,?)的密度函数为 p(x,y)??2 求?与?中至少有一个小于的概率。

2?其它?01111P[(??)?(??)]?1?P(??,??)2222解：

??1115?1??1?1p(x,y)dxdy?1??1?1dxdy?8222223.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以?和?表示这两个组件的寿命（以小时计），设(?,?)的分布函数为

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)???0x?0,y?0其它求两个组件的寿命都超过120的概率。

P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)解：?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0)

?1?(1?e?1.2)?(1?e?1.2)?(1?2e?1.2?e?2.4)?e?2.4?0.093.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使 p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y) 成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则 p(x,y)?0,所以条件(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)????????p(x,y)dxdy?1

????????h(x,y)dxdy?0得到满足。

反之，若条件（1），（2）满足，则 p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1 p(x,y)为二维分布的密度函数。

因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3.32 设二维随机变数(?,?)具有下列密度函数，求边际分布。

?2e?y?1?（1）p(x,y)??x3??0

(x2?y2)?1?12?ex?1,y?1 （2）p(x,y)????其它?0x?0,y?0或x?0,y?0

其它22

1?xk1?1(y?x)k2?1e?y?（3）p(x,y)???(k1)?(k2)??0解：（1）p?(x)?0?x?y其它

??12e?y?12dy?,(x?1)33xx2e?y?1dx?e?y?1,(y?1)3xp?(x)?0,(x?1)

p?(x)???1p?(x)?0,(y?1) 12??x22?（2）x?0时， p?(x)??01???e1?(x2?y2)2dy?e ；x?0时， p?(x)?y22?10?e1?(x2?y2)2dy?12?e?x22

所以，p?(x)?12?e?x22。同理，p?(y)?12?e?。

?xk1?11k2?1?y(y?x)edy?xk2?1e?x,(x?0) p?(x)?0,(x?0) （3）p?(x)???(k1)?(k2)x?(k1)ye?y1k1?1k2?1k1?k2?1p?(y)?x(y?x)dx?y,(y?0)?0?(k1)?(k2)?(k1?k2)

p?(y)?0,(y?0)3.34 证明：若随机变数?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。

证：?的分布函数为 F?(x)???0x?a 设?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。

?1x?a当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。

当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)。所以，对任意实数x,y，都有

F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与?相互独立。

3.35 证明：若随机变数?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。

证：由于P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)，所以F(x)?[F(x)]，F(x)?0或1。由于

2?0x?c故P(??c)?1。 F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得 F(x)???0x?c?1?3.36设二维随机变量(?,?)的密度函数为 p(x,y)?????0问?与?是否独立？是否不相关？

x2?y2?1其它

23

解：p?(x)??1?x2dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?又因

21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。 由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。

?100?3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度： p(x)??x2??0x?100x?100

一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替

换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）

1002 dx??150x2333所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)?8；三个这类管子全部要替换的概率是(1?2)?1。

327327解：设这类电子管的寿命为?，则 P(??150)??3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??131??。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由?的密度

2??函数p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为 p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。

x?6a3?y??6b3,

其它。解：在x?0时， P(??x)?P(?x???x)?所以?的分布密度 p?(x)?2?12??xe?t22dt。

2/??e?x2/2,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。 解：

?y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为

?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y2????y?0.?03.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F?(?)的分布函数与?的分布函数相同。

解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以??1 24

的分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与?的分布函数相同。

3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 a???b??；

解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。

?1p???(x)?????p?(x?y)?p?(y)dy =

1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy

min(x?a,?) =?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。 （2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。

p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?????min(x?a,?)max(x,0)1/a2dy=?min(x?a,a)?max(x,0)?/a2

=

a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它

3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为 p(x)?1?x/a?e,(a?0) 2a?1?x/a求?+?的密度函数。解： p?(x)?p?(x)?， p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy， ?e??2ap???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?ya0?x?1a[edy?e当x?0时， ?2????04a1x?x?(1?)ea4aax?1[e当x?0时， p???(x)?2?4a??x?y?yady??ex??y?x?yady]

dy??ex0?y?x?yady??e0??y?x?ya1xxady]?(1?)e

4aa1?|x|所以 p???(x)?(a?|x|)ea 24a3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为 p(x)?1 2?(1?x)证明：??1(???)也服从同一分布。 2 25

11dx???21?x21?(y?x)2?2x?y12(x?y)?y?2[?]dx?y(y2?4)???x2?1(x?y)2?1证：

1?2[ln(x2?1)?yarctgx?ln((x?y)2?1)?yarctg(x?y)]|???2?y(y?4)2??(y2?4)p???(y)???1所以 p12(???)(z)?2112? 即??(???)也服从相同的柯西分布。 22?[(2z)?4]?(1?z)2??e??x p?(x)??x?0?0x?0x?0x?0

??e??x3.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数 p?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。

p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x解：x?0时， ???e??x?x0e?(???)ydy x?0时， p???(x)?0

????x??x??(???)[ee],?????2??x??????xe,3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。

解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知， p???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]???x?1?1?x?0

0?x?1?1?xF(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)在0?x?1时，|???|的分布函数

??(t?1)dt??(1?t)dt?2x?x2?x00x

所以|???|的分布密度为 p|???|(x)???2(1?x)0?x?1 其它?03.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。 解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以 p???(x)??p?(y)p??(x?y)dy

???在x?0时， p???(x)???0?e???y?e?(x?y)?x??edy?(???)

在x?0时， p???(x)??x?e????e?(x?y)??x??edy?(???)???e?xx?0?(???)所以 p???(x)?? ??x???ex?0(???)?

26

1??3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为p?(x)???1?x2??0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?(x)?xe?x2x?|x|?1?xe? p?(y)????0|x|?1?3?12x222x?0 x?02,x?0得p1(x)?xe?2y?u?,x?0。故

p??(y)?p?1?(y)???y22???|x|p?(yx)p?(x)dx 令1122x22，则

p??(y)?12?e??0uedu???u12?e?y22 所以??服从N(0,1)分布。

3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。

1?解：p?(x)??p?(xz)p?(z)|z|dz??zp?(xz)dz

??a0??1当0?x?1时， p?(x)?2a??a011zdz? 当x?1时 p?(x)?22a??ax0zdz?1 22x?0x?0??0?x?1 所以?的密度函数为 p?(x)??12???1x?1??2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求??的密度函数。

p?(x)??p?(xy)p?(y)|y|dy解：在x?0时，

???????e0?2??xye??y1ydy?(x?1)2 在x?0时，p?(x)?0。

??1?xy?|x|?1,|y|?13.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为 p(x,y)??4

?其它?0证明：?与?不独立，但?与?独立。

22x?1?1?x11?ty2证：由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于P(??x)???(?dy)dt?x0?x?1

?x?14?x?0?0x,y?1?1?xy?1?10?x?1,y?1??y11?tx?P(?2?y)???(?dx)dt?y0?y?1 P(?2?x,?2?y)??yx?1,0?y?1

?y?14??xy0?x,y?10y?0???其它?0

27

所以对一切的x,y，都有P(??x,??y)?P(??x)P(??y)，故?与?相互独立。

222222???2?cos2x??x?3.61 设随机变量?具有密度函数 p(x)???22 求E?,D?。

?其它?0解：E??????22x2?cosxdx?0 D??E????x?222?222?cosxdx?2?212?1 2?x?3.62 设随机变量?具有密度函数 p(x)??2?x?0?解 E??0?x?11?x?2 求E?及D?。

其它13201?xdx??01221x(2?x)dx?1， E???xdx??x2(2?x)dx?7/6，D??E?2?(E?)2?1/6。

2?0?3.63 设随机变量?的分布函数为F(x)??a?barcsinx?1?解：由分布函数的左连续性， ?x??1?1?x?1试确定常数(a,b)，并求E?x?1与D?。

?a?b?arcsin1?1, 故a?1/2,b?1/?。

?a?b?arcsin0?0,11x11dx?0， E???x?d(?arcsinx)=??12?12??1?xD??E???1x?1?1?x2dx?2??1x2dx1?x20?2???/20sin2tdt?1/2。

3.64

?A?x??e?x/?,x?0 随机变量?具有密度函数p(x)?? 其中??1,??0,求常数A,E?及D?。

0,x?0?解：1??0?0A?x??e?x/?dx?A?????1y?e?ydy=A???1T(??1)， 故A?0?1。 ??1??T(??1)

E???A?x??1?e?x/?dx?A????2?T(??2)?(??1)?,E???A?x0??

??2?e?x/?dx?A????3?T(??3)222 =(??1)(??2)? D??E??(E?)?(??1)? 3.66 设随机变量?服从(?121?2211)上的均匀分布，求??sin??的数学期望与方差。 2,22121?2解：E???sin?xdx?0, D??E???sin2?xdx?1/2。

3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

28

解：设旅客候车时间为?（秒），则?服从?0,300?上的均匀分布，则

E???30003001122，E?2??， D??30000?150?7500(秒）。 ?x?dx?150（秒）?x2?dx?30000(秒2）03003003.71 设?1,?2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有

??1????kE???????n?1nn?k???n。 ?n??证：?j/??i同分布(j?1,?,n)，又?j/??i?1，所以E??j/??i?都存在且相等(j?1,?,n)。由于

i?1i?1??i?1nn??1????k?n???1?E???i/??i??n?E??1/??i?，所以 E???????i?1i?1?i?1???n?1n???k??k?E?/??1?i??n。 ?i?1???3.72 设?是非负连续型随机变量，证明：对x?0，有 P(??x)?1?证：P(??x)?E?。 x?x0p?(t)?1??p?(t)dt?1??xr??xt1?E?。 ?p?(t)dt?1??t?p?(t)dt?1?xx0xE?r3.73 若对连续型随机变量?，有E???(r?0)，证明有P(???)??r。

证：P(???)??x??p?(x)dx??xx??r?r?p?(x)dx ?1?r????x?p?(x)?E?/?r。

rr3.75 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，

a,c皆不为零。

解：??1?1?E?(?1?E?1)?(?1?E?1)?E(?1?E?2)1?E(?1?E?1)2=

ac?cov(?,?)a?D??c?D????ac?0ac????

??ac?0ac?3.81设随机变量?1,?2,?,?n中任意两个的相关系数都是?，试证：???证：0?E1。 n?1??n(?i?E?i)??i?1D?i?2?i?1n?2n1?i?j?n?D?1?D?j??i?1D?i?1???1。 n?1n!?i?j?n?(D?i?D?j)

=

?i?1D?1?1??(n?1)?， 故1??(n?1)?0,???p1/pp1/p3.84证明下述不等式（设?,?都是连续型或离散型随机变量）： （1）若?与?都有p?1阶矩，则有[E???]?[E?p] E????[E?'p]1/p ；

pp?2p?1(E?p?E?)

p(2)若?与?都具有p?0阶矩，则 E???p?2(E?证：（1）p?1时，[E???]p1/pppp?E?)

?[E?]1/p?[E?]1/p即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。

29

x?y在p?1时，x是x的下凸函数，故

2pp|x|p?|y|ppp?1pp?即 |x?y|?2(|x|?|y|

2故 E???p?2p?1(E?p?E?

ppp|x?y|p?(|x|?|y|)p?|2x|p?|2y|p?2p(|x|p?|y|p)，（2）在p?0时，故E???p?2(E??E?)

p?(n?1)(n?2)?3.88 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为 p(x,y)??(1?x?y)n??0其中n?2。求??1条件下?的条件分布密度。

x?0,y?0其它

解：p?(x)???0?2n?1(n?1)(2?y)ny?0(n?1)(n?2)n?2 dy?,x?0。故 p?|?(y|1)??nn?1(1?x?y)(1?x)其它?023.89 设随机变量?服从N(m,?)分布，随机变量?在??x时的条件分布为N(x,?2)，求?的分布及?关于?的条件分布。

1?(x?m)2(y?x)2?exp??? 解：p(x,y)?p?(x)?p?|?(y|x)?? 222???2?2?????2??2?(y?m)2???exp???exp?? p?(y)??p(x,y)dx?22????22??2???2(???)2??????1?m?2?y?2????x???dx 22????????(y?m)2?22?exp???~N(m,???).p?|?(x|y) ，故 ?22222?(???)?2(???)?122222??(???)??m??y???(2???)?exp??， ?x??2222??2????????????p(x,y)p?(y)??2??2?2m??2y?2??2,)。 故在??y时，?的条件分布为N(22??????n,n?1?独立，证3.90 设?1,?2?,?n,?为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量?只取正整数值，且与?明： E??k?1?k??E?k?P(??k)

k?1???????s??s?证：E??k?E?E(??k?)? ??E???k??P(??s) ????E?k??P(??s)

k?1s?1s?1?k?1?k?1???k?1?????? ??E?k???P(??s)? ??E?k?P(??k)

k?1?s?k?k?1?3.91 求下列连续型分布的特征函数：（1）(?a,a)上的均匀分布(a?0)，

30

（2）柯西分布，其密度函数为p(x)?1,(a?0)

?(x?b)2?a2?a?????x??1?e??x（3）T?分布，其密度函数为 p(x)??T(?)??0解：（1）?(t)?ax?0x?0 (??0,??0)

?a?aeitx?a1sinat ?dx?2aat1aitb?eitu2aitb?costudx??e??2du??e?2du （2）?(t)??e???a??u?a20u?a2?(x?b)2?a2??itx由拉普拉斯积分

?itx??0cos?x????ibt?at?(t)?e得 dx?e,(?,??0),222???x???1??1??it??(it??)x??1??it???(t)?e??/?(?)?x?edx??/?(?)?e?xdx??/?(?)??(?)/(??it)?(1?)（3）?(1?) ?0?0??3.93 若?(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）?(?t);(2)?(t);(3)??(t)?（n为正整数）

22证：（1）若?(t)是随机变量?的特征函数，则?(?t)是随机变量????的特征函数； （2）若?与?独立同分布，其特征函数为?(t)。则?(t)2??(t)??(?t)是随机变量?????的特征函数；

n（3）若?1,?,?n独立分布，其特征函数为?(t)。则??(t)?是随机变量??3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：

?ni?1?i的特征函数。

11?sint?2（1）cost；（2）cost；（3）；（4）?（5）?it。 ?；

t1?it2e?1??证：（1）cost?21it1?it?e??e，所以cost是两点分布 22? P 的特征函数。 （2）cost?2-1 1 12 12 112it1?2it??e??e，所以cos2t是三点分布 244? P 的特征函数。

?2 14 0 12 2 14 （3）密度函数为p(x)?e,x?0;p(x)?0,x?0的指数分布的特征函数为

?x11，所以是密度函数为1?it1?itp(x)?ex,x?0;p(x)?0,x?0的分布的特征函数。

31

（4）[?1,1]上均匀分布的特征函数为

sint，所以互相独立且同为[?1,1]上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为t?(2?x)?2?x?04?sint2sint2?()，即()是密度函数为 p(x)??(2?x)0?x?2 的分布的特征函数。

4tt?0其它??12e?it?1??（5）

111ikt，所以是几何分布eP(??k)?,k?1,2,3,?的特征函数。 k?itk2e?12k?12?3.95 试举一个满足（1）?(?t)??(t)，（2）|?(t)|??(0)?1，但是?(t)不是特征函数的例子。 解：令 ?(t)???1t?0 则?(t)满足（1），（2），但?(t)在t?0点不连续，故?(t)不是特征函数。

?0t?0?|t|?1?|t|?a3.96 证明函数 ?(t)??(a?0) 是特征函数，并求出它的分布函数。 a?|t|?a?0解：由于

?????(t)dt????1??aa??t??dt?a?? 故欲证?(t)是特征函数，仅须验证 a??1p(x)?2?????e?itx1??(t)dt?2??a?ae?itx?t?1???1??dt?a????2t?11?cosax?1?costxdt??是密度函数由于??2?0?a??axaa?2ax?ax?2?sin2ydy?1，所以?(t)为特征函数，其分布函数为 p(x)?0， ?p(x)dx??sin??dx??0??x02?2??y2?11?cosat?dt。 2???atsinth3.97 设?(t)是一个特征函数。h?0，证明： ?h(t)?p(t)? 也是特征函数。

thsinthsinth证：设?与?相互独立，?的特征函数为?(t)，?服从??h,h?上的均匀分布，?的特征函数为，则是???的特征函数。

ththF(x)??x1n3.98 设?1,?2,?,?n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明??i与?1有相同的分布。

ni?1??t??11nibt?atibt?at??e.所?(t)?e.??证：柯西分布p(x)??的特征函数故的特征函数为???i??22n?(x?b)?ani?1????an1n以???i与同分布。 ni?13.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求

??i?1ni的分布。

32

n?it?????1??x1??解：T?分布p(x)?xe，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数?(t)????。故??i的特征函?T(?)i?1????数为 ??(t)?nn?it???1????????n?，

?n?所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)??xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，x?0。

T(n?)i?1?1?1?xy(x2?y2)3.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为 p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它

证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与?并不相互独立。

?(2?x)4?2?x?02??sint?0?x?2 ???的特征函数为?证：p???(z)??p(x,z?x)dx ??(2?x)4?。

??t???0其它。??p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。

故

?与?的特征函数皆为

sint，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由p(x,y)?p?(x)?p?(y)，故?与?不互相独立。 t?t3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e特征函数的乘积，但?与?不独立。 证：由?的特征函数??(t)?e?t，又令??a?(a?0)，证明???的特征函数等于?、?的

推得，??a?与???的特征函数分别为??(t)?e?at与????(t)?e?(a?1)t，故

????(t)???(t)???(t)。

倘

若

?与

?相互独立，令

?的分布函

2数为

F(x)，则

F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，

故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）：（1）sint；（2）111?tln(e?t)；（3）；（4）；（5）。

221?it1?t2?1?t?解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时， （3）不是，因为ln(e?t)?1不成立（4）不是，因为?(t)?1?t?1。 21?t1??(?t)。 1?it （5）是的，拉普拉斯分布p(x)?

11?x1，所以也是特征函数。 ?e的特征函数为

2221?t2?1?t?33

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设D(x)为退化分布：D(x)???1x?0 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

0x?0?11（1）（2）不是；（3）是。 (1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,? 解：

nnx??n?0?x?n4.2 设分布函数Fn(x)如下定义： Fn(x)?? ?n?x?n 问F(x)?limFn(x)是分布函数吗？解：不是。

n???2nx?n?14.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于

F(x)。 证：对任意的??0，取M充分大，使有 1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M

对上述取定的M，因为F(x)在[?M,M]上一致连续，故可取它的k分点：x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，则有 F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1 （1） 这时存在N，使得当n?N时有 |Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1 （2）

成立，对任意的x?(??,?)，必存在某个i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，由（2）知当n?N时有

Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?? （3） Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?? （4）

由（1），（3），（4）可得 Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?，

Fn(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?， 即有Fn(x)?F(x)?2?成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列??n?同时依概率收敛于随机变量?与?，证明这时必有P(???)?1。 证：对任意的??0有?????????n?????????????，故 2?????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0

2?2??????1????1?即对任意的??0有P????????0成立，于是有 P??????P???????????P???????0

k??k?1?k??k?1?从而P(???)?1成立，结论得证。

?n?分别依概率收敛于随机变量?与?，证明： 4.6 设随机变量序列??n?，??????；?????。 （1）?n??n?（2）?n??n?PP 34

证：（1）因为?????n??n????????n???????????????????n???故 2??2????????P?????成立。 0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n?? 即?n??n?22???????。（2）先证明这时必有?n?对任给的??0,??0取M足够大?2P2M?1?????使有P????1?，???成

2???M?立，对取定的M，存在N，当n?N时有P?n???1?P??n??????????成立这时有 M???P??n???M??P??n???2??M?

?P???n???2??M????n???1?? ?P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)}

?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?

P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}从而有

?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)} ?P(|?n??|??M)?P(|?n??|?M)?3?2nP由?,?的任意性知???，同理可证???2，由前述（1）有

P?????，结论成立。 2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2?? 故?n??n?2nP222n2nP??a，a?0是一个常数，且?n?0，证明4.7 设随机变量序列?n?P1?nP???1。 a22证：不妨设a?0对任意的0???a，当?n?a??时有?na?a?a(?n?a)?a?a?，

??n?a???n?a?????2?????因而?。于是有 0???a??a?a???n???11?? P????????na????????n?a?n?a?????????? ?P??????????a???P?????a?????? nn????a?a????????n???n?n ?P??a2?a??????P?n?a???0,n??。 结论成立。

?????a????n???0,n?? 4.9 证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为： E1??n??证：充分性，令f(x)?

1x'?0,x?0，故f(x)是x(x?0)的单调上升函数，因，x?0，则f(x)?1?x(1?x)235

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