高等数学作业集答案第八章

第八章 空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算 1.填空题

（1）点(1,1,1)关于xoy面对称的点为（(1,1,?1)），关于yoz面对称的点为（(?1,1,1)），关于xoz面对称的点为（(1,?1,1)）.

（2）点(2,?1,2)关于x轴对称的点为（(2,1,?2)），关于y轴对称的点为（(?2,?1,?2)），关于z轴对称的点为（(?2,1,2)），关于坐标原点对称的点为（(?2,1,?2)）.

2. 已知两点M1(1,1,1)和M2(2,2,1)，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

解：因为M1M2?(1,1,0)，故|M1M2|?2，方向余弦为cos??22，

cos??2，cos??0，方向角为???24，???4， ???2.

3. 在yoz平面上，求与A(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距离的点. 解：设该点为(0,y,z)，则

1?(y?1)2?(z?1)2?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，

即??1?(z?1)2?4?(z?2)2?，?z?3??4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2解得??y?3，则该点

为(0,3,3).

4. 求平行于向量a?2i?3j?4k的单位向量的分解式.

解：所求的向量有两个，一个与a同向，一个与a反向. 因为

|a|?22?32?(?4)2?29，所以ea??129(2i?3j?4k).

5.设m?i?2j?2k，n?2i?j?k，求向量a?4m?n在各坐标轴上的投影及分向量.

解：因为a?4m?n?4(i?2j?2k)?(2i?j?k)?6i?9j?7k， 所以在x轴上的投影为ax?6，分向量为axi?6i，y轴上的投影为

ay?9，分向量为ayj?9j，z轴上的投影为az??7，分向量为

azk??7k.

6. 在yOz平面上，求与A(1,2,1)、B(2,1,0)和C(1,?1,1)等距离的点.

解：设所求的点为P(0,y,z)，由|AM|?|BM|?|CM|可得

??12?(y?2)2?(z?1)2?22?(y?1)2?z2?，解之得1?，z?1?(y?1)?(z?1)z?22?(y?1)2?2222y?2?0故所求的点为(0,12,0).

7. 已知点B(1,?2,6)且向量AB在x轴、y轴和z轴上的投影分别为?4,4,1，求点A的坐标.

解：设点A的坐标为(x,y,z)，由题意可知(1?x,?2?y,6?z)?(?4,4,1)，则x?5,y??6,z?5，即点A的坐标为(5,?6,5).

8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角

形必与原三角形有相同的重心.

证明：若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)是一个?FGH的三个

顶

点，设

三角形的重心为E，则

E?1(A?B?C)?133(x1?x2?x3,y1?y2?y3,z1?z2?z3)

设?ABC的同比mn之分点分别为F、G、H，分点的坐标为

F(nx1?mx2ny1?my2nz1?mz2n?m,n?m,n?m)

G(nx2?mx32?mz3n?m,ny2?my3n?m,nzn?m)

H(nx3?mx1ny3?my1nzn?m,n?m,3?mz1n?m)

则三角形?FGH的重心为

1nx1?mx2?mx3nx3?mx13(F?G?H)?(n?m?nx2n?m?n?m,ny1?my22?my3ny3?my1nz1?mz2nz2?mz3nz3?mz1n?m?nyn?m?n?m,n?m?n?m?n?m)?13(x1?x2?x3,y1?y2?y3,z1?z2?z3).

所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.

§8.2 数量积 向量积

?1.若|a|?3,|b|?4,(a,b)??3，求c?3a?2b的模.

解：|c|2?(3a?2b)?(3a?2b)?3a?3a?2b?3a?3a?2b?2b?2b

?9|a|2?12a?b?4|b|2?9?32?12?3?4?cos?23?4?4?73

所以|c|?73.

2.已知|a?b|?|a?b|，证明：a?b?0.

证明：由|a?b|?|a?b|，可得|a?b|2?|a?b|2，可知

(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)，展开可得

|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2a?b，即4a?b?0，故a?b?0.

3.已知|a|?10,|b|?18,|a?b|?20，求|a?b|. 解：因为

400?|a?b|2?(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2?2a?b?100?324?2a?b

所以2a?b??24，|a?b|?(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2?2a?b

?100?324?24?87.

4.已知a?(1,2,4)，b?(3,?3,3)，求a与b的夹角及a在b上的投影.

解：a?b?1?3?2?(?3)?4?3?9，

cos??91?4?16?9??79?97，??arccos77.

因为

a?b?|b|Prjba，所以Prjba?933?3.

5.已知a,b,c为单位向量，且满足a?b?c?0，计算a?b?b?c?c?a. 解：因为(a?b?c)?(a?b?c)?0，所以

|a|2?|b|2?|c|2?2a?b?2b?c?2c?a?0，

而|a|2?|b|2?|c|2?1，所以a?b?b?c?c?a??32.

6.求与a?i?2j?k,b?2i?j?3k都垂直的单位向量. 解：

ijkc?a?b?121?21113k21?31?3i?2?3j?1221k??7i?5j?而|c|?(?7)2?52?(?3)2?83，所以ec??183(?7,5,?3).

7.设AB?a?5b,BC??6a?18b,CD?8(a?b)，试证A、B、D三

点共线.

证明：只需证明AB//BD.

因为BD?BC?CD?2a?10b?2(a?5b)?2AB，所以AB//BD.

8.已知a?(1,?2,3)，b?(2,m,0)，c?(9,?3,9) （1）确定m的值，使得a?b与c平行.

（2）确定m的值，使得a?b与c垂直.

解：（1）要使a?b与c平行，只需(a?b)?c?0，因为

a?b?(3,m?2,3)，而

ijk(a?b)?c?3m?23?(9m?9,0,9?9m)， 9?39所以当m?1时a?b与c平行.

（2）要使a?b与c垂直，只需(a?b)?c?0，因为a?b?(?1,?m?2,3)，而(a?b)?c?(?1,?m?2,3)?(9,?3,9)??9?3m?6?27?3m?24，所以当m??8时，a?b与c垂直.

§8.3 曲面及其方程 1.填空题

（1）将xOz坐标面上的抛物线z2?4x绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（z2?y2?4x），绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（z2?4x2?y2）.

（2）以点(2,?3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为

（(x?2)2?(y?3)2?(z?2)2?17）.

（3）将xOy坐标面的圆x2?y2?4绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面

的方程为（x2?y2?z2?4）.

2.求与点A(1,2,1)与点B(1,0,2)之比为1:2的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.

解：设动点为P(x,y,z)，由于|PA|:|PB|?1:2，所以

2(x?1)2?(y?2)2?(z?1)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?2)2，解之，

可得

3x2?3y2?3z2?6x?16y?4z?19?0，

即

(x?1)2?(y?8)2?(z?222033)?9，所以所求的动点的轨迹为以点

(1,83,23)为心，半径为253的球面. 3.求与点(2,1,3)和点(4,2,4)等距离的动点的轨迹. 解：设动点为P(x,y,z)，由题意知

(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?(x?4)2?(y?2)2?(z?4)2，

整理得2x?y?z?11?0.

4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）16x2?9y2?9z2??25. 解：该曲面为单叶双曲面. （2）16x2?9y2?9z2?25. 解：该曲面为双叶双曲面. 2（3）

x?y2214?z25?.

解：该曲面为旋转椭球面. （4）x2?y2?9x. 解：该曲面为双曲柱面. （5）y2?z2?9x. 解：该曲面为椭圆抛物面.

（6）4(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?0. 解：该曲面为椭圆锥面.

§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题

（1）二元一次方程组y?2x?1???y?4x?3在平面解析几何中表示的图形是（两相

交直线的交点(2,5)）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z轴且过点(2,5,0)）.

（2）旋转抛物面z?x2?y2(0?z?2)在xOy面上的投影为

?z?x2?y2（?），在xOz面上的投影为（x2?z?2，在yOz面上的投?z?2）

影为（y2?z?2）.

2.求球面x2?y2?z2?4与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程.

解：将z?1?x代入x2?y2?z2?4，得x2?y2?(1?x)2?4，因此

投影方程为?z?0??2x2?2x?y2?3.

3.分别求母线平行于x轴、y轴及z轴且通过曲线??x2?2y2?z2?4???x2的

?y2?2z2?0柱面方程.

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