2017版高考数学北师大版（理）一轮复习第11章统计与统计案例11.1随机抽样文档

1．抽样调查 (1)抽样调查

通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查． (2)总体和样本

调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本． (3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①迅速、及时；

②节约人力、物力和财力． 2．简单随机抽样

(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同． (2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 3．分层抽样

(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． (2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样

系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械

抽样． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √ )

(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × ) (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( √ )

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( × )

(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × )

1．(教材改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( ) A．33人，34人，33人 C．20人，40人，30人 答案 B

解析 因为125∶280∶95＝25∶56∶19， 所以抽取人数分别为25人，56人，19人．

2．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A．抽签法 C．分层抽样法 答案 C

解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．

3．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( ) A．700 C．695 答案 C

B．669 D．676 B．系统抽样法 D．随机数法

B．25人，56人，19人 D．30人，50人，20人

解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，

N1000

分段间隔数k＝＝＝20，则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×20＝695.

n50

4．(教材改编)某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________． 答案 50 解析

1000x

＝，x＝50. 804

5．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为________． 答案 16

解析 设高一、高二、高三年级的人数分别为a－d，a，a＋d，则有3a＝1200，所以a＝400，400

则高二年级被抽取的人数为48×＝16.

1200

题型一 简单随机抽样

例1 (1)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 A.08B．07C．02D．01 (2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________． ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 答案 (1)D (2)①②③④

解析 (1)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

(2)①不是简单随机抽样．

②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．

③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．

④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．

思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题

(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )

A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验 答案 B

解析 A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B. 题型二 系统抽样

例2 (1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A．3B．4C．5D．6

(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11B．12C．13D．14 答案 (1)B (2)B

解析 (1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．选B.

720－480240840

(2)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为＝

422020＝12. 引申探究

1．本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________． 答案 144

解析 在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.

2．本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________． 答案 28

解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，

840所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为＝3028.

思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．

(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个

容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A．26,16,8 C．25,16,9 答案 B

B．25,17,8 D．24,17,9

老年教师 中年教师 青年教师 合计 A.90 C．180 答案 C

解析 由题意得，抽样比为

B．100\\ D．300

900 1800 1600 4300 32011

＝，∴该样本的老年教师人数为900×＝180(人)． 160055

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 答案 15

解析 抽取比例与学生比例一致．

设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.

7．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.

女生 男生 答案 16

解析 依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学2

生人数为64×＝16.

8

8．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________． 答案 11

解析 由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.

一年级 373 377 二年级 x 370 三年级 y z 9．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是______________． 答案 16,28,40,52

60

解析 编号组数为5，间隔为＝12，

5因为在第一组抽得04号：

4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52， 所以其余4个号码为16,28,40,52.

10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取． 解 用分层抽样方法抽取． 具体实施抽取如下：

107020

(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，

555

∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．

(2)副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．

(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．

B组 专项能力提升 (时间：25分钟)

11．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( ) A．15B．16 C．20D．55 答案 B

解析 因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16. 12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区

间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( ) A．7 C．10 答案 C

960解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.

32落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

13．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

B．9 D．15

答案 37 20

解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50@x

＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则＝，解得x＝20.

200100

14．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，求在第8组中抽取的号码是________． 答案 76

解 由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.

15．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n. 解 总体容量为6＋12＋18＝36.

36n

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师

n36nnnnnn

人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，

366363362所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.

3535当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，

n＋1n＋1所以n只能取6.即样本容量n＝6.

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