苏教版高中数学必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用（教师版）

苏教版高中数学 正弦定理和余弦定理的应用

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断 教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。

1、 与实际应用问题有关的名词、术语

①铅直平面：与水平面垂直的平面 ②坡角：坡面与水平面的夹角

③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比

④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 ⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 ⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角

⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于90

⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2、 解三角形应用问题步骤

（1） 准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语； （2） 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解； （4） 检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。

1

类型一：测量距离、高度问题

例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧A,B间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是（）

A.角A,B和边b B.角A,B和边a C.边a,b 和角C D.边a,b和角A

解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D

答案：D

练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

4004003

A．m B．m C．2003m D．200m

33解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，

∠ADM＝30°，∠ACB＝60°∴BC＝200

＝. 3

400

∴CD＝AB－AM＝.

3

答案：A

练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为( )

2002003

＝，AM＝DMtan30°＝BCtan30°tan60°3

A．102m B．20m C．203m

D．40m

解析：设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝3xm，在△BCD中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 答案：D

例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3h，该船实际航程为________．

解析：如图，水流速和船速的合速度为v，

2

在△OAB中：

OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°， ∴OB＝v＝23km/h.

即船的实际速度为23km/h，则经过3h，其路程为23×3＝6 km. 答案：6 km

练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，

ABAC又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝，

sin15°sin30°150×

2AB×sin30°

∴AC＝＝＝25(6＋2)(m)．

sin15°6－2

4∴出事渔船离灯塔的距离CD＝

2AC 2

25?6＋2?·2＝＝25(3＋1)(m)．

2

练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20n mile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile. 解析：如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，

∠CAB＝40°＋80°＝120°，

由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴28(n mile)． 答案：28

3

BC＝

规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。 类型二：测量角度问题、三角形综合题 例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )

A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° D．南偏西55° 解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．

α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B在A的南偏西55°. 答案：D

练习5：已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔

B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（）

A.北偏东40 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 答案：B

练习6：某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30 处，灯塔B在观察站C南偏东30处，则两灯塔A,B间距离为（）

A.400米 B.500米 C.800米 D.700米 答案：D

例4：在?ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c若?ABC的面积为S，且

2S??a?b??2c，则tanC? （）

A.

23443 B. C.? D.? 43342S??a?b??c2,2S?a2?b2?2ab?c2解析： 由?2?21absinC?a2?b2?2ab?c22?absinC?2ab?a2?b2?c2

a2?b2?c2a2?b2?c21即sinC?2? 又cosC?，所以sinC?2?2cosC,1?cosC?sinC

ab2ab24

CCCCCC,sinC?2sincos,?2cos2?sincos222222又

C4?tan?2,tanC??23cosC?1?2cos2答案：C

练习7：在?ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c若?ABC的面积为S，且

2S??a?b??c2，则tan2C? （） 2A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：A

练习8：在?ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c若?ABC的面积为S，且

2S??a?b??c2，则tan22C? （） 2A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B

1. 在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的( ) A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° 答案：D

2. 在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的( ) A．北偏西35° B．北偏东45° C．北偏东35° 答案：B

3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

D．南偏西45° D．南偏西45°

200200m B. 2003m C.3 m D.400m

33答案：A

4. 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A

A.

的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为( )

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ra0t.html