四川省达州市2013年中考数学试卷(解析版2)

四川省达州市2013年中考数学试卷

一．选择题：（本题10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2013?达州）﹣2013的绝对值是（ ） A．2 013

考点： 绝对值 分析： 根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 解答： 解：﹣2013的绝对值是2013． 故选A． 点评： 本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）（2013?达州）某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元．这一数据用科学记数法表示为（ ） A．2 13×103元

考点： 科学记数法—表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：将二十一万三千元用科学记数法表示为2.13×105． 故选C． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2013?达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

B． 2.13×104元 C． 2.13×105元 D． 0.213×106元 B． ﹣2013 C． D．

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）（2013?达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ） A．甲

考点： 列代数式 分析： 设商品原价为x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案． 解答： 解：设商品原价为x， 甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x； 乙超市售价为：x（1﹣15%）=0.7225x； 丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x； 故到丙超市合算． 故选C． 点评： 本题考查了列代数式的知识，解答本题的关键是表示出三家超市降价后的售价，难度一般． 2B． 乙 C． 丙 D． 一样

5．（3分）（2013?达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）

A．（ 3）（1）（4）（2）B． （3）（2）（1）（4）C． （3） （4）（1）（2）D． （2）（4）（1）（3）

考点： 平行投影 分析： 根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 解答： 解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2）， ∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）． 故选：C． 点评： 本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．

6．（3分）（2013?达州）若方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A．

考点： 根的判别式；在数轴上表示不等式的解集 分析： 首先根据题意可得△＞0，代入相应的数可得∴（﹣6）2﹣4×3×m＞0，再解不等式即可． 解答： 解：∵方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴（﹣6）2﹣4×3×m＞0， B． C． D．

解得：m＜3， 在数轴上表示为：故选：B． 点评： 此题主要考查了根的判别式，以及解一元一次不等式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

7．（3分）（2013?达州）下列说法正确的是（ ） A． 一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 ， B． 为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C． 一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1 D． 若甲组数据的方差

考点： 概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差 分析： 根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断即可． 解答： A、一个游戏中奖的概率是误，故本选项错误； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故本选项错误； C、这组数据的众数是1，中位数是1，故本选项正确； D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误； 故选C． 点评： 本题考查了概率、方差、众数、中位数等知识，属于基础题，掌握各知识点是解题的关键．

，则做100次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定

8．（3分）（2013?达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=则这段弯路的长度为（ ）

米，

A．2 00π米

考点： 垂径定理的应用；勾股定理；弧长的计算 分析： 设这段弯路的半径为R米，OF=米，由垂径定理得CF=CD=×600=300．由B． 100π米 C． 400π米 D． 300π米 勾股定理可得OC2=CF2+OF2，解得R的值，进而得出这段弧所对圆心角，求出弧长即可． 解答： 解：设这段弯路的半径为R米 OF=∵OE⊥CD ∴CF=CD=×600=300 根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（300解之，得R=600， ∴sin∠COF==， ）2 米， ∴∠COF=30°， ∴这段弯路的长度为：故选：A． =200π（m）． 点评： 此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键．

9．（3分）（2013?达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是（ ）

A．2

考点： 平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离 分析： 由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4， ∴AC==5． B． 3 C． 4 D． 5 ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD=OE，OA=OC=2.5． ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC． ∴OD=AB=1.5， ∴ED=2OD=3． 故选B． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．

10．（3分）（2013?达州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）

与一次函

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象 分析： 首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 解答： 解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数y=cx+a在第一、三、四象限， 故选：B． 点评： 此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的正负．

二．填空题：（本题6个小题，每小题3分，共18分．把最后答案直接填在题中的横线上） 11．（3分）（2013?达州）分解因式：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用 分析： 先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 解答： 解：x3﹣9x， =x（x2﹣9）， =x（x+3）（x﹣3）． 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．

12．（3分）（2013?达州）某校在今年“五?四”开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解八年级450名学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于3册的约有 153 名．

考点： 扇形统计图 分析： 首先根据扇形统计图求出样本中读书册数等于3册所占的百分比即m%的值，再利用样本估计总体的思想，用450乘以m%即可求出该校八年级学生读书册数等于3册的人数． 解答： 解：由扇形统计图可知，样本中读书册数等于3册所占的百分比为：1﹣6%﹣24%﹣30%﹣6%=34%，即m%=34%， 所以该校八年级学生读书册数等于3册的约有：450×34%=153（名）． 故答案为153． 点评： 本题考查了扇形统计图及用样本估计总体的思想，从统计图中正确地获取信息是解题的关键．

13．（3分）（2013?达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数y=图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为 ﹣1 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征 专题： 开放型． 分析： 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数图象的特点解答即可． 解答： 解：∵x1＜x2＜0， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）同象限，y1＜y2， ∴点A，B都在第四象限， ∴k＜0，例如k=﹣1等． 点评： 本题考查了反比例函数图象的性质和增减性，难度比较大．

14．（3分）（2013?达州）如果实数x满足x2+2x﹣3=0，那么代数式为 5 ． 考点： 专题： 分析： 分式的化简求值． 探究型． 的值

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x﹣3=0求出x+2x的值，代入原式进行计算即可． 2解答： 解：原式==x+2x+2， 2×（x+1） ∵实数x满足x2+2x﹣3=0， ∴x2+2x=3， ∴原式=3+2=5． 故答案为：5． 点评：

15．（3分）（2013?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10．设AE=x，则x的取值范围是 2≤x≤6 ．

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 设折痕为PQ，点P在AB边上，点Q在BC边上．分别利用当点P与点A重合时，以及当点Q与点C重合时，求出AE的极值进而得出答案． 解答： 解：设折痕为PQ，点P在AB边上，点Q在BC边上． 如图1，当点Q与点C重合时，根据翻折对称性可得 EC=BC=10， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即102=（10﹣AE）2+62， 解得：AE=2，即x=2．

如图2，当点P与点A重合时，根据翻折对称性可得 AE=AB=6，即x=6； 所以，x的取值范围是2≤x≤6． 故答案是：2≤x≤6． 点评： 本题考查的是翻折变换（折叠问题），勾股定理．注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．

16．（3分）（2013?达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．

考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质 专题： 规律型． 分析： 利用角平分先性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2013=∠A=°． 解答： 解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC， 即∠ACD=∠A1+∠ABC，

∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD， ∴∠A=∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1=∠A， ∴∠A1=m°， ∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=… 以此类推∠A2013=故答案为：． ∠A=°． ∠A， 点评： 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．

三．解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2013?达州）计算：

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 探究型． 分析： 先根据0指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答： 解：原式=1+2=10+． ﹣+9 ．

点评： 本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、负整数指数幂的计算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

18．（7分）（2013?达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土．中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．如图，E、F为钓鱼岛东西两端．某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=

海里，在A点测得钓鱼岛最西端

F在点A的北偏东30°方向；航行22海里后到达B点，测得最东端E在点B的东北方向（C、

F、E在同一直线上）．求钓鱼岛东西两端的距离．（0.1）

，，结果精确到

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题 分析： 首先根据已知得出∠CAF=30°，FC=20AC，BC，以及EF长度即可． 解答： 解：由题意可得出： ∵∠CAF=30°，FC=20∴AC=海里，AB=22海里，∠CBE=45°， 海里，AB=22海里，∠CBE=45°，进而得出=60（海里）， ∴BC=EC=60﹣22=38（海里）， ∴EF=38﹣20≈3.4（海里）． 答：钓鱼岛东西两端的距离约为3.4海里． 点评： 此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出BC=EC是解题关键．

19．（7分）（2013?达州）已知f（x）==

，则f（1）=

f（2）

，求n的值．

…，已知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=

考点： 分式的加减法；解分式方程 分析： 把f（x）裂项为﹣解答： 解：∵f（x）=，然后进行计算即可得解． =﹣，

∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1﹣+﹣+﹣+…+﹣∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=∴1﹣=， ， =1﹣， 解得n=14． 点评： 本题考查了分式的加减，把f（x）进行裂项是解题的关键，也是本题的难点．

20．（7分）（2013?达州）某中学举行“中国梦?我的梦”演讲比赛．志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张．如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽．这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明．

考点： 游戏公平性；整式的混合运算；列表法与树状图法． 分析： 首先判断运算正确的卡片的数量，再利用树状图表示出所有可能，然后利用概率的公式求解即可． 解答： 解：由题意可画树状图得： ∵四张卡片中B和D正确，两张都正确的只有2种情况，两张卡片上的算式都错误的只有AC，CA两种情况， ∴班长去的概率为：故此游戏公平． 点评： 本题考查了游戏公平性以及概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

=，学习委员去的概率为：=．

21．（8分）（2013?达州）已知反比例函数1，a）、B（，﹣3）两点，连结AO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；

的图象与一次函数y=k2x+m的图象交于A（﹣

（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： （1）将点A（﹣1，a）、B（，﹣3）代入反比例函数中得：﹣3×=（﹣1）×a=k1，可求k1、a；再将点A（﹣1，a）、B（，﹣3）代入y2=k2x+m中，列方程组求k2、m即可； （2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标． 解答： 解：（1）∵反比例函数∴k1=3××（﹣3）=﹣3， ∵反比例函数∴a=1． 由直线y2=k2x+m过点A，B得： 的图象经过点A（﹣1，a）， 的图象经过B（，﹣3）， ， 解得． ∴反比例函数关系式为y=﹣，一次函数关系式为y=﹣3x﹣2；

（2）点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，点C的坐标为：（0，﹣（0，）或（0，2）或（0，1）． ）或 如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个； 以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个； 以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个． 以上四个点为所求． 点评： 此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、等腰三角形的性质等知识，注意分类思想的运用．

22．（8分）（2013?达州）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如

①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2； ②选取二次项和常数项配方：

③选取一次项和常数项配方：根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方； （2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值． 考点： 配方法的应用 分析： （1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．

，或

（2）根据配方法的步骤把x+y+xy﹣3y+3=0变形为（x+y）+（y﹣2）=0，再根据x+y，=0，y﹣2=0，求出x，y的值，即可得出答案． 解答： 解：（1）x2﹣8x+4 =x﹣8x+16﹣16+4 =（x﹣4）2﹣12； x2﹣8x+4 =（x﹣2）+4x﹣8x =（x﹣2）﹣4x； （2）x2+y2+xy﹣3y+3=0， （x+y）2+（y﹣2）2=0， x+y=0，y﹣2=0， x=﹣1，y=2， 则x=（﹣1）=1； 点评： 本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键，是一道基础题．

23．（8分）（2013?达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．

y22222222

（1）小华的问题解答： 当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润 ；

（2）小明的问题解答： 800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大 ．

考点： 二次函数的应用 分析： （1）设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合x的取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可； （2）根据（1）中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可． 解答： 解：（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为：（500﹣由题意得，y=（x﹣2）（500﹣=﹣100x2+1000x﹣1600 =﹣100（x﹣5）2+900， 当y=800时， ﹣100（x﹣5）+900=800， 解得：x=4或x=6， ∵售价不能超过进价的240%， ∴x≤2×240%， 即x≤4.8， 故x=4， 即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润； （2）由（1）得y=﹣100（x﹣5）+900， ∵﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，且对称轴为x=5， ∵x≤4.8， 故当x=4.8时函数能取最大值， 即ymax=﹣100（4.8﹣5）2+900=896． 故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大． 点评： 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值．

22×10）， ×10）

24．（9分）（2013?达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理 ∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．

根据 SAS ，易证△AFG≌ △AEF ，得EF=BE+DF． （2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D=180° 时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 考点： 几何变换综合题 分析： （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF； （2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同； （3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；

解答： 解：（1）∵AB=CD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， 在△AFG和△AEF中∴△AFG≌△AEF（SAS）， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF． （2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF； ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， 在△AFG和△AEF中∴△AFG≌△AEF（SAS）， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF． （3）猜想：DE2=BD2+EC2， 证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′， ， ，

∴△AEC≌△ABE′， ∴BE′=EC，AE′=AE， ∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB， 在Rt△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABC+∠ABE′=90°， 即∠E′BD=90°， ∴E′B2+BD2=E′D2， 又∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°， ∴∠E′AB+∠BAD=45°， 即∠E′AD=45°， 在△AE′D和△AED中， ∴△AE′D≌△AED（SAS）， ∴DE=DE′， ∴DE2=BD2+EC2． 点评： 此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．

25．（12分）（2013?达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．

（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论； （2）根据条件可以得出△ACO∽△AOB而求出，从而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标； （3）根据S△PDM=S△ADM﹣S△APM而求出其值就可以表示出S△QAM的大小，设Q的坐标为m，根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论． 解答： （1）证明：连接CM， ∵AO是直径，M是圆心， ∴CM=OM，∠ACO=90°， ∴∠MOC=∠MCO． ∵D为OB的中点，

∴CD=OD， ∴∠DOC=∠DCO． ∵∠DOC+∠MOC=90°， ∴∠DCO+∠MCO=90°， 即∠MCD=90°， ∴CD是⊙M的切线； （2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB， ∴△ACO∽△AOB， ∴∴∴AB=， ， ． 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 BO=， ∵D为OB的中点， ∴OD=OB=∴D（0，， ）． ∵OM=AM=OA=， ∴M（，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣）（x﹣5），由题意，得 =a（0﹣）（0﹣5）， 解得：a=， （x﹣）（x﹣5）， ∴抛物线的解析式为：y==（x﹣）2﹣． 连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ，

解得：， ∴直线AD的解析式为：y=﹣x+， 当x=时， y=， ∴P（，）； （3）解：存在． ∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM， ∴S△PDM=××﹣××， =， ∴S△QAM==． 设Q的坐标为m，由题意，得 ， ∴|m|=， ∴m=±， 当m=时， =（x﹣）2﹣． x1=，x2=， 当m=﹣时， ﹣=（x﹣）2﹣． x=． ∴Q（，），（，），（，﹣）．

点评： 本题考查圆周角定理的运用，勾股定理的运用，圆的切线的判定定理的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称性质的运用，解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键．

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