高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

一、标准方程

?x?a?2??y?b??r

221.求标准方程的方法——关键是求出圆心?a,b?和半径r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 x?y?r?r?0?

222过原点 ?x?a???y?b??a2?b2?a2?b2?0? 圆心在x轴上 ?x?a??y?r22222?r?r?0? ?0?

圆心在y轴上 x??y?b??r222圆心在x轴上且过原点 ?x?a??y?a222?a?0? ?b?0?

2圆心在y轴上且过原点 x??y?b??b2222与x轴相切 ?x?a???y?b??b222?b?0? ?a?0?

与y轴相切 ?x?a???y?b??a与两坐标轴都相切 ?x?a???y?b??a二、一般方程

x?y?Dx?Ey?F?0?D?E?4F?0?

22222222?a?b?0?

1.Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0表示圆方程则

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???A?B?0?A?B?0?? C?0???C?0??D2?E2?4AF?022?DEF??????0??????4??AAA?????2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4 3.D2?E2?4F?0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

d?r?点在圆内；d?r?点在圆上；d?r?点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBPB?BN?BC?r ?BM?BC?r

minmax

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAmin? PAmaxAN?AM?r?r?A CA C?

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离?没有公共点???0?d?r

（2）相切?只有一个公共点???0?d?r

（3）相交?有两个公共点???0?d?r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

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②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．i）点在圆外

如定点P?x0,y0?，圆：?x?a???y?b??r，[?x0?a???y0?b??r]

222222第一步：设切线l方程y?y0?k?x?x0?

第二步：通过d?r?k，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P?1,1?作圆x2?y2?4x?6y?12?0的切线，求切线方程. 答案：3x?4y?1?0和x?1 ii）点在圆上

21） 若点?x0，y0?在圆x2?y2?r2上，则切线方程为x0x?y0y?r

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2） 若点?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r上，则切线方程为

222?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：利用基本图形，AP222?CP?r?AP?2CP?r 2?AC?r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程?

k?k??1?ACAP3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ．．．．弦长公式：l?1?k2x1?x2??x?1?k???21?x2??4x1x2?（暂作了解，无需掌握）

?2（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.

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（3）关于点的个数问题

例：若圆?x?3???y?5??r2上有且仅有两个点到直线4x?3y?2?0的距离为1，则半径r的取值范围是_________________. 答案：?4,6? 4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题

1.若圆x2?y2??m2?1?x?2my?m?0，关于直线x?y?1?0，则实数m的值为____. 答案：3（注意：m??1时，D2?E2?4F?0，故舍去）

变式：已知点A是圆C:x2?y2?ax?4y?5?0上任意一点，A点关于直线x?2y?1?0的对称点在圆C上，则实数a?_________.

2.圆?x?1???y?3??1关于直线x?y?0对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆C1：?x?4???y?2??1与圆C2：?x?2???y?4??1关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.

3.圆?x?3???y?1??1关于点?2,3?对称的曲线方程是__________________.

4.已知直线l：y?x?b与圆C：x2?y2?1，问：是否存在实数b使自A?3,3?发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点B?理由. 六、最值问题

方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x，y满足方程x?y?4x?1?0，求： （1）

y222222222222?24?25,7??？若存在，求出b的值；若不存在，试说明25?x?5（2）y?x的最小值；——截距（线性规划）

22的最大值和最小值；——看作斜率

（3）x?y的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知?AOB中，OB?3，OA?4，AB?5，点P是?AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.

数形结合和参数方程两种方法均可！

3.设P?x,y?为圆x??y?1??1上的任一点，欲使不等式x?y?c?0恒成立，则c的取

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值范围是____________. 答案：c?七、圆的参数方程

?x?rcos?，?为参数 x?y?r?r?0???y?rsin??222） 2?1（数形结合和参数方程两种方法均可！

?x?a?2??y?b??r22?r?x?a?rcos?，?为参数 ?0???y?b?rsin??八、相关应用

1.若直线mx?2ny?4?0（m，n?R），始终平分圆x2?y2?4x?2y?4?0的周长，则m?n的取值范围是______________.

2.已知圆C：x2?y2?2x?4y?4?0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理

由.

提示：x1x2?y1y2?0或弦长公式d?221?k2x1?x2. 答案：x?y?1?0或x?y?4?0

3.已知圆C：?x?3???y?4??1，点A?0,1?，B?0,1?，设P点是圆C上的动点，

d?PA?PB，求d的最值及对应的P点坐标.

224.已知圆C：直线l： ?x?1???y?2??25，?2m?1?x??m?1?y?7m?4?0（m?R）（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.

5.若直线y??x?k与曲线x??1?y恰有一个公共点，则k的取值范围.

6.已知圆x?y?x?6y?m?0与直线x?2y?3?0交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OP?OQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）d?r1?r2?外离 （2）d?r1?r2?外切 （3）r1?r2?d?r1?r2?相交 （4）d?r1?r2?内切 （5）d?r1?r2?内含 2.两圆公共弦所在直线方程

2222圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0，

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