计量经济学习题与答案

1

第一章绪论

1-14．计量经济模型中为何要包括随机误差项？简述随机误差项形成的原因。

答：由于客观经济现象的复杂性，以至于人们目前仍难以完全地透彻地了解它的全貌。对于某一种经济现象而言，往往受到很多因素的影响，而人们在认识这种经济现象的时候，只能从影响它的很多因素中选择一种或若干种来说明。这样就会有许多因素未被选上，这些未被选上的因素必然也会影响所研究的经济现象。因此，由被选因素构成的数学模型与由全部因素构成的数学模型去描述同一经济现象，必然会有出入。为使模型更加确切地说明客观经济现象，所以有必要引入随机误差项。随机误差项形成的原因：①在解释变量中被忽略的因素；②变量观测值的观测误差；③模型的关系误差或设定误差；④其他随机因素的影响。

第二章 一元线性回归模型

例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为

kids??0??1educ??

（1）随机扰动项?包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？

（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。

解答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与增长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。

（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。

例2．已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项?的分布未知，其他所有假设都满足。

（1）从直观及经济角度解释?和?。

?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 ?和?（2）OLS估计量?（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答：

（1）???N为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为?，因此?表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。?是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学

2

校教育所对应的薪金增加值。

?满足线性性、无偏性及有效性，?和仍?（2）OLS估计量?因为这些性质的的成立无需随机扰动项?的

正态分布假设。

（3）如果?t的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在?的正态分布假设之上的。

例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：

??384.105?0.067YStt(151.105)R2

(0.011)

??19.092 3＝0.538 ?（1）?的经济解释是什么？

（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？

（3）对于拟合优度你有什么看法吗？

（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？

解答：（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。 （2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。 （3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

2-22．假设王先生估计消费函数（用模型Ci?a?bYi?ui表示），并获得下列结果：

Ci?15?0.81Yi，n=19

（3.1） (18.7) R2=0.98 这里括号里的数字表示相应参数的T比率值。

要求：（1）利用T比率值检验假设：b=0（取显著水平为5%）；（2）确定参数估计量的标准方差；（3）构

3

?造b的95%的置信区间，这个区间包括0吗？ 解： ⑴这是一个横截面序列回归。（图略）

⑵截距2.6911表示咖啡零售价在t时刻为每磅0美元时，美国平均消费量为每天每人2.6911杯，这个数字没有经济意义；斜率-0.4795表示咖啡零售价与消费量负相关，在t时刻，价格上升1美元/磅，则平均每天每人消费量减少0.4795杯； ⑶不能；

⑷不能；在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求出，须给出具体的X值及与之对应的Y值。

第三章、多元线性回归模型

例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为

edu?10.36?0.094sibs?0.131medu?0.210fedu

R2=0.214

式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问

（1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs增加多少？

（2）请对medu的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？ 解答：

（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。

（2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。

（3）首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.131?12+0.210?12=14.452 10.36+0.131?16+0.210?16=15.816

因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364

例2．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）

与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：

Y?0.472?0.32log(X1)?0.05X2(1.37)(0.22)(0.046)

R2?0.099其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大

4

的影响吗？

（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？ 解答：

（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y变化的单位数，即?Y=0.32?log(X1)?0.32(?X1/X1)=0.32?100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设H1：检验原假设H0：易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。?1?0，?1?0。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。

（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

例3．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型

如下：

housing??0??1density??2value??3income??4popchang??5unemp??6localtax??7statetax??

式中housing——实际颁发的建筑许可证数量，density——每平方英里的人口密度，value——自由房屋的均值（单位：百美元），income——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang——1980~1992年的人口增长百分比，unemp——失业率，localtax——人均交纳的地方税，statetax——人均缴纳的州税 变量 C Density Value Income Popchang Unemp Localtax Statetax RSS R2 模型A 813 (0.74) 0.075 (0.43) -0.855 (0.13) 110.41 (0.14) 26.77 (0.11) -76.55 (0.48) -0.061 (0.95) -1.006 (0.40) 4.763e+7 0.349 1.488e+6 1.776e+6 模型B -392 (0.81) 0.062 (0.32) -0.873 (0.11) 133.03 (0.04) 29.19 (0.06) -1.004 (0.37) 4.843e+7 0.338 1.424e+6 1.634e+6 模型C -1279 (0.34) 0.042 (0.47) -0.994 (0.06) 125.71 (0.05) 29.41 (0.001) 4.962e+7 0.322 1.418e+6 1.593e+6 模型D -973 (0.44) -0.778 (0.07) 116.60 (0.06) 24.86 (0.08) 5.038e+7 0.312 1.399e+6 1.538e+6 ?2 ?AIC （1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。根据检验结

果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？ （2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：?i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，

说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。 （3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。

5

4-6．在如下回归中，你是否预期存在着异方差？

Y a) b) c) d) e) 公司利润 公司利润的对数 道琼斯工业平均指数 婴儿死亡率 通货膨胀率 净财富 净财富的对数 时间 人均收入 货币增长率 X 样本 《财富》500强 《财富》500强 1960~1990年（年平均） 100个发达国家和发展中国家 美国、加拿大和15个拉美国家 4-6．答：存在；不存在；不存在；存在；存在。

第五章 经典单方程计量经济学模型：专门问题

例1．一个由容量为209的样本估计的解释CEO薪水的方程为 Ln(salary)=4.59 +0.257ln(sales)+0.011roe+0.158finance +0.181consprod – 0.283utility (15.3) (8.03) (2.75) (1.775) (2.130) (-2.895)

其中，salary 表示年薪水（万元）、sales表示年收入（万元）、roe表示公司股票收益（万元）；finance、consprod和 utility均为虚拟变量，分别表示金融业、消费品工业和公用事业。假设对比产业为交通运输业。 （1）解释三个虚拟变量参数的经济含义；

（2）保持sales和roe不变，计算公用事业和交通运输业之间估计薪水的近似百分比差异。这个差异在1%的显著水平上是统计显著的吗？

（3）消费品工业和金融业之间估计薪水的近似百分比差异是多少？写出一个使你能直接检验这个差异是否统计显著的方程。 解答：

（1）finance的参数的经济含义为：当销售收入与公司股票收益保持不变时，金融业的CEO要比交通运输业的CEO多获薪水15.8个百分点。其他两个可类似解释。

（2）公用事业和交通运输业之间估计薪水的近似百分比差异就是以百分数解释的utility的参数，即为28.3%。由于参数的t统计值为-2.895，它大于1%显著性水平下自由度为203的t分布的临界值1.96，因此这种差异是统计上显著的。

（3）由于消费品工业和金融业相对于交通运输业的薪水百分比差异分别为15.8%与18.1%，因此它们间的差异为18.1% - 15.8% = 2.3%。一个能直接检验这一差异是否显著的方程为

ln(salary)??0??1ln(salse)??2roe??1consprod??2utilty??3trans?u

其中，trans为交通运输业虚拟变量。这里对比基准为金融业，因此?1表示了消费品工业与金融业薪水的百分数差异，其t 统计值可用来进行显著性检验。

例2．假设货币需求关系式为Mt????Yt???Rt，式中，Mt为时间t的实际现金余额；Yt?

11

为时间t的“期望”实际收入；Rt为时间t的利率。根据适应规则，Yt???Yt?1?(1??)Y?t?1??t，0???1修改期望值。已知Yt，Mt，Rt的数据，但Yt?的数据未知。 （1）建立一个可以用于推导?,?,?和?估计值的经济计量模型。

（2）假设E(?t)?0,E(?t2)??2,E(?t?t?s)?0,s?0;Yt?1,Rt,Mt?1和Rt?1与?t都不相关。OLS估计值是1）无偏的；2）一致的吗？为什么？ （3）假设?t=??t?1??t,的吗？为什么？ 解答： （1）由于

?t的性质类似（2）部分。那么，本例中OLS估计值是1）无偏的；2）一致

Mt????Yt???Rt （1） Yt???Yt?1?(1??)Y?t?1??t （2）

第二个方程乘以?有

由第一个方程得

?Yt????Yt?1?(1??)?Y?t?1???t （3）

?Yt*?Mt????Rt

?Yt*?1?Mt?1????Rt?1

代入方程（3）得

Mt????Rt???Yt?1?(1??)?(Mt?1????Rt?1)???t

整理得

Mt????(1??)???Yt?1??Rt(1??)Mt?1?(1??)?Rt?1???t

=?????Yt?1?(1??)Mt?1??Rt?(1??)?Rt?1???t

该模型可用来估计并计算出?,?,?和?。

（2）在给定的假设条件下，尽管?t与Mt相关，但?t与模型中出现的任何解释变量都不相关，因此只是?与M存在异期相关，所以OLS估计是一致的，但却是有偏的估计值。

（3）如果?t???t?1??t，则Mt?1和?t相关，因为Mt?1与?t?1相关。所以OLS估计结果有偏且不一致。

3、一个估计某行业ECO薪水的回归模型如下

ln(salary)??0??1ln(sales)??2ln(mktval)??3profmarg??4ceoten??5comten??

其中，salary 为年薪sales为公司的销售收入，mktval为公司的市值，profmarg为利润占销售额的百分比，

12

ceoten为其就任当前公司CEO的年数，comten为其在该公司的年数。一个有177个样本数据集的估计得到R2=0.353。若添加ceoten2和comten2后，R2=0.375。问：此模型中是否有函数设定的偏误？ 解答：

若添加ceoten2和comten2后，估计的模型为

ln(salary)??0??1ln(sales)??2ln(mktval)??3profmarg??4ceoten??5comten??6ceoten??7comten??22

如果?6、?7是统计上显著不为零的，则有理由认为模型设定是有偏误的。而这一点可以通过第三章介绍的受约束F检验来完成：

F?(0.375?0.353)/2?2.97

(1?0.375)/(177?8)在10%的显著性水平下，自由度为（2，?）的F分布的临界值为2.30；在5%的显著性水平下，临界值为3.0。由此可知在10%的显著性水平下拒绝?6＝?7＝０的假设，表明原模型有设定偏误问题；而在5%的显著性水平下则不拒绝?6＝?7＝０的假设，表明原模型没有设定偏误问题。

5-2．在建立计量经济模型时，什么时候、为什么要引入虚拟变量？

答：在现实经济生活中，除了诸如：利润、成本、收入、价格等具有数量特征、影响某个经济问题的变量外，还有一类变量，如：季节、民族、自然灾害、战争、政府制定的某项经济政策等也会影响某些经济问题且可能是重要的影响因素，如：讨论改革前后的经济发展的对比，讨论像空调、冷饮等季节性产品的销售，讨论女性化妆品的销售等问题时，不可避免的要考虑后一类变量。这后一类变量所反映的并不是数量而是某种性质或属性，我们前面所讨论的回归模型是一种定量模型，所以在引入这类反映性质或属性的变量时需要先将其定量化。在计量经济学中，我们把这些反映性质或属性的变量叫“虚拟变量”。规定具备某种属性时把虚拟变量赋值为“1”，反之为“0”。

5-3．举例说明虚拟变量在模型中的作用。

答：以调查某地区居民性别与收入之间的关系为例（设解释变量中只含有虚拟变量），我们可以用模型表示：

yi????Di?ui

?1(男)D?y其中代表收入，Di为虚拟变量，i?

0(女)?可以看出，

?代表女性的收入，?代表男性与女性收入之间的差额，从yi????Di?ui式很容易得出：

??,Di?0(女) E(yi)????Di?????,D?1(男)i?

13

检验假设??0，就是检验男女的平均收入之间是否有差额。若：H0：??0成立，说明收入与性别没有明显关系。若H0：??0不成立，说明收入与性别有明关系。

5-4．什么是“虚拟变量陷阱”？

答：以季节性产品冷饮的销量为例说明。假设销售函数模型为：

yt??0??1x1t????kxkt?ui

其中yt表示销量，x1t,x2t,?xkt表示决定销量的解释变量；已知除定量解释变量的影响外，还受春、夏、秋、冬四季的影响，为把季节变化对销量的影响反映到模型中，如果我们引入4个虚拟变量：

2、3、4?1,第i季：i?1、Di??

0，其它季节?这样销售函数的季节回归模型为：

yt??0??1x1t????kxkt??1D1t??2D2t??3D3t??4D4t?ui

4个虚拟变量之间具有关系：D1t?D2t?D3t?D4t?1，出现完全多重共线性问题，使OLS法不能使用，这就称为“虚拟变量陷阱”。为克服这一问题，一般在引入虚拟变量时要求如果有m个定性变量，只在模型中引入m-1个虚拟变量。

5-5．对包含常数项的季节变量模型运用最小二乘法时，如果模型中引入4个季节虚拟变量，

其估计结果会出现什么问题？

答：对包含常数项的季节变量模型运用OLS法时，如果模型中引入4个季节虚拟变量，会造成完全多重共线性，则参数估计量不存在；其次，即便是一般共线性，使用OLS法参数估计量非有效；参数估计量经济含义不合理；变量的显著性检验失去意义；模型的预测功能失效。

5-9．试在消费函数Y????X??中（以加法形式）引入虚拟变量，用以反映季节因素（淡、旺季）和收入层次差异（高、中、低）对消费需求的影响，并写出各类消费函数的具体形式。

答：在消费函数Y????X??中以加法形式引入虚拟变量，用以反映季节因素（淡、旺）和收入层次差异（高、中、低）对消费需求的影响，形如下式：

?1(旺季)， Yi????1X??2Di??3Dj?ui 其中：Di???0(淡季)5-19．如果一个定性变量含有k个类别，为什么不能设k个虚拟变量？

答：如果一个定性变量含有k个类别，一般只能设k?1个虚拟变量，以避免多重共线。

14

15

16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r9rg.html