欧阳露莎老师，线性代数考研复习，第一次课滴课件，彭喆上传……

第二讲 矩阵与运算

一、概念

1.【矩阵定义】由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成

??a11a12?a1n?的m行n列的数表A??a21a22?a?2n????????称为m?n矩阵.

?am1am2?a?mn?2.特殊矩阵：

???1?对角阵 ?＝???2????? ?diag(?1,?2,?,?n).

???n???a??数量矩阵(纯量矩阵) ?a??????aE . ?a????a11?下三角矩阵?a21a?22???????. ?an1an2?a?nn???a11a21?a1n?上三角矩阵?a?a?222n??????.

?a?nn?

1

3.矩阵的运算

（1）加（减）法：Cm?n?An?n?Bn?n?(aij?bij)m?n?(cij)m?n. 运算律：交换律、结合律成立. （2）数乘：?Am?n?(?aij)m?n..

运算律：设?,?为数,则①(??)A??(?A); ②(???)A??A??A;③?(A?B)??A??B. （3）乘法：C?Am?sBs?n?cij??m?ns

cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj,(i?1,2,?m;j?1,2,?,n).

k?1运算律：①A(B?C)?AB?AC, (A?B)C?AC?BC； （矩阵乘法的左右分配律）

②?(AB)?(?A)B?A(?B) (其中?为数)； （即数与矩阵相乘可以移动数的位置） ③(AB)C?A(BC)；（结合律） ④

Am?nEn?EmAm?n?Am?n,

注意：矩阵的乘法不满足（1）交换律.（2）消去律. (4) 矩阵的乘方（对于方阵才谈幂）

AkAl?Ak?l, (Ak)l?Aklk,l为正整数.

规定A?E.特别地 E0n?E.

(?En)An??An?An(?En).（纯量矩阵为可交换矩阵）

2

注意：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地

k?AB?k?AkBk，

kk但当A与B可交换时，一定有?AB??AB.

（5）转置矩阵A的性质 ①(AT)T?A; ②(A?B)TT?AT?BT; ③(?A)T??(AT); ④

(AB)T?BTAT⑤ET?E，⑥(?E)T??E⑦?T??.

（6）方阵的行列式性质：设A,B为n阶方阵,则 ①AT?A；②?A??nA；③AB?AB?BA.

则AA1,A2,?An均为n阶方阵，1?A2???An?A1A2?An. ④

E?1. ⑤

An?ATn.

（7）对称阵与反对称矩阵： 对称矩阵：满足A?A的方阵，即aij?aji?i,j?1,2,?,n?.

?12?30???21?72?为对称矩阵. 如 A????3?756???026?4??说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 反对称矩阵：满足条件 AT??A的矩阵，即

??aij??aji(i,j?1,2,?n,i?j). ?a?0(i,j?1,2,?n,i?j)??ij 3

?0?2?3?207如 A???3?70??0?2?60??2?为反对称矩阵. 6??0?1(A?AT)为对称阵； 2对于任意n阶方阵A，则H?S?1(A?AT)为反对称矩阵. 2（8）伴随矩阵：设A?(aij)n?n，则行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵

?A11?A12??A?????A1nA21?A22?A2nAn1???An2?称为矩阵A?(aij)n?n的伴随矩阵，

?????Ann? 其中Aij为aij的代数余子式.

?ab??d?b??结论：设 A??，则A????

cd????ca?伴随矩阵的重要性质：AA（10）结论：设?(x)?a0??A?A?AE.

?a1x???amxm，A为n阶方阵，

m则?(A)?a0E?a1A???amA为A的m次多项式. 若??diag(?1,?1,?,?n)，则

4

??(?1)????(?)2?. ?(?)????????(?)n??说明: ①对于矩阵A的两个多项式g(A),f(A)，总有

g(A)?f(A)?f(A)?g(A) .

②若A?P?P，则A?P?P?1nn?1，f(A)?Pf(?)P.

?1k③若??diag(?1,?2,?,?n)，则?k?diag(?1k,?2,?,?nk)；

?f(?1)?f(?)?????f(?2)???? ??f(?n)??diag(f(?1),f(?2),?,f(?n))?a0?a1??a2?2???am?m.

（11）可逆矩阵：当A?0时,A称为非奇异矩阵(可逆矩阵),当

A?0时,A称为奇异矩阵(不可逆矩阵).

?1【定理】A可逆?A?0，此时A?1?A. A性质：①若AB?E或?BA?E? ? B?A?1. ②若A可逆 ? A可逆,且(A)?1?1?1?A.

1③若A可逆,??0 ? ?A可逆,且(?A)?1?

?A?1.

5

④若A,B为同阶方阵且均可逆 ? AB可逆且(AB)?1?B?1A?1. 结论 (A1A2?An)?1?1?1?1?An?A2A1.

T?1?1T⑤若A可逆 ? A可逆, (A)?(A).

T⑥若A可逆 ? A?1?A.

⑦A?k?(A?1)k,(k为正整数,A可逆).E ⑧ A?A?n?1?1?1?E.

1A（A可A,(A)?(A),(A)?TT???1?(A?1)??逆）.

（12）矩阵的分块：以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.注意：分块时，横线与纵线要贯穿始终.矩阵的分块不一定惟一.当子块满足相关的运算条件时，可对分块矩阵作矩阵的相关运算.注意分块矩阵的同行子块行数相同，同列子块列数相等.

TT?A11??As1??注意：分块矩阵的转置 AT?????.

?AT?AT?sr??1r注：哈达玛矩阵H,H?E，哈达玛矩阵一定可逆，且H2?1?H.

?A1?分块对角矩阵：方阵A?????是方阵. 重要性质

①A?A1A2?As.

A2???，其中Ai?i?1,2,?,s?都???As?6

②设A与B是同结构的分块对角矩阵, 则

?A1??B1??A1B1???????ABAB??????. 2222AB??????????????A?s???????Bs?????n?A1??An1?③An??A??2An?2????????????? ?As???An?s??④若Ai可逆,?i?1,2,?,s?,则A可逆, 且

?A?1?1??A?1??A?12?????. ??A?1?s?????1???⑤设A??2?????且A?0，则 ???n?????1n???1?A?1??n?1?????. ????1?1??⑥设A,B为n阶可逆方阵，则

??1?1?AC??A?1?A?1CB?1??OB?????OB?1?,???AO??CB?????A?1??B?1CA?1

A?sBs??O?B?1?. ?7

<利用分块矩阵方程求逆矩阵>

?AC??X11???XOB???21X12??E1???X22??O?A?1O??AC????OB???E2????O?1?A?1CB?1??. ?1B?二、提问

1.（1993年）设?1,?2,?3,?1,?2均为四维列向量，且

det(?1,?2,?3,?1)?m，det(?1,?2,?2,?3)?n

求 det(?3,?2,?1,?1??2). 解 det(?3,?2,?1,?1??2)

?det(?3,?2,?1,?1)?det(?3,?2,?1,?2)?n?m. 2.对于方阵A、B，下列等式

(A?B)2?A2?2AB?B2,(A?B)(A?B)?A2?B2成立吗?若不

成立,请给出成立的条件. 3.(ABC)?? (ABC)T?1??

4.（2011年）设A是3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，

再交换B的第三行和第二行得单位矩阵E，记

?100??100?????P1??110?,P2??001?，则A?（ ）

?001??010?????(A)P1P2;(B)P1?1P2;(C)P2P1;(D)P2P1?1

提示：由P2AP1?E?A?P2P1 ?答案D 5.已知

?1A3?SB4?t?Cu?v?D3?5CTC，

8

则 s?4,u?3,t?v?5.

?1?00c???6.若abc?0且a.b.c?R,则?0b0??( )

?a00????0?（A）?0?a?1??0?(C) ?0?c?1?0b?100b?10c?1??0? (B) 0???a?1??0?0?0b?100c?100??0? c?1??b?1??0? 0???0a?1???0? (D)?0?a?10???7.设A,B,C,E为同阶方阵，E为单位矩阵且ABC?E，则下列结论不正确的是（ ）

（A）BCA?E;(B)ACB?E；（C）CAB?E;(D)BAC?E. 8.若A是（ ），则A必有A?A

（A）对角矩阵；（B）三角矩阵；（C）可逆矩阵；（D）纯量矩阵. 9.设A,B为n阶对称矩阵且B可逆，则下列矩阵中是对称矩阵的是（ ） （A）AB?1?1T?B?1A ; （B）AB?1?B?1A;

2（C）BAB; （D）(AB).

?1?1?1?1?110.设A,B,A?B,A?B均可逆，则(A?B)等于（ ）

?1?1（A）A?B;（B）A?B;（C）B(A?B)A; （D）(A?B).

?1?111.（2010.3.4）设A,B为3阶方阵，且A?3,B?2，

9

A?1?B?2，则A?B?1??

提示：A(A?1?B)B?1?(E?AB)B?1?A?B?1?

A?B?1?A(A?1?B)B?1?AA?1?BB?1?AA?1?BB?1?3.

11.(2005年)已知?1,?2是二维列向量，A?(2?1??2,?1??2)，

B?(?1,?2)，A?6，求B??

解 6?A?2?1??2,?1??2?3?1,?1??2

c1?3c2?c1c1?c2?3?1,??2??3B?B??2.

28.设 A,B都是三阶方阵，且A?2，B?3，则

?2(AT)(B?1)?1? .

答案：原式??8B(A)12.若A4?4??1T??8BA?1??12.

1??15,则3A?4A= .（答案：3） 313. 设A,B均为n阶可逆矩阵，0是n阶零矩阵，

?AT则 ?2??0n0?? . ?1?B?AAnnn(?2)(A)4;(B);(C)4AB;(D)(?2)AB.

BB

10

答案：(A).

14.（06.3.4）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满

??12?足BA?B?2E，则B? . 答案：

?11??11?B?2(A?E)?1?2??B?2????11?11????15.设?为三维列向量，?为?的转置，若

T?1?11?22??2.

2?1?11??，则?T??

??T???11?1????1?11??答案：设???a1,a2,a3?，则

2?a1?a1??????T??a2??a1,a2,a3???a2a1?a??aa?3??31Ta1a22a2a3a2a1a3??a2a3? 2?a3?222?T??a1?a2?a3?3.

16.（08．1．4）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）

3?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

11

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

分析：E?E?A3?(E?A)(E?A?A2)，

E?E?A3?(E?A)(E?A?A2)

故 E?A,E?均可逆. 解答：选?C? A17.矩阵C???A0??

?的伴随矩阵为C=（ ）

?0B??BB?0?;（B）???BB??0?BA?0??;（D）?BA???00?; ??AA?0??. AB???AA?（A）??0?AB?（C）??018.（09.3.4）设A、B均为二阶方阵，A?2,B?3，则分块矩

阵??0?BA??的伴随矩阵为（ ） 0??03B???（B）??0??3A?03A??（D）???0??3B2B??? 0?2A??? 0??0（A）???2A?0（C）???2B提示：

0B?0??BA?0?(?1)22?3?6?0??0?BA?0??0?B?A??可逆. 0?B?1?? 0?12

A?0?0?BA??0??6??10??A?1

?0?6??1?AA??B?1B???0????3A0???100001002B??? 0??0??019.(07.3.4)设矩阵A??0??0?【答案】1 .

0??0?3, 则A的秩为___________. 1??0???0??03依矩阵乘法知 A??0??0?2000000001??0?, 故 R(A3)?1 ?0?0??20.若A?A（幂等矩阵）且A不是单位矩阵，则A必为奇异矩阵.

A(A?1)?0??分析：A?A?A?A???A?0?A为

A?E?A?1??22奇异阵.推导方法正确吗？

证：假设A为非奇异阵，则A?A?AA?AA?A?E 此与题设A不是单位矩阵矛盾，假设不成立.故A必为奇异矩阵.

重要结论：非单位矩阵的幂等矩阵一定不可逆.

21.（05.3.4）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为 ( )

T*T*2?12?1(A)

31. (B) 3. (C) . (D)

333.

13

答案 [ A ]

【详解】 由A?A知aij?Aij,i,j?1,2,3， 其中Aij为aij的代数余子式，又有AA*?AE知

*TAAT?AE?A2?A?A?0或A?1

32而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，

从而 a11?3. 322.设矩阵A3?4,B3?5,C5?4,下列矩阵运算的式子中，有意义的是 （ C ） .

ATB?C； B.A?BCT ； C.A?BC； D.BC?AT.

23.下列命题一定成立的是（ ）

B?AC（A）若A,则B?C；（B）若AB?0，则A?0orB?0；

（C）若A?0,则A?0；（D）若A?0，则A?0. 24. 设A,B均为n阶方阵，下列结论一定成立的是（ ） （A）(AB)?AB;（B）(AB)?AB; （C）A?B?A?B;（D）AB?BA.

答案：（D）.

25. 设A均为n阶方阵，下列结论一定成立的是（ ）

2（A）A?0?A?0;（B）A?A?A?0orA?E;

2222TTT（C）A?A是对称矩阵;（D）AA是对称矩阵.

14

TT答案：（D）.

三、应用举例

例1 解矩阵方程

?4?8??xy??10??04?（1）??7?4???4??uv?????23?????78??

解 原方程可化为

4??xy??10?4??4?uv?????23?????0?78?????8??7?4?? ???x?2y3y?1??412??u?2v3v???4??012?? ???x?2y3y?u?2v3v??????13??03? ????x?2y??1利用矩阵相等定义得??u?2v?03y?3

???3v?3 ??xy??11 故??uv?????21??.

??21??32??01?（2）解矩阵方程 ?74??X??11??????23??.

21解 因为

74?1?0,3211?1?0， ?21??1?01??32??1所以 X???74?????23????11??

15

?4?1??01??1?2??1?1??????????? .

?72?23?13?35?????????101???nn?1例2（1999年）设A??020?n?2为正整数，求A?2A.

?101????101??101?????22解 A?020?2020?2A?A?2A?0

?????101??101?????故 A?2Ann?12?An?2(A2?2A)?0.

TT?11?n例3.(1994).已知???123?,???1求A. A???T，??23?提示：?T??3，

A2???T???T??(?T?)?T?3A?A3?32A???

1?1?2?1?????11?An?3n?1A?3n?1?2??1?3n?1?21??23??3??????33?2?1?3??2?. 3??1????2??448?????TT???2,2,42?24,???448??解 因为 ????，

?4??8816????? 16

??10???,求Ak. 例4 设A??0?1? ?00??????2??10???10??????2解 A??0?1??0?1???0?00???00???0????????32A?AA??0?0?22??201??2??. ?2??3???23?? ?3??2??201???10????2???0?1??00???2??????33?2???0?3?00??k???k由此归纳出 A??0?0??k?k?1?k0k?k?1?k?2???2?k?1k????k???k?2?

用数学归纳法证明

当k?2时，显然成立.

假设k?n时成立，则k?n?1时，

An?1?n???n?AA??0?0??n?n?1?n0n?n?1?n?2?????10?2???n?1n???0?1???00???n???? 17

???n?1?n?1??n?n?1?n?n?1?????0?n?1?2n?1??n???,?0? 0?n?1???所以对于任意的k都有

???kk?k?1k?k?1?k?2?2??Ak????0?kk?k?1????00?k????? ??10??010?另解：A???0?1????E???001??，

??00?????000???010?2且??001????001?000?????，?000????000???3?010??000?001??????000??(k?3)? ?000????000??利用二项式展开定理

(a?b)n?an?C1n?1C2n?22n?1nab?nab???Cnabn?1?bn

18

??10?k?010Ak???0?1???[?E????001??]k

??00?????000???010??010?2??kE?C1?k?1??001???C2k?2??kk??001? ??000????000???010?k ?????001???

?000???010??001???kE?C1k?1?2k?2??k??001??C???k?000??000????000?????kk?k?1k?k?1?k?2?2??????0?kk?k?1???k?2?

??00?k??????例5 设方阵A=?100??930???, ??57?2?? 求（1）2A*?10A?1 ，（2）?A???1

解 A??6?A可逆且A??AA?1??6A?1

19

（1）2A??10A?1??12A?1?10A?1

??2A?1???2?A（2）

3?1?4. 3?1?1?A???1??AA0?127?6?1?1????6A?

?1??6?13??A????26?5??6??0??0? ??1?3???10?7???例6 已知方阵 A??052?,

?00?1???计算（1）

?3?A?2E???1*??1?，A?2E????（2）?3???1*；

（3）B?(3(A?2E)*)*.

??10?7???解 (1) A?2E?032?A?2E?9?0 ???00?3????A?2E可逆，

?3?A?2E??1???3?A?2E??1?[3?A?2E??1]?1???33A?2E

?1?3?1?A?2E??A?2E???10?7???032???00?3???20

.

?30?7????2E?072(2) A???A?2E?21?0?A?2E可逆，

??001???1?1??3?A?2E?*????[13A?2E(A?2E)?1]?1 ?3A?2E?1?(A?2E)?11??307(A?2E)＝7???0（3）B?(3(A?2E)*)*

?(3A?2E(A?2E)?1)* ?[33(A?2E)?1]*

?33(A?2E)?1[33(A?2E)?1]?1

?(33)3A?2E?1?(33)?1(A?2E)

?81(A?2E)

??10?7?81???032???.

?00?3?? 0?7?72?01??. ?21

?2?1例7 设A???0??0解

320000100??0??A10???，求A2,A8,A?1 ?0??0A2??2??71200?????4700??2?A2??0010???0004??

?A12?712?2?10?2A???,A2????A???47??04??218A1?1,A2?2?A8?A?(A1?A2)8?28?256

?2?3??1A???,A2???12??11?1?A?A?1??1?01?20???2?01?

00??00?10?.

?1?0?2??2?3??120????00?1?A2????00???111??1?????例8 设P?102,??2????,AP?P?, ?11?1???3?????求 ?(A)?A?2A?3A.

32?11解【 P?111

02?11?12r3?r1?11102???6?0

2?20?222

展开c212?P?1 存在,】

??111100???(P,E)??102010?

?11?1001???r3?r1r1?r2?013110????102010???020101???r3?2?11?0031?r1?r3?22?????102010??11?0?010?22??11?r1?3?0011???636r2?2r1??111???100??333???11??0?010?22??r1?r3?100?111???333r2?r1??11??P可逆，且 ??0100?22???111????001636?????222?1??P?1??303??A?P?P－1??(A)?P?(?)P－1，

6???12?1?又??diag(1,2,?3)??(?)???2??3?

32?(1)?0,?(2)?10,?(?3)?0??(?)?diag(0,10,0)

23

?505???(A)?P?(?)P?1??000??.

?505???例9（1998.）设A,B满足A*BA?2BA?8E且

?110???A??0?20?，求B.

?001???解 利用A*A?AA*?AE将A*BA?2BA?8E两端左乘A得 ?2BA?2ABA?8A?BA?4A?ABA，

?110????1由于A??0?20?，所以A??2?0?A存在.

?001???方程两端右乘A得 (A??1E)B?4E,而

?210???A?E??0?10?,A?E??4?0，所以A?E可逆，

?002?????2?20???

且 (A?E)??040???00?2?????2?20?11???(A?E)?1?(A?E)????040?

A?E4???00?2? 24

?220???所以 B?4(A?E)?1E?0?40. ???002???例10 （同济P1,?2,1)，ABA?2BA?8E,求5617）设A?diag(?B.

提示：A?diag(1,?2,1)?A??2?A可逆且

AA??AE??2E

?AA?BA?2ABA?8A?BA?ABA?4A?B?AB?4E?

(E?A)B?4E?B?4(E?A)?1?diang(2,?4,2).

?例11（同济P,1,1,8)，ABA?BA?3E,5618）设A?diag(1?1?1求B.

提示：A?diag(1,?2,1)?A??2?A可逆且

AA??AE??2E

ABA?1?BA?1?3E?AB?B?3A?A?AB?A?B?3A?A?

(AE?A?)B?3AE?(2E?A?)B?6E

?B?6(2E?A?)?1?6[diang(1,1,1,6)]?1?diang(6,6,6,?1).

?111???AP?P?P?10?2例12（P）设，其中2056??，?1?11??? 25

??100??????010?，求 ?(A)?A8(5E?6A?A2).

?005???提示：

2?r1?111100?rr3?r1??(P,E)??10?2010?~?1?11001???r1?r2?10?2010???0131?10?? ?0?130?11???111??100??333r?60?3??10?201?r3?r2r2?3r311??~?0131?10?~?0100??

?22??0061?21?????111??0016?36?????(E,P?1)

?222?1???P?1??30?3?,AP?P??A?P?P?1,

6???1?21???diang(?1,1,5)??(?)?5?8?6?9??10?diang(12,0,0),

?(A)?A8(5E?6A?A2)?P?(?)P?1

?111??12??222??111?????1??????10?2??030?3?4111?6????. ?1?11?????111?0??????1?21???例13 证明 (A证明 (A

?1?1?B?1)?1?A(A?B)?1B?B(A?B)?1A.

?B?1)?A(A?B)?1B?(E?B?1A)(A?B)?1B

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?B?1(B?A)(A?B)?1B?B?1EB?E ?(A?1?B?1)?1?A(A?B)?1B;

同理可证 (A?1?B?1)?1?B(A?B)?1A.

例14 （1）对称矩阵A、B的乘积仍然为对称矩阵的充要条件为A与B是可交换矩阵；（2）反对称矩阵A、B的乘积仍然为反对称矩阵的充要条件AB?BA?0. 证明（1）因为A?A,B?B

TTAB为对称矩阵?AB?(AB)T?AB?BTAT

?AB?BA?A与B为可交换矩阵.

（2）因为A??A,B??B

TTAB为反对称矩阵?AB??(AB)?AB??BA

TTT?AB??BA?AB?BA?0.

例15证明：若n 阶矩阵A满足A逆，并求?A?E?.

32解 因为A?2A?3E?0?(A?E)?(?A?A?E)?E，

3?2A?3E?0，则有A?E可

?114 所以 A?E可逆，且?A?E??1?1(?A2?A?E). 4练习：（2001年）设方阵A满足A?12?A?4E，证明A?E可逆，

并求?A?E?.【也可用凑的方法：多项式的分组分解法】 例16设矩阵A,B都是反对称矩阵，试找出 3AB?7BA 也是反

27

对称矩阵的充分必要条件，并证明之. 证明：由于矩阵A,B都是反对称矩阵得A又(4AB?3BA)T?4BTAT?3ATBT

T??A,BT??B.

?4(?B)(?A)?3(?A)(?B)?4BA?3AB, 所以4AB?3BA为反对称矩阵

?(4AB?3BA)T??(4AB?3BA)

?4BA?3AB??(4AB?3BA)?AB?BA?0.

练习：设矩阵A,B都是反对称矩阵，试找出 3AB?7BA 是对称矩阵的充分必要条件，并证明之.

提示：3AB?7BA为对称矩阵?(3AB?7BA)?3AB?7BA

T?3BA?7AB?3AB?7BA)?AB?BA.

17.（1994）设A是n阶非零矩阵，且满足A?A，证明A?0.

?T提示：将A?A代入AA?AE?AA?AE.

?T?T假设A?0，则AA?0?A?0与题设矛盾，故A?0. （此题，还有其他证法吗？）

注意：A的列矩阵为A?(aij)m?n?(?1,?2,?,?n)，则

T??1T???1T?1?1T?2?T??TT?2?1?2?2?T??2?AA?(?1,?2,?,?n)????????T????T??T????n2?n1?n?TT??1T?n??T??2?n? ????T??n?n??由 AA?0??i?j?0,(i,j?1,2,?,n)，特别地

?a1j???a2j?T22??j?j?(a1j,a2j,?anj)?a12j?a2j???anj?0 ?????a???nj?

28

(j?1,2,?,n).

所以 aij?0(i,j?1,2,?,n)，故A?0.

A的伴随矩阵为 A，证明 例18（同济P5624）设n阶矩阵

??（1） 若A?0，则A?0.（2）A?An?1?

.

??证：（1）若A?0,则A?0，从而A?0.

???若A?0，由AA?AE且A?0?AA?0，假设A?0，则

A?可逆，从而由AA??0?AA?(A?)?1?0?A?0此与A?0矛

??盾，所以A?0不成立，即A?0.

?（2）由（1）证明知 若A?0，则A?0.已知结论显然成立.

?若A?0，则由AA?AE?AA?A?A?A??nn?1.

例19 设n>2 , n阶非零矩阵A=aij 的行列式 A中的元素aij都

是实数，且与其代数余子式Aij相等.证明A=1. 证明 一方面

??aij?Aij?A??AT?AA??AE?AAT?AE

?AAT?A?A?A?A?0或A?1，

另一方面由 aij＝Aij?A?2aA?a?1j1j?1j?0； j?1j?1nnn2n(由A为非零实矩阵?A至少有一个非零元，不妨设a11?0)

29

综上由

A?A，A?0?A?1.

?T2n例20 （2002年）设n阶方阵A为非零矩阵，若 A?A，则A为可逆矩阵.

证 A为非零矩阵，则A至少有一个非零元，不妨设非零元为 a11 ，

A??AT?Aij?aij(i,j?1,2,?,n)

由行列式展开式的性质知

A?a11A11?a12A12???a1nA1n?A11??a11?????Aa?(a11,a12?a1n)?12??(a11,a12?a1n)?12?

??????????A?1n??a1n?22?a11?a12???a12n?0?A?0?A为可逆矩阵.

例21（1996）设A?E???，E为n阶方阵，?为n维非零列向量，证明：

（1）A?A????1；（2）???1时，An?n是不可逆矩阵. 证

2TTT?为n维非零列向量??T??0的数.

A2?(E???T)(E???T)?E?2??T??(?T?)?T

?A?(?T??1)??T

A2?A?A?(?T??1)??T?A?(?T??1)??T?0???

?是非零列向量??T??0的数,??T非零矩阵??

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??T??1.

A2?A?A=E?（2）假设A是可逆矩阵，由?n?nA?E???T?????T=0 ?此与??T非零矩阵矛盾，故 An?n是不可逆矩阵. 反例 A=??10?0??A2?A，但A?E. ?0?A2?A?A(A?E)?0??A?0orA?E的结论不正确.

再如 A?B???11???1?1???0?AB?0.

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??T??1.

A2?A?A=E?（2）假设A是可逆矩阵，由?n?nA?E???T?????T=0 ?此与??T非零矩阵矛盾，故 An?n是不可逆矩阵. 反例 A=??10?0??A2?A，但A?E. ?0?A2?A?A(A?E)?0??A?0orA?E的结论不正确.

再如 A?B???11???1?1???0?AB?0.

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