第四讲 随机变量的数字特征与极限定理

第四讲 数字特征与极限定理

考试要求

1．理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.

2．会根据随机变量

YX的概率分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随机变量X和

的联合概率分布求其函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y). 3．了解切比雪夫不等式.

4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数

定律)

5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率

一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义(计算公式)

离散型 P?X?xi??pi, E(X)?连续型 X~f(x), E(X)??xpiii

???xf(x)dx

2??22方差：D(X)?E(X?E(X))?E(X)??E(X)?

标准差：

2. 期望的性质：

D(X),

1° E(C)?C,E(E(X))?E(X) 2°

E(C1X?C2Y)?C1E(X)?C2E(Y)

3° 若X与Y独立，则E(XY)?E(X)E(Y) 4° ?E(XY)?≤E(X2)E(Y2)

23. 方差的性质：

1° D(C)?0,D(E(X))?0,D(D(X))?0 2° X与Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)

23° D(C1X?C2)?C1D(X)

4° 一般有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?D(X)D(Y)

5°D(X)?E(X?C), C?E(X)

22

2【例1】设试验成功的概率为求试验次数的数学期望.

34, 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试

41【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: (1) 试开过的钥匙即被除去; (2) 试开过的钥匙重新放回.

x?1?cos,【例3】 设随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?0?x??,其他. 对X独立地重复观

察4次, 用Y表示观察值大于

?3的次数, 求Y2的数学期望.

【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在 哪一层(2-11层)下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望.

23

二、随机变量函数的期望（或方差）

1、一维的情形 Y?g(X)

离散型：P{X?xi}?pi ， E(Y)?连续型：X~f(x) E(Y)?2、二维的情形

Z?g(X,Y)?g(x)piii

?????g(x)f(x)dx

离散型(X,Y)~P?X?xi,Y?yi??pijE(Z)?,

????g(x,yiijj)pij

连续型(X,Y)~f(x,y), E(Z)???????g(x,y)f(x,y)dxdy??

22【例5】 设X与Y独立且均服从N (0，1)，求Z＝X?Y 的数学期望与方差.

【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N (0，与方差.

12), 试求Z＝｜X－Y｜的数学期望

三 、协方差，相关系数与随机变量的矩

1、重要公式与概念：

协方差 Cov(X,Y)?E?(X?E(X)(Y?E(Y))? 相关系数 ?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)

24

k阶原点矩 E(X) k阶中心矩 E(X?E(X))k?k?

2 性质：

1° Cov(X,Y)?Cov(Y,X) 2° Cov(aX,bY)?abCov(X,Y)

3° Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) 4° |?(X,Y)|?1

5° ?(X,Y)?1?P(Y?aX?b)?1 ?(X,Y)??1?P(Y?aX?b)?1

(a＞0)(a＜0)

3、下面5个条件互为充要条件：

(1) ?(X,Y)?0 (2) Cov(X,Y)?0 (3) E(XY)?E(X)E(Y) (4) D(X?Y)?D(X)?D(Y) (5) D(X?Y)?D(X)?D(Y)

【例7】设X1,X2,?,Xn(n?2)为独立同分布的随机变量, 且均服从N(0,1), 记

X?1n?nXi, Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求:

i?1(I) Yi的方差D(Yi),i?1,2,?,n； (II) Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (III) P{Y1?Yn?0}.

25

四、极限定理

1. 切比雪夫不等式

P|X?E(X)|? ????D(X)?2,或P|X?E(X)|

2. 大数定律

3. Poisson定理

4. 中心极限定理

列维—林德伯格定理: 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布, 且

E(Xi)??,D(Xi)??, i?1,2,?,n,?， 则对任意正数?，有

2?n?X?n??i???i?1??x?? limP?n??n????????x??12?-t22etd

棣莫弗—拉普拉斯定理: 设?n~B(n,p),(即X1，X2，…，Xn，…相互独立, 同服从0一1分布) 则有

????n?np??x?? limP?n?????np(1?p)?x???12?e?t22dt.

26

【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999. 【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：

P(1000X?x)?P(X?x1000)

?x?X?500?0.4?500?0.4??P???0.4?0.6?1000?500?0.4?0.6?

500?????X?200x?200000?????

120200030????x?200000????0.999??(3.1).

?200030?即

x?200000200030?3.1,得 x≥ 233958.798.

因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

27

【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999. 【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：

P(1000X?x)?P(X?x1000)

?x?X?500?0.4?500?0.4??P???0.4?0.6?1000?500?0.4?0.6?

500?????X?200x?200000?????

120200030????x?200000????0.999??(3.1).

?200030?即

x?200000200030?3.1,得 x≥ 233958.798.

因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

27

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rakp.html