概率论与数理统计 林文浩 第二章习题

习题二 一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为 。

解 此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???，

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???， 3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机会是均等的，于是三个球

3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0，即不出现空盒子时，可视第一个球可

投入三个盒子中的任何一个内，第二个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球

111只能投入剩下的最后一个盒子内，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）

B组

1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。

解 设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3 由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?， P{X?1}?33?，

C735C735213C4C318C44P{X?2}?3?，P{X?1}?3?

C735C735 1

所以X的概率分布为

X 0 1 2 P 3 1 35 12 35 18 354 352．一个口袋中有六个球，在这六个球上分别标有?3,?3,1,1,1,2的数字，从这口袋中任取一个球，求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。

解 由古典概型知

P{X??3}?21311?， P{X?1}??，P{X?2}? 63626 2 所以X的分布列为

X -3 1 P 1 6?0,x?0?3．随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,0?x?1,求：（1）系数A；（2）X的概

?1,x?1? 率密度f(x)；（3）P{0?X?0.25}。

解 X为连续型随机变量，其分布函数为连续函数，故有

1 31 2A?F(1?0)?F(1)?1

于是当x?0时，f(x)?F?(x)?0；

当x?0时，f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)0?0?lim?0， ?x?0xx f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)?limx?0?x12xx?0???； x；

当0?x?1时，f(x)?F?(x)?(x)??当x?1时，f?(1)?lim?x?1F(x)?F(1)x?1?lim?0 x?1?xxF(x)?F(1)1?1?lim?0 x?0?xx2

f?(1)?lim?x?1故f(1)?0；

当x?1时，f(x)?F?(x)?(1)??0。

?1,0?x?1?所以所求概率密度为 f(x)??2x

?0,其它?而 P{0?X?0.25}?F(0.25)?F(0)?0.25?0?0.5

4．连续地掷一颗骰子，直到出现最大点数6为止，用X表示掷骰子的次数，求X的概率分布，并求P{X?3}。

解 设A?{掷一次骰子出现点数6}，则P(A)?1，于是X为几何分布即61X~G(P)?G()，其分布为

615P{X?k}?(1?p)k?1p?()k?1,k?1,2,?

66而

P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}

11525?1????

666365．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列。

解 由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得

P{X?k}?0.9(1?0.9)k?1,k?1,2,3,4

即

P{X?1}?0.9， P{X?2}?0.09，

P{X?3}?0.009， P{X?4}?0.00 0而由全概率公式得

P{X?5}?0.9(1?0.9)4?(1?0.9)5?0.0001

所以X的分布列为

X 1 2 0.09 3 4 5 0.0001 3

P

0.9 0.009 0.0009 6．在相同条件下相互独立进行5次射击，每次射击击中目标的概率为0.7，求击中目标的次数X的分布律及分布函数。

解 X~B(5,0.7)，由二项分布概率公式可得

kk5?k pk?P{X?k}?P,5(k)?C50.7(1?0.7)k?0,1,2,3,4,5

故X的分布律为

p0?0.00243，p1?0.02835，p2?0.1323 p3?0.3087，p4?0.36015，p5?0.16807 而根据

F(x)?可得X的分布函数为

?P{X?k}

k?x0,x?0.??0.00243,0?x?1,??0.03078,1?x?2,? F(x)??0.16308,2?x?3,

?0.47178,3?x?4,??0.83193,4?x?5,?1,x?5.?7．设一个盒子中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，以X表示取出的3个纪念章上的最大号码，（1）求X的分布列；（2）求P{X?5}。

解 由题设X的所有可能取值为3，4，5，而由古典概型可得

22C323C2C416 P{X?3}?3?，P{X?4}?3?，P{X?5}?3?

C510C510C510所以X的分布列为

X 3 4 5 P 且

1 103 106 10P{X?5}?P{X?3}?P{X?4}?

132?? 101054

8．袋中有四个红球，两个白球，今从中逐个取球，共取5次，在下列两种情况下求取得红球数X的分布列：（1）每次取出的球，观其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。

解 （1）X~B(5,)，由二项分布概率公式可得 pk?P{X?k}?P5(k)?C5()(1?)故X的分布律为

k2323k235?k,k?0,1,2,3,4,5

11040808032，p1?，p2?，p3?，p4?，p5? 243243243243243243（2）从六个球中不放回地逐个取球5次，最后袋中剩下或红或白一球，因此X的所有可能取值为3，4。由古典概型按组合算法可得X的分布律为

p0?3241C4C22C4C21 P{X?3}?，?P{X?4}?? 55C63C63若按排列算法，则有

3241C4C2P52C4C2P51，P{X?3}??P{X?4}?? 55A63A639．从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品，设每次抽取时，所

面对的各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情况下分别求出直到取得正品时抽取产品数X的分布列：

（1）每次取出产品检定后又放回，再取下一件产品； （2）每次取出产品后不放回；

（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回这批产品中。

7)，其分布为 1073P{X?k}?p(1?p)k?1?()k?1,k?1,2,?

1010（2）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为

7377? P{X?1}?， P{X?2}?，

1010930327732171P{X?3}????， P{X?4}

109812010987120（3）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为

73824?? P{X?1}?， P{X?2}，

10101010032954321106P{X?3}????， P{X?4}

1010101000101010101000解 （1）X为几何分布即X~G(P)?G(

5

???acosx,??x?,?22 （1）求系数a；10．设随机变量的概率密度为f(x)??（2）求??0,x???或x??.??22分布函数F(x)；（3）画出y?f(x)与y?F(x)的图形进行比较。

????解 由概率密度的性质，有

???f(x)dx???2?acosx?dx2sain??x?2?2 a12得a?1，于是 2当x??当??2时，F(x)??x??f(x)dx??0dx?0

??x?2?x??2时，F(x)??x??f(x)dx??2???2????0dx????11cosxdx?(1?sinx) ?222x当x?

?2

时，F(x)??x???f(x)dx??0dx??2?x1cosxdx???0dx?1 ?222??0,x???2?即 F(x)??1(1?sinx),???x??

?22?2??1,x??2??A,x?1,211．设随机变量X的概率密度为f(x)?? 求：（1）系数A；（2）?1?x?0,x?1.?P{?11?x?}。 22解 由概率密度的性质，有

?????f(x)dx??1A1?x2?1d?xaArcsi1n???A 1?1x得A?1?，于是

12?111111P{??X?}??21f(x)dx??21dx?arcsinx2??22?22?1?x12?1 36

12．某公共汽车站每隔8分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过5分钟的概率。

解 乘客在前后两辆公共汽车到站的间隔8分钟的区间(0,8]内到达汽车站的任一时刻是一随机变量，设该随机变量为X，则X~U(0,8)（均匀分布），即X的密度函数为

?1?,0?x?8, f(x)??8

??0,其他.而所求概率为

P{0?X?5}??50f(x)dx??5015dx?。 8813．设电池寿命（单位：小时）是一个随机变量，它服从正态分布N(300,352)。（1）求这种电池寿命在250小时以上的概率；（2）求一个数x，使电池寿命在区间

(300?x,300?x内取值的概率不小于)0.9。

解 设该随机变量为X

（1）所求概率为

P{X?250}?P{因为

X?30010X?300????1.4286}?1?P{??1.4286} 35735X?300~N(0,1)，所以 35 P{X?250}?1??(?1.4286)??(1.4286)?0.9236 （2）依题设，要求数x满足

P{300?x?X?300?x}?0.9 因为

P{300?x?X?300?x}?P{???(于是

2?(xX?300x??}353535

xxx)??(?)?2?()?1 353535xx)?1?0.9，或?()?0.95 35357

x)?0.95，查标准正态分布表（即附表2），得?(1.645)?0.95，所以取 35x?1.645 或 x?1.645?35?58 3514．工厂生产某高级电子元件，其寿命X（以年计）服从指数分布，X的概率密度为

由?(x?1?14?e,x?0，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电f(x)??4?0,x?0?子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。

（1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；

（2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；

（3）求出售一个电子元件盈利Y元的分布列。 解 （1）所求概率为

P{0?X?1}??10x1?1?4f(x)dx??edx?1?e4

041（2）此系n?5重贝努里试验概型B(5,p)，由（1）知参数p?1?e公式，所求概率为

14314212143?14，按二项概率

P5(3)?C(1?e)(e)?10e(1?e)

（3）由已知出售一个电子元件盈利Y?100元，而出售的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利Y??200元，即Y的取值为100,?200，并且有

P{Y??200}?P{0?X?1}? P{Y?100}?所以Y的分布列为

Y 100 e?1435??????1e

14?1PY{??200?}e

?200 1?e?14?14P

15．设人的某项特征（如左手执笔等）由一对基因d（显性）和r（隐性）决定，而且有dd基因（纯显性）和dr基因（混合性）的人，都显露该特性。设一对夫妇两人都是混合性，且每个孩子从父（母）亲的两个基因中继承某一个是等可能的，则该夫妇所生三个孩子中至多有两个显露该特征的概率是多少？

8

解 当一对夫妇两人都是混合性时，其孩子的基因可能为dd，dr，rd?dr和rr，且继承dd基因（纯显性）和dr基因（混合性）的概率分别为率为p?11和，于是显露该特性的概423。因此若设X?{该夫妇所生三个孩子中显露该特征的个数}，则43X~B(3,p?，于是所求的概率为)

43k13?k12k37 P{X?2}??C()()??C3?

448k?064k?0k3216．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度

x?1?1?e5,x?0为fX(x)??5。某顾客在窗口等候服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月

?0,其他?到该银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布列，并求P{Y?1}。

解 该顾客每次到银行未等到服务而离开窗口的概率为

p?P{X?10}?1?P{0?X?10}?1??fX(x)dx?1??010100x1?5edx?e?2 5于是Y~B(5,p)，故Y的分布列为

k?2k P{Y?k}?P(1?e?2)5?k5(k)?C5e(k?0,1,?,5)

而 P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e)

17．设电源电压X服从正态分布N(220,25)，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1）X不超过200伏；（2）X在200~240伏之间；（3）X超过240伏。

求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？

解 设A1?{X不超过200伏}，A2?{X在200~240伏之间}，A3?{X超过240伏}，

2?25B?{电子元件损坏}，则A1,A2,A3构成一完备事件组，且据已知有

P{BA1}?0.1，P{BA2}?0.001，P{BA3}?0.2

9

及

X?220??0.8}??(?0.8)?1??(0.8)?0.2119 25X?220P{A2}?P{200?X?240}?P{?0.8??0.8}

25?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0.5762

X?220P{A3}?P{X?240}?1?P{X?240}?1?P{?0.8}

25?1??(0.8)?1?0.7881?0.2119 P{A1}?P{X?200}?P{于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率 P{B}?3?P{A}P{BA}

kkK?1?0.2119?0.1?0.5762?0.001?0.2119?0.2?0.0641462

而由贝叶斯公式可得 P{A1B}?P{A1}P{BA1}P{B}?0.2119?0.1?0.330339

0.06414620.5762?0.001?0.008983

0.06414620.2119?0.2?0.660678

0.0641462 P{A2B}?P{A2}P{BA2}P{B}P{A3}P{BA3}P{B}?P{A3B}??所以当电子元件损坏时，该电子元件处于X超过240伏的状况时的可能性最大。

18．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内利润的概率分布。

解 设X?{机器在一周内发生故障的次数}，Y?{一部机器在一周内的利润}，则

X~B(5,0.2)，并且有

P{X?k}?C50.20.8kk5?k(k?0,1,?,5)

依题设Y的取值（单位：万元）与X的关系如下表： 1 2 ?3 X 0 Y 于是

10 5 0 5 ?2 P{Y?10}?P{X?0}?0.8?0.32768，

10

P{Y?5}?P{X?1}?5?0.2?0.84?0.4096， P{Y?0}?P{X?2}?10?0.22?0.83?0.2048，

P{Y??2}?P{X?3}?10?0.23?0.82?5?0.24?0.8?0.25?0.05792

故所求概率分布为 0 Y ?2 5 10 0.2048 0.4096 0.32768 11?2X 19．设随机变量X服从参数为的指数分布，即X~E()，证明：Y?1?e在

22P 区间（0，1）上服从均匀分布。

证明 已知

0.05792 ?2e?2x,x?0 fX(x)??

0,x?0?则 于是

1）若y?1即1?y?0时，恒有e?2X?1?y，因此这时有 FY(y)?1

1?ln(1?y)1fX(x)dx 而当y?1时，有 FY(y)?P{X??ln(1?y)}??2??2FY(y)?P{Y?y}?P{1?e?2X?y}?P{e?2X?1?y}

2）若0?y?1，则有? FY(y)?1ln(1?y)?0，从而 21?ln(1?y)20?0??fX(x)dx??fX(x)dx??1?ln(1?y)202e?2xdx?1?eln(1?y)?y

3）若y?0，则有?1ln(1?y)?0，从而 2 FY(y)??1?ln(1?y)2??fX(x)dx??1?ln(1?y)2??0dx?0

?1,0?x?1,?所以 fY(Y)?FY(y)?? 0,其他.?即Y?1?e

?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。

11

20．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列。

解 由题设可知X~B(3,)，且X的所有可能的取值为0，1，2，3。依二项概率公式

25X的分布列为

P{X?k}?C3()(1?)经计算得

P{X?0}?k25k253?k(k?0,1,2,3)

2754368，P{X?1}?，P{X?2}?，P{X?3}? 12512512512521．某厂生产的螺栓中次品占1%，该厂将10只螺栓装成一包出售，并保证当某包内

的次品数多于一只即可退货，假定每出售一包获利0.5元，；退货一包亏本0.1元。求：

（1）螺栓被退货的比例多大？

（2）该厂每生产一包螺栓（获利数额）的分布列。

解 已知螺栓次品占1%，即每只螺栓为次品的概率为0.01。“将10只螺栓装成一包”可看成“从生产的螺栓中随机地取10只装成一包”。因此若设X?{一包螺栓中的次品数}，由于螺栓个体之间是相互独立的，则X~B(10,0.01)，并且有

kP{X?k}?C100.01k?0.9910?k(k?0,1,?,10)

螺栓被退货的比例即每包螺栓被退货的概率，依题设就是

P{X?1}?1?P{X?1}?1?0.99?10?0.01?0.99?0.427% ?1?1.09?0.99

其次，设Y?{每生产一包螺栓的获利数额}，依题设有Y?0.5或?0.1，所求分布列为

9109P{Y??0.1}?P{X?1}?1?1.09?0.999 P{Y?0.5}?P{X?1}?1.09?0.999

22．装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量X服从正态分布N(0.05,0.05)，而钢珠直径Y是

2X的线性函数Y?2X?1。已知用直径小于0.972、介于0.972和1.228之间，以及大于

1.228的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为0.12,0.80和0.08，试求：

（1）随机变量Y的分布密度；

（2）用这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。

解 因为Y是X的线性函数，所以Y也服从正态分布，设Y~N(?,?)，则

12

2 ??2?0.05?1?1.1,??2?0.05?0.1 于是Y~N(1.1,0.12)，而Y的分布密度则为

1fY(y)?e2??0.1?(y?1.1)22?0.1210?50(y?1.1)2 ?e2?设A?{任取一个钢珠装配成合格笔尖}，则所求概率为P{A}。因为已知有

P{AY?0.972}?0.12，P{A0.972?Y?1.228}?0.80，P{AY?1.228}?0.08

且

P{Y?0.972}?P{2X?1?0.972}?P{X??0.014}?P{X?0.05??1.28}

0.05??(?1.28)?1??(1.28)?1?0.9?0.1

P{0.972?Y?1.228}?P{0.972?2X?1?1.228}?P{?0.014?X?0.114}

?P{?1.28?X?0.05?1.28}?2?(1.28)?1?2?0.9?1?0.8 0.05P{Y?1.228}?P{2X?1?1.228}?P{X?0.114}?1?P{X?0.114}

?1?P{所以

P{A}?P{Y?0.972}P{AY?0.972}

X?0.05?1.28}?1??(1.28)?1?0.9?0.1 0.05?P{0.972?Y?1.228}P{A0.972?Y?1.228}

?P{Y?1.228}P{AY?1.228}

?0.1?0.12?0.8?0.80?0.1?0.08?0.66

23．在5件产品中，正品占2件，次品占3件。今从中一件一件地取出来检验，检验完不放回，直到把三件次品都找到为止。记X为3件次品都找到时已经做的检验次数。求：

（1）X的分布列；

（2）检验次数不少于4次的概率。

解 依题设X的所有可能的取值为3，4，5。由古典概型可得X的分布列：

3113223A3C3A2A33C4A2A331 P{X?3}，?3?，P{X?4}??P{X?5}?? 5A510A5410A55 13

5（关于P{X?5}的计算：这时5件产品都做了检验，因此基本事件数为n?A5。而从含

{X?5}的事件数考虑：前4次检验中一定有2件正品，而2件正品在前4次检验中的排列

22223法有C4A2种。再考虑到其余3件次品的全排列，则含{X?5}的事件数为m?C4A2A3。

类似地可得出P{X?4}的计算法）。

检验次数不少于4次的概率为

P{X?4}?P{X?5}?339?? 1051024．某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命X（以小时计）具有如下的概率密

?1000,x?1000?度f(x)??x2。寿命高于2000小时，介于1250~2000小时，以及低于1250

??0,x?1000小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音

机，成为合格品的概率依次为0.9，0.8和0.5。试求：

（1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率； （2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；

（3）假设销售一只一等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。

解 设A1,A2,A3分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件，B表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件，Y表示销售任取的一只电子管可获的利润

（1）所求概率分别为

1000dx?0.5 ?20002000x2200020001000f(x)dx??dx?0.3 P{A2}?P{1250?X?2000}??212501250x125011000250f(x)dx??dx?0.2 P{A3}?P{X?1250}??01000x2 P{A1}?P{X?2000}???f(x)dx????（2）应用全概率公式，所求概率为

P{B}??P{Ak}P{BAk}?0.5?0.9?0.3?0.8?0.2?0.5?0.79

k?13（3）Y的分布列为

P{Y??3}?P{3A}?0.，2P{Y?4}?P{A2}?0.3，P{Y?6}?P{A1}?0.5

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25．测量某工件的随机误差X~N(0,102)，求在100次独立测量中至少3次测量误差绝对值大于19.6的概率。

解 设Y表示100次独立测量中事件{X?19.6}发生的次数。因为一次测量中 p?P{X?19.6}?1?P{X?19.6}?1?P{?19.6?X?19.6}

?1?P{?1.96?X10?1.96}?2?2?(1.96)?2?2?0.9750?0.05 所以Y~B(100,p?0.05)，于是所求的概率为

2 P{Y?3}?1?P{Y?3}?1??Ckkk100p(1?p)100?

k?026．若连续型随机变量X具有概率密度f(x)，求下列各随机变量的概率密度：（1）Y?X3；（2）Y?3X?1；（3）Y??3X?2。

解 （1）因为

F3Y(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y}??33y??f(x)dx所以 f1Y(y)?FY?(y)?333y2f(y)

（2）因为

FY(y)?P{Y?y}?P{3X?1?y}?P{X?y?13} y?1 ??3??f(x)dx

所以 fY(y)?FY?(y)?1y?3f(13) （3）因为

Fy)?P{Y?y}?P{?3X?2?y}?P{X?2?yY(3} ?1?P{X?2?y2?y

3}?1??3??f(x)dx

所以 fY(y)?FY?(y)?13f(2?y3)

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