2020届高三数学（人教B版）一轮复习线性规划 - 非常规问题学案

微专题44 线性规划中的非常规问题

一、基础知识：

在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。在处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算。做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。 二、典型例题：

?x?0kS?例1：不等式组?y?0的?k?1?所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则

k?1?y??kx?4k?最小值为________

思路：先作出平面区域。直线

y??kx?4k?k?4?x?，可判断出过定点?4,0?，

通过作图可得平面区域D为直角三角形。所以三角形面

积

S?14?24k?。8k?从

而

kS8k21?1?????8?k?1??8k?1??2???k?1k?1k?1?k?1???，因为k?1?答案：32

1?2，所以S?32 k?1??y?x?a例2：关于x,y的不等式组??b?a?0?所确定的区域面积为2，则2b?a的最

y??x?b??小值为（ ）

A. 3 B. 23 C. 2 D. 1

思路：要求出2b?a的最值，则需要a,b的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等

式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为

a?bb?a，宽为，所以22b2?a2S??2，即b2?a2?4，作出双曲线，通过平移

2z?2b?a可得直线与b2?a2?4相切时，2b?a取得最小?b2?a2?4值。即：??3a2?2az?16?z2?0

?z?2b?a??4?4z2?48??0解得z?23，所以z?2b?a的最小

值为23 答案：B

?x?0?y?0?例3：若不等式组?表示的平面区域是一个三角形，则实数s的取值范围是（ ）

?x?y?s??2x?y?4A. 0?s?2或s?4 B. 0?s?2 C. s?4 D. s?2或s?4

思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线x?y?s为一组平行线，在平移的过程中观察能否构成一个三角形。一方面，

?x?0?本身就构成一个三角形。所以当s?4?y?0?2x?y?4??x?0?时，不等式组的区域与?y?0区域相同，从而

?2x?y?4?符合题意。继续将直线x?y?s向下平移。可得

2?s?4时，不等式组的区域为一个四边形。当

?x?0?的区域中切0?s?2时，x?y?s从?y?0?2x?y?4?割出来了一个三角形。所以符合题意。而s?0时，不等式组无公共区域。综上所述，0?s?2或s?4 答案：A

?x?022?2例4：已知平面区域?y?0恰好被面积最小的圆C:?x?a???y?b??r及其内

?x?2y?4?0?部所覆盖，则圆C的方程为_______

思路：作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。

A?4,0?,B?0,2?，所以外接圆圆心为AB中点C?2,1?，半径为r?程为?x?2???y?1??5 答案：?x?2???y?1??5

22221AB?5，所以圆方2?x?y?2?0?22例5：过平面区域?y?2?0内一点P作圆O:x?y?1的两条切线，切点分别为A,B，

?x?y?2?0?记?APB??，则当?最小时cos?的值为( ) A.951991 B. C. D. 1020102思路：通过作图可知PAO与PBO关于OP对称，从而??2?APB，从而问题转化为寻找?APB的最小值。可利用三角函数，

sinAPB?OAOP，且OA?1，所以OP越大，则

sinAPB越小，从而?APB越小。将问题转化为在平

面区域中寻找距离O?0,0?最远的点。通过数形结合可得

点

P??4?OAOP??,，2所以

sinAPB?答案：C

9112。从而cos??cos?2?APB??1?2sinAPB? ?10OP25?2x?y?1?0?例6：(2013,北京，8)设关于x,y的不等式组?x?m?0，表示的平面区域内存在点

?y?m?0?P?x0,y0?满足x0?2y0?2，则m的取值范围是__________

思路：约束条件含参，但两条直线有特点，x??m和y?m的交点??m,m?，依题意可得平面区域与直线x?2y?2有公共点，结合图像可判断出

m?0，从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直角

三角形（如图）。若区域与x?2y?2有公共点，则只需

??m,m?位于x?2y?2的下方即可。因为x?2y?2的

下方区域对应的不等式为x?2y?2，代入??m,m?可得2?m?2m?2?m?? 32答案：m?? 3?x?2y?4?0?例7：当实数x,y满足?x?y?1?0时，1?ax?y?4恒成立，则实数a的取值范围是?x?1?_________ 思路一：先作出不等式组所表示的区域（如图），设2x=1x-y-1=0510z?ax?y，则有zmin?1,zmax?4，y??ax?z，则要对斜率?a的符号进行分类讨论，若?a?0?a?0，从图上可看出zmin?0，不符题意；a?0时，2x+2y-4=0zmin?0?1不符题意；若a?0，无论a为何值，最优4解在顶点处取得，所以代入区域的顶点?1,0?,?1,?,?2,1?，可得： 6?3??2??1?a?4?3??3?a?1,? 1?a??4，解得??2?2????1?2a?1?481012思路二：从恒成立的不等式入手，考虑进行参变分离。由约束条件可得x?1，所以恒成立不??y?1?a?????x?max1?y4?y???a?等式为1?ax?y?4?，所以?，只需找到两个分式的xx?a???y?4????x??min?最值即可，而由分式可联想到斜率，所以作出平面区域，分别找区域中的点?x,y?与定点

?0,1?,?0,4?连线斜率的最值即可。??3?y?1??y?4??1??（处取得），x?1,y?0???x?maxx?min2??（x?2,y?1处取得），可得：a??1,? 2答案：?1,?

2?3????3????x?0?例8：若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?4分成面积相等的两部分，

?3x?y?4?则k的值为（ ） A.

73173 B. C. ? D. ? 37317思路：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线y?kx?4为绕定点?0,4?的一条动直线，设直线交AC于M，若将三角形分为面积相等的两部分，则SABM?SBCM，观察可得两个三

角形高相等，所以AM?MC即M为AC中点，联立直线方程可求得A?0,?,C?1,1?，则

??4?3?17?17?M?,?，代入直线方程可解得k??

3?26?答案：C

?x?0?y?0?例9：在约束条件?，当3?s?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变化范围

x?y?s???2x?y?4是（ ）

A. ?6,15? B. ?7,15? C. ?6,8? D. ?7,8?

思路：目标函数可化为y??3z3x?，斜率为?介222于直线x?y?s,2x?y?4斜率之间，先在坐标系中

?x?0?作出?y?0的范围，再平移直线x?y?s，在

?2x?y?4?移动过程中可发现3?s?4时，可行域为四边形；当

4?s?5时，可行域为三角形。所以进行分类讨论：当3?s?4，可行域为四边形OABC，

?x?y?s最优解为B，联立方程：??B?4?s,2s?4?，所以zmax?s?4??7,8?；当

2x?y?4?4?s?5时，可行域为三角形AOC'，最优解在C'?0,4?取到，此时zmax?8，综上所述，

zmax??7,8?

答案：D

?y?222?例10：已知区域D:?x?y?2?0，则圆C:?x?a???y?2??2与区域D有公共点，则

?x?y?1?0?实数a的取值范围是__________

思路：先在坐标系中作出区域D，圆C的圆心为?a,2?，半径为2，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆C与直线l1:x?y?2?0和l2:x?y?1?0相切是a取值的临界条件。当圆与l1:x?y?2?0相切时，则dC?l1?由圆心位置可得a??2；当圆与l2:x?y?1?0相切时，

a2?2?a??2，

dC?l2?a?32?2?a?5，所以a???2,5?

答案：a???2,5?

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