第四篇 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质

第3讲 三角函数的图象与性质

【2013年高考会这样考】

1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．

2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用． 【复习指导】

1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．

2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?

?，(π，0)，?，－1?，(2π，0)． (0,0)，?，1?2??2?(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π????，(2π，1)． (0,1)，?，0?，(π，－1)，?，0

?2?22．三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y＝sin x y＝cos x y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2R R 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R - 1 -

π对称轴：x＝kπ＋(k2对称性 ∈Z) 对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 周期 2π 单调增区间 ππ???2kπ－，?(k2kπ＋?22?单调性 ∈Z)； 单调减区间π3π???2kπ＋，2kπ＋??22?(k∈Z) 奇偶性 奇 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心： π???kπ＋，0??k∈Z? ??2 2π 无对称轴 ?kπ??对称中心：??2，0?(k∈Z) π 单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kππ?单调增区间?kπ－，?2kπ＋ ＋π](k∈Z) π??(k∈Z) 2?偶

奇 两条性质 (1)周期性

2π函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小

|ω|π正周期为. |ω|(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法

求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据- 2 -

正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测

?π?

?1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos?

?x＋3?，x∈R( )． A．是奇函数 B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案 C

?π?

?2．函数y＝tan?

?4－x?的定义域为( )． π?

C.x?x≠kπ＋，k∈Z

?4 ???πA.?x?x≠kπ－??4??????

??

，k∈Z?

??

?????

???π

B.?x?x≠2kπ－，k∈Z??4????πD.?x?x≠2kπ＋??4?

??

? ??

??

，k∈Z?

??

答案 A

π??

?的最小正3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜

?2?周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )． ?π?

?A．f(x)在?

?0，2?单调递减 ?π3π?

B．f(x)在?，?单调递减

?44??π?

?C．f(x)在?

?0，2?单调递增 ?π3π?

?D．f(x)在?

?4，4?单调递增

π??

?，由最小正周期为π得ω解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin?ωx＋φ＋

?4?πππ

＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜可得422π?π?

?φ＝，所以f(x)＝2cos 2x，在?

?0，2?单调递减． 4

- 3 -

答案 A

?π?

?4．y＝sin?

?x－4?的图象的一个对称中心是( )． A．(－π，0)

?3π?C.?，0? ?2?

?π?

D.?，0? ?2??3π?B.?－，0? ?4?

ππ

解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k

4433π?π??的一个对称中心是??－，0??. ∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin?x－?4??4?4答案 B

π??

?的最小正周期为________． 5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos?2x＋?6?解析 T＝

2π

＝π. 2

答案 π

考向一 三角函数的定义域与值域

【例1】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域． π??

(2)求函数y＝cos2x＋sin x?|x|≤?的最大值与最小值．

?4?

[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．

(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决． π??kπ＜x＜kπ＋，k∈Z，?sin 2x＞0，

2解 (1)依题意???2

?9－x≥0??－3≤x≤3，

???π

??x?－3≤x＜－?2?? π??

，或0＜x＜?.

2??

?22?

(2)设sin x＝t，则t∈?－，?.

?22?

- 4 -

1?25??22??∴y＝1－sinx＋sin x＝－?t－?＋，t∈??， －，2?4?22?

2

1π5

故当t＝，即x＝时，ymax＝，

2642π1－2当t＝－，即x＝－时，ymin＝.

242

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数

线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【训练1】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域．

π???π??π??ππ?

?＋2sin?x－?·?x＋?，?－，?上(2)已知函数f(x)＝cos?2x－sin求函数f(x)在区间???????122?344的最大值与最小值．

解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

π5π

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，

44所以定义域为

???π5π?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋??44?

??

，k∈Z?.

??

1313(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝cos 2x＋222213π??

?sin 2x＋sinx－cosx＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin?2x－?.

226?

2

2

- 5 -

ππ?π?π5π????又x∈?－，?，∴2x－∈?－，?， 1226?36?π????3

?∈?－，1?. ∴sin?2x－?6??2?π

故当x＝时，f(x)取最大值1；

3π3

当x＝－时，f(x)取最小值－.

122

考向二 三角函数的奇偶性与周期性

π?

?【例2】?(2011·大同模拟)函数y＝2cosx－?－1是( )． ?4?

2?

A．最小正周期为π的奇函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2

B．最小正周期为π的偶函数 π

D．最小正周期为的偶函数

2

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性． π?2π?π??

?－1＝cos?2x－?＝sin 2x为奇函数，T＝＝π. 解析 y＝2cos2?x－?4??2?2答案 A

求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三

角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．

【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

解析 由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sin2x－sin xcos x＝π?1?

sin?2x＋?＋. ?4?2∴最小正周期为π. 答案 π

考向三 三角函数的单调性

?π?

?【例3】?已知f(x)＝sin x＋sin?

?2－x?，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间． [审题视点] 化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．

1－cos 2x12－sin 2x＝－222

- 6 -

?π?

?解 f(x)＝sin x＋sin?

?2－x? ?π?

?＝sin x＋cos x＝2sin?

?x＋4?. πππ

由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

242得：－

3ππ

＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 44

?π?又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为?0，?.

?4?

求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体

代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． π??

【训练3】 函数f(x)＝sin?－2x＋?的单调减区间为______．

?3?

π?π?π????

?＝－sin?2x－?，它的减区间是y＝sin?2x－?的增区间． 解析 f(x)＝sin?－2x＋???3?3?3?ππππ5π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的

2321212π5π??

?(k∈Z)． 减区间为?kπ－，kπ＋?1212?π5π??

?(k∈Z) 答案 ?kπ－，kπ＋?1212?

考向四 三角函数的对称性

π??

?图象的对称轴方程可能是( )． 【例4】?(1)函数y＝cos?2x＋?3?ππππ

A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 612612

ππ??

?(2)若0＜α＜，g(x)＝sin?2x＋＋α?

?是偶函数，则α的值为________． 24

[审题视点] (1)对y＝cos x的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求． ππ

(2)利用＋α＝kπ＋(k∈Z)，求解限制范围内的α.

42πkππ

解析 (1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

326

π

令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．

6

- 7 -

π?π???(2)要使g(x)＝cos?2x＋＋α?为偶函数，则须＋α＝kπ

44ππππ

＋，k∈Z，α＝kπ＋，k∈Z，∵0＜α＜，∴α＝. 2424π答案 (1)A (2) 4

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的

图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

π?π?|φ|＜?的一条对称轴为x＝，【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)?则φ＝________. ?2?12(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. π

解析 (1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，

2即3×

ππ

＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 122

π

得φ＝kπ＋(k∈Z)，

4ππ又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝. 24

(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数， π

∴φ＝kπ＋，k∈Z.

2

ππ

答案 (1) (2)kπ＋，k∈Z

42

难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数

- 8 -

π??

?(ω＞0)的单调递增区间【示例】? (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin?ωx＋

?3?5ππ?π7π?

?(k∈Z)，单调递减区间为??kπ＋，kπ＋??(k∈Z)，则ω的值为?kπ－，kπ＋??1212?1212?为________．

二、根据三角函数的奇偶性求解参数

【示例】? (2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． ππππA. B. C．－ D．－ 6363

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▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)

π?π?

?(ω＞0)的最小正周期为，【示例】? (2011·合肥模拟)若函数y＝sin ωx·sin?ωx＋

?2?7则ω＝________.

▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)

π

【示例】? (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则

3常数a、b的值是( )． A．a＝－1，b＝3 C．a＝3，b＝－1

B．a＝1，b＝－3 D．a＝－3，b＝1

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