离散时间系统的变换域分析

第八章 离散时间系统的变换域分析

§8-1 引 言

一、变换域分析的目的：

类似于连续时间系统的L.T.，离散时间系统通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题，其目的是通过变换域分析将原来的求解问题简化。

二、Z变换的发展史

十八世纪，英国数学家棣莫弗（De Moivre）提出生成函数，并应用于概率论。实质上，生成函数与Z变换的形式相同。从十九世纪拉普拉斯（P.S.Laplace）到二十世纪沙尔(H.L.Seal)等人都对其进行了进一步深入研究。

二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.

1

三、离散时间系统的分析方法

1． 离散时间系统的Z域分析法，这在本课

程进行研究。

2． 离散时间系统的频域分析法，即利用离

散傅里叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。

3． 除了DFT以外，还有如沃尔什变换等分

析方法，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。

§8-2 Z变换定义及其收敛区域

一、Z变换的定义

Z变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出，后者更加容易理解。本课程中，通过连续时间系统的F.T.导出Z.T.。

离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号

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通过抽样而得到的冲激序列：

f(k)——>f?(t)?k????f(t)?(t?kT)

??对其f?(t)进行F.T.：

F(j?)??f?(t)e?j?tdt????????????f(t)?(t?kT)?e?j?tdt???k??????????????f(kT)?(t?kT)?e?j?tdt???k??????????????f(k)?(t?kT)?e?j?tdt???k?????????k????????????????f(k)?(t?kT)e?j?tdt

k???f(k)??(t?kT)e?j?tdt???j?kT??????k????f(k)e?k????f(k)?e?j??kT根据Dirichlet条件，只有在信号满足绝对可积条件的情况下才成立，即满足绝对可和条件：

k????f(k)???时，FT才存在。如果不满足，可以

?rkT??利用LT中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子e，然后再求FT。这样一来上式就可以变成

为：

3

F(r?j?)??f?(t)e?rkTe?j?tdt?????k????f(k)?e???r?j??kT?????j??kT? ???f(k)?e???k????(r?j?)T(??j?)T??，代入上式，得： z?e?e令

F(z)?k??????f(k)z?k

上式称为序列f(k)的Z变换。F(z)被称为序列f(k)的生成函数。

? 上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系，即：

F(j?)?F(z)z?e?r?j??T??e???j??T?

而抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为：

F(s)?F(z)z?esT

? 在某些情况下，Z变换的求和限可以简化： 1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则： F(z)?k?????1f(k)z?k

2、 如果f(k)是一个右边序列，则：

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F(z)??k?0??f(k)z?k

3、 如果f(k)是一个有限长序列，则： F(z)?

二、单边Z变换与双边Z变换

双边Z变换与单边Z变换的区别从应用上考虑，从实际的因果系统和非因果系统上考虑。

本课程主要考虑单边Z变换：

F(z)?k?k1?k2f(k)z?k

?k?0??f(k)z?k

三、Z变换的收敛域

ZT是一个级数求和问题，ZT存在意味着级数收敛。Z变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部Z的集合，即对于任意序列f（k）的z变换F(z)，使F(z)存在且有限的z值的取值范围称为F(z)的收敛区。 1、 级数收敛的判别方法：

ak?1???1 1） 比值法：klim??ak

5

ka???1k2） 根值法：klim ??其中，ak为其级数的第k项。

2、 几种常见序列的收敛域：

1） 右边序列：

F(z)??k?0??f(k)z?k

利用根值法，有：

k??limkak?limkf(k)z?k?limzk??k???1kf(k)?1

?z?limkf(k)?R

k??所以，右边信号的收敛域为是半径为R、圆心在原点的圆以外的全部区域。

k例：单边指数序列a?(k)的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：

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?z?limkak?a

k??

思考：如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样？

提示：收敛域是否包含+?？

2） 左边序列

F(z)?k?????1f(k)z?k

同上可得左边序列的收敛域为：

?kkkakklim?limf(k)z?limf(?k)zkk???k???k??? ?limzk???kf(?k)?11?R

?z?klimf(?k)k???即左边信号的收敛域为是半径为R、圆心在原点的圆以内的全部区域。

kb例：单边指数序列?(?k?1)的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：

?z?1k??limkb?k?b

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思考：如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样？

提示：收敛域是否包含原点？

3） 双边序列

与连续时间系统一样，双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和，收敛域为两个序列的公共收敛域。收敛域可能存在（当两个序列的收敛域有公共区间时），也可能不存在（当两个序列的收敛域没有公共区间）。如果存在，其收敛域为一个环行区域。

kk例：求序列b?(?k?1)?a?(k)的收敛区。 k解：它的收敛域为左边序列b?(?k?1)和右边序列

ak?(k)的公共收敛区间。

1、 当a?b时，两者没有公共收敛区间，Z变换不存在。

2、 当a?b时，收敛域为a?z?b

4） 有限长序列：（实际上，收敛域是按照1）-3）的情况确定。）

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F(z)?k?k1?k2f(k)z?k

a、 当k2?k1?0或k2?k1?0,收敛域0?z??? b、 当k1?0,k2?0,收敛域0?z???

c、 当0?k2?k1或0?k2?k1,收敛域0?z??? d、 当k2?k1?0，收敛域0?z???

四、常见右边序列的ZT 1、 单位函数：

Z??(k)??k????k???kz?1，收敛域：全平面。 ???2、 单位阶跃信号：

Z??(k)??k????k?k???kz?z??k?0????1z

?1?z?z?.....???11?zz?1?1?2收敛域：z?1 3、 单边指数序列： Z??(k)??k??v??k?zkk??????k??vzkk?0???kz?z??，收

敛域：z??

4、 单边正弦和余弦序列：

可以通过上面指数序列推导出，见P386-387

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其它常见ZT：见P387,表8-1

五、左边和双边序列的ZT计算方法： 1、 左边序列ZT求法：

F(z)???k?????1f(k)z?k?k?k?1??f(?k)zk??f(?k)zk?0?f(0)

由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT计算方法：

1） 将序列f(k)反褶，称为右边序列f(-k)； 2） 求f(-k)的右边ZT，假设为Fs(z)，收敛域为z?R；

3） 得到左边序列的ZT：

F(z)?Fs(z?1)?f(0)，收敛域为z?R?1

2、 双边序列ZT求法：

与双边信号的LT一样，可以将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，分别求解。

例：求f(k)??解：f(k)??其中：

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k的ZT

k??k?(k)???k?(?k)??(k)

k1）Z??(k)???zz??

z??，收敛域：

?kZ??(?k)， 2）为了求

ka、 将信号反褶，成为新的右边序列：??(k)

??wb、 求右边序列ZT：w??，收敛域：w??

c、 得到原序列ZT：

wZ??(?k)?w?v?k??w?z?1v?1??1v?z，

收敛域：z???1

4） 综合得到双边序列的ZT：

a、 如果??1，则f(k)的双边ZT不存在（两个收敛域没有公共部分）；

b、 如果??1，则f(k)的双边ZT为：

zv?1zzF(z)???1?1???1z??v?zz??v?z z(??1??)z(????1)??1?2(v?z)(z??)z?(??v?1)z?1收敛域：??z??

§8-3 Z变换的性质

1、 线性：af1?k??bf2?k??aF1?z??bF2?z? 2、 移序特性：

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?1

1） 单边ZT移序特性： a、 增序：

Z?f(k?1)??Z?qf(k)???f(k?1)z?z?f(k?1)z??k?1??kk?0k?0?????z?f(j)zj?1???j?????j?z??f(j)z?f(0)??z?F(z)?f(0)??j?0?可推导出：

Z?f(k?2)??Zq2f(k)?z2F(z)?f(0)?f?1?z?1 ............

????Z?f(k?n)??Zqn?f(k)

?znF(z)?f(0)?f(1)z?1?...?f(n?1)zn?1????

b、 减序：

Z?f(k?1)??Z?qf(k)??z?1???1?k?0??f(k?1)z??k?1??? ?z?1?f(j)z?j?z?1?f(j)z?j?z?1F(z)j??1j?0推广：

Z?f(k?n)??Zq?nf(k)?z?nF(z)

? 移序算子q的作用相当于乘z; ? 移序计算不影响收敛域；

? 移序特性与LT中的微分特性很相似：

?d?L?f(t)??sF(s)?f(0?) ?dt???2） 双边序列移序：

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?q Z?f(k?n)??Z?nn Z?f(k?n)??Zqf(k)?zF(z)，

?n?n?f(k)??zF(z)

3、 （z域）尺度变换特性：

若Z?f(k)??F(z)，收敛区域v1?z?v2，则：

zZaf(k)?F()

ak??收敛区域av1?z?av2。 证：

Z?af(k)??kk????af?k?zk???k?z??f?k????a?k???????kz?F()a

4、 （z域）微分特性：

dZ?kf(k)???zF(z)

dz 证：

?????dd???dF(z)??f?k?z?k??f?k?z?k??z?1kf?k?z?kdzdz?k???dzk????k????????d?k???zF(z)?kfkz?Z?kf(k)?。 ?即， dzk???

例：求斜变函数k?(k)的ZT，见P61。

5、 卷积定理：

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Z?f1(k)*f2(k)??F1(z)F2(z)

单双边相同。

6、 初值和终值定理：

limF(z) 在f(0)存在的条件下，f(0)?z??（如果f(t)和f'(t)存在，且f(t)的LT也存在，则：

f(0?)?limf(t)?limsF(s)） ?s??t?0在f(∞)存在并且有限的条件下，

f(?)?lim(z?1)F(z)

z?1（如果f(t)和f'(t)存在，f(t)的LT也存在，且F(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在单极点，则：

f(??)?limf(t)?limsF(s)）

t??s?0

习题：①. 8.2(2); ②.8.3(1)、(6)；③.8.5. ******************************************

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§8-4 反Z变换

反Z变换有三种方法： 1） 级数展开法； 2） 部分分式展开法； 3） 留数法。

一、 级数展开法：

指导思想：将F（z）表示成Z变换的原始形式，将各个元素与f(k)对号入座。

F(z)?N?q??A0?A1z?1?A2z?2?A3z?3??

D?q?与z变换的定义式：

F(z)??k?0??f(k)z?k

比较，即得到：

A0?f?0?, A1?f?1?, A2?f?2?, ?

实现途径：长除。

2z2?0.5z例：求F(z)?z2?0.5z?0.5的原函数。

见P397

? 用这种方法容易求得信号的前面的几个点上的

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值，但是无法得到解析表达式。

? 用这种方法可能得到多个解。(在升幂和降幂问题的处理上，见P397-398)

? 这种方法无法与收敛域相结合，得到正确的原函数。

二、部分分式展开法：

同LT中的Heaviside分解法。 1、 其用到的基本变换为：

Z?k?(k)???zz??

Zk?k?1?(k)????z???2

z??k!zk?n?1Z???(k)??n ?(n?1)!(k?n?1)!??z???F(z)2、 对z进行部分分式展开，对应于上面的基

本的ZT公式，就可以得到原函数。 3、 也可以采用另外一种基本函数：

??(k?1)!1Z??k?n?(k?1)??n (n?1)!(k?n)!(z??)??这时候只要对F（z）进行部分分式展开即可。 4、 上面讨论的是单边ZT的反变换。与LT一样，在双边ZT中，F(z)的原函数与其收敛区间有

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zk关。z??可以是右边序列??(k)的象函数，也

k???(?k?1)的象函数，可以是左边序列差别在

于收敛域不同。所以，必须根据收敛域，决定部分分式展开式中各项的归属。 例1：同上。P399 例2：见P399,8.10 解:F?z??z?2,

2z2?7z?3F?z?z?2z?2ABC?????, zz2z2?7z?3z?z?3??2z?1?zz?32z?1??解得:

A=2/3，B=1/3，C=-2，所以： F?z?2/31/32???

zzz?32z?12/31/3?z2z21zz F?z??z?????1zz?32z?133z?3z?2当z?3时，右边函数，有：

k??1??kf?k??2/3??k???1/3?3??????k?，

?2?????当z?时，左边函数，有：

k??1??kf?k??2/3??k???1/3?3???????k?1?，

?2?????1当?z?3时，双边函数，有： 212?1?f?k??2/3??k??1/3?3???k?1??????k?

?2?kk三、留数法：

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1、 通过计算留数，可以得到原函数：很多教材上

将其作为反Z变换的定义：

1k?1k?1??f(k)?Fzzdz?ResF(z)z?2?j?c?? c内各极点（这样注意围线C的定义）

证明从略。

例：P400-401 小结：

? 留数法不仅可以用于计算单边反Z变换，而且可以用于计算双边反Z变换。

? 用留数法进行计算，可能会遇到计算z=0点的各阶留数的计算，不很方便。（主要由于公式中

zk?1（当k-1<0）的存在）

? 根据复变函数理论，有：

?ResF(z)zk?1? ??ResF(z)zk?1?? c内各极点? c外各极点?ResF(z)zk?1??z???0 可以得到另外一种留数法的公式：

f(k)???ResF(z)zk?1 c外各极点?ResF(z)zk?1????z??这个公式因为不要考虑z=0点，所以不用计算z=0点的各阶留数。但是它会牵涉到∞处留数的计算。

由复变函数理论可知，函数X?z?在无穷远处

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的留数等于函数Y?z??X?z?z在z=0处的留数，

?2所以有：

ResF(z)zk?1??z???ResF(z?1)z?k?1z?2??z?0?ResF(z?1)z?k?1??z?0 在某些情况下（一般在k大于一定值的情况下），

F(z)zk?1在z=0处无极点，不用考虑z=0点的留数，

这时候用原来的公式比较方便；（见P402-403例题8-12）

? 在某些情况下（一般在k小于一定值的情况下），

F(z)zk?1在z=∞的留数为零，不用考虑z=∞点的

留数，这时候用后面的公式比较方便。（见P402-403例题8-12）

§8-5 ZT与LT关系

ZT与LT有很多相似之处，也有很多联系。

一、理想抽样信号的LT与其相应的离散序列的ZT之间的关系。

通过§8-2节的推导，可以看出，抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为：

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F(s)?F(z)z?esT，或 F(z)?F(s)s?1lnz

T此时s平面与z平面之间的映射关系为：

z?esT1s?lnz ，或 T假设：

z?zej?，s???j?

则有：

z?e?T，???T

? s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； ? s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外； ? s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上； ? s平面上的多个点可以映射到z平面的一个点

2?上，相角?随?以T为周期重复。所以这种

映射关系并不是一一对应的。但是，在信号带宽满足Nyquist取样率?m?2?T的情况下，这种多点映射关系并不影响我们分析。

?s? 20

二、一般连续信号f(t)的LT与它抽样后得到的离散序列的ZT之间的关系。

连续信号———>理想抽样序列———>离散序列 F(s) <————————————> F(z) 已知信号的F(s),通过L?1T可以得到：

1f(t)?2?j抽样

取冲激幅度

????j??j?F(s)estds

对f(t)理想抽样，其冲激幅度序列为：

1f(kT)?2?j????j??j?F(s)eskTds

对序列求ZT：

1??j?skT?kF(z)?Z{f(kT)}??F(s)eds?z???j?k?02?j?1??j?skT?k ?F(s)e?zds????j?2?jk?01??j?F(s) ?ds?sT?1??j?2?j1?ez?

?zF(s)? ??Res?sT??z?e?F(s)在左半平面各极点i

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K1F(s)?? 假设：s?s1，则： F(z)??i??zK1?Res??(s?s)(z?esT)?1??F(s)在左半平面各极点?K1z??K1z?????sT?s?s1s1T??z?e??z?e?sT

可见：F(s)在s1处有极点，而F(z)在e1处有极点。 ? 假设F(s)??i?1nKi，则有： s?si（假设没有重极点）?KizsiT F(z)???z?ei?1?n??——在F(s)没有重根的?情况下,可以通过部分分解的方法得到F(z)。

? 从上面可以看出：F(s)的极点和F(z)的极点之间的关系为：

z?esT1s?lnz ，或 T或：

z?e?T，???T

可见，F(s) 和F(z)的极点的映射关系与上面的关系相同。这里同样有多点映射的问题。

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§8-6 离散时间系统ZT分析法

时域差分方程→Z域代数方程→系统响应时域解。

将系统响应依然分成yzi和yzs两部分讨论。

一、yzi的ZT求解法：

在输入信号为零的条件下，差分方程变为了一个齐次差分方程。其一般形式为：

?aiyzi(k?i)?0

i?0n对其求ZT，可以得到：

i?1?i??l???ai?z??Yzi(z)??yzi(l)z????0 i?0l?0????n（移位特性）

i?1?ii?l???aizYzi(z)?aiz?yzi(l)z??0 i?0?l?0?n?ii?1?l??aiz Yzi(z)???aiz?yzi(l)z? i?0i?0?l?0?n??in 23

?ii?1?l???aiz?yzi(l)z??Yzi(z)?i?0?nl?0 i?aizn??i?0所以，有了初始条件，就可以通过直接写出

Yzi(z)，再由反ZT就可以得到yzi(k)。

但是，这种方法比时域解法复杂，因为： 1、 形式复杂，难于记忆； 2、 要进行反ZT计算。

二、yzs的ZT求解法：

yzs(k?n)?an?1yzs(k?n?1)?...?a1yzs(k?1)?a0yzs(k)?bme(k?m)?bm?1e(k?m?1)?...?b1e(k?1)?b0e(k)

零状态响应有很多推导方法。教材上提出了直接用这个差分方程的求解方法。这里给出一个更加简单的方法。为此将差分方程改写为：

yzs(k)?an?1yzs(k?1)?...?a1yzs(k?n?1)?a0yzs(k?n)?bme(k?m?n)?bm?1e(k?m?n?1) ?...?b1e(k?n?1)?b0e(k?n)

然后对方程两边求ZT（注意：1、系统初始状态为零;2、同时激励信号也是一个有始信号;3、对于因

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果系统，m<=n）：

Yzs(z)?an?1z?1Yzs(z)?...?a1z?n?1Yzs(z)?a0z?nYzs(z)?bmzm?nE(z)?bm?1zm?n?1E(z)?...?b1z?n?1E(z)?b0z?nE(z)(1?an?1z?1?...?a1z?n?1?a0z?n)Yzs(z)?(bmzm?n?bm?1zm?n?1?...?b1z?n?1?b0z?n)E(z)

bmzm?n?bm?1zm?n?1?...?b1z?n?1?b0z?n?Yzs(z)?E(z)?1?n?1?n1?an?1z?...?a1z?a0zbmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0 ?nE(z)n?1z?an?1z?...?a1z?a0定义：

bmzm?bm?1zm?1?...?b1z?b0H(z)?nz?an?1zn?1?...?a1z?a0

则：

Yzs(z)?H(z)E(z)

其中，H(z)称为系统的转移函数。它可以根据系统的差分方程的系数直接写出。

可见，离散时间系统的零状态响应的求解方法与连续时间系统中的方法完全一样，只不过LT变成了ZT而已。这里，同样可以证明，H(z)是系统的单位函数响应的ZT，即：

H(z)?Z?h(k)?

三、系统的全响应求解：

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