沪科版八年级数学下册知识总结

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第十六单元二次根式

二次根式知识点：

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：及的异同点

1、不同点：及表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，

0，负实数。但及都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有

差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而

.

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知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a2、√（x+y）2、√x2+2xy+y2等

（3）最终结果分母不含根号。

满足最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是因式是整式。（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式。

知识点八：二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

2. 乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

注意：两个二次根式相乘，如果两个被开方数有公因数或公因式，就直接用乘法法则，若没有公因数或公因式，就分别化为最简二次根式，再利用乘法法则。

3.除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法

1 同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个

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3 / 15 二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算

1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

知识点十一：分母有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式 如:√a/√b=√a ×√b/√b ×√b=√ab/b

II.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/√a ＋√b=√a －√b/(√a ＋√b)(√a －√b)=√a －√b/a －b

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

第十七单元 勾股定律

勾股定理知识总结：

一．基础知识点：

1：勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?

，则c =

，b

，a =）

（2）已知直角三角形的一边及另两边的关系，求直角三角形的另两边

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5 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；

（2）验证c 2及a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形

（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理及勾股定理逆定理的区别及联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理及其逆定理的题设和结论正好相反，都及直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

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②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH

S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ?+-=，化简可证．

方

法二：

四个直角三角形的面积及小

正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面

积

的和为

221

422

S ab c ab c =?

+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以2

22a b c +=

方法三：1()()2

S a b a b =+?+梯形，211

2S 222

ADE ABE S

S ab c ??=+=?

+梯形

，化简得证

方法一 方法二 方法三 6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 7，24，25等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；

2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

二、规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积及代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边

c

b

a

H

G F E

D

C

B A

a b

c

c b

a

E D C

B

A

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

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关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理及勾股定理逆定理）

第十八单元一元二次方程

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一

元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、

b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法

虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的

判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

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7 / 15 .a

c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； 5. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)x a a =≥

解为：x =②2()(0)x a b b +=≥

解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为

：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0 290(3)(3)0x x x -=?+-= 230(3)0x x x x -=?-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=?--=

22694(3)4x x x -+=?-= 2241290(23)0x x x -+=?-=

24120(6)(2)0x x x x --=?-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=?-+=

（3）配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 2220()()022P P x Px q x q ++=?+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=?--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a

++=≠++=?-?++= 222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a -?+=-?+=

示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=?--=?--?-=

（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：

①当240b ac ?=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：

② 当240b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：

③ 当240b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

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备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、

c

②求出24b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：（要注意符号） ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a

c

x x a

b

x x 2121=

-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数 a

b -= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 a

c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 a c

= 0且a

b -≠0

c = 0且b ≠0； （4）有两个零根

a

c

= 0

且a

b -= 0

c = 0且b=0；

（5）至少有一个零根 a

c =0 c=0； （6）两根异号 a

c ＜0 a 、c 异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a

c ＜0且a

b -＞0 a 、

c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值

a

c ＜0

且a

b -＜0

a 、c 异号且a 、

b 同号；

（9）有两个正根 a

c ＞0，a

b -＞0且Δ≥0 a 、

c 同号， a 、b 异号且Δ≥0； （10）有两个负根 a

c ＞0，a

b -＜0且Δ≥0 a 、

c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=???

? ?

?----????

?

?-+

--a 2ac

4b b x a 2ac 4b b x a 22.

7．求一元二次方程的公式：

x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

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9 / 15 9．分式方程的解法

.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母

两边同乘最简去分母法

.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（例如：(x+1/x)+(3x/x+1)-2=0 10、最简公分母的求法

（1）、将分母系数化为整数后取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（2）、凡单独出现的字母或多项式,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）、同底数幂取次数最高的,这样得到的因式的积就是分式方程的最简公分母；

（4）、分母是多项式的要先进行因式分解。

列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：

（1）审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系

（2）设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元

（3）列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程

（4）解方程：求出所列方程的解 （5）验根：检验未知数的值是否符合题意 （6）写出答案

11．几个常见转化：

；；或；；；?????<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x 1x 2)x 1x (x 1

x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212

122122121212212212122222221221221212212221222121212()2x x x x x x +=+-， ， 22121212()()4x x x x x x -=+-，

√（χ1＋χ2）2

＝12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+

22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等

第十九章 四边形

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10 / 15 一、 关系结构图：

二、知识点讲解：

1．平行四边形的性质（重点）：

ABCD 是平行四边形?????????.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；

（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定（难点）： . A B

D O C

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11 / 15 3. 矩形的性质：

因为ABCD 是矩形??

???.3;

2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．

4矩形的判定：

矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；

(2)有三个角是直角的四边形；

(3)对角线相等的平行四边形；

(4)对角线相等且互相平分的四边形． 四边形ABCD 是矩形.

5. 菱形的性质：

因为ABCD 是菱形??

???.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；

（有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定：

????

?+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.

7.正方形的性质：

ABCD 是正方形

??

???.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定：

?????++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD 是正方形.

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13 / 15 角；

③既是中心对称图形又

是轴对称图形。

条对角线的长) 正

方

形

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；

②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

③既是中心对称图形又

是轴对称图形。

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③定义。 ①

(a 为边长)； ②(b 为对角线长) 正n 边形的内角的和等于：（n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；任意多边形的外角和等于360°

若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：1/2n ﹙n －3﹚

从n 边形的一个顶点出发作对角线,则做（n-3）条,这（n-3）条对角线把n 边形分成了（n-2）三角形.

一、基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二 定理：中心对称的有关定理

1．关于中心对称的两个图形是全等形.

2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

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3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够及另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心．

中心对称图形把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，表示某个图形的特性，它上面所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如图1中△ABC和△A′B′C′关于O点对称，就是中心对称而如图2中的ABCD为中心对称图形，对称中心为O．

中心对称和中心对称图形是可以互相转化的若将中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形就是中心对称图形，若把一个中心对称图形，用过对称中心的任一条直线分成两部分，则这两部分就关于这点成中心对称．

第二十章数据的初步分析

知识点1：表示数据集中趋势的代表

平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表

极差的定义：一组数据中最大值及最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中及极差有关的例子

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在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高及最矮身高的差。一家公司成员中最高收入及最低收入的差。

知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据及它们的平均数的差的

绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据及它们的平均数差的平

方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差

方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差及平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有

①x1+b， x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b ②ax1， ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a

③ax1+b， ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rb1e.html