2007年高中总复习第一轮数学 第九章 9.6 空间向量及其运算(B)

9.6 空间向量及其运算(B)

巩固·夯实基础 一、自主梳理

1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.

2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是:存在唯一的实数对x、y,使p=xa+yb.

3.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c叫做基向量,(x,y,z)叫做p关于基底{a,b,c}的坐标.

4.把|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a、b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,其性质有:

(1)a⊥b?a·b=0; (2)cos〈a,b〉=

a?b(a、b均为非零向量);

|a||b| (3)a2=a·a=|a|2; (4)|a·b|≤|a|·|b|. 二、点击双基

1.在以下四个式子中正确的有( )

a+b·c a·(b·c) a(b·c) |a·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 解析:根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c)错，|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|，只有a(b·c)正确. 答案:A

2.设向量a、b、c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b} C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}

解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C. 答案:C

3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,向量

AB'、AD'、BD是( )

A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 解析:∵AD'-

AB'=BD'=BD,∴AB'、AD'、BD共面.

答案:C

4.已知a=(1，0)，b=(m,m)(m＞0),则〈a,b〉=____________________. 答案:45°

5.已知四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，

则EF=_______________. 解析:∵EF=

EA+AB+BF,

又EF=EC+CD+DF，

两式相加，得2EF=(EA+EC)+(AB+CD)+(BF+DF). ∵E是AC的中点， 故

EA+EC=0.

BF+DF=0.

同理,

∴2EF=AB+CD=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c. ∴EF=3a+3b-5c.

答案:3a+3b-5c 诱思·实例点拨

【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.

剖析:要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.

解:依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得OA=OB+x1BC+y1BD =

OB+x1(

OC-OB)+y1(

OD-OB)=(1-x1-y1)

OB+x1

OC+y1

OD,取

x=1-x1-y1,y=x1,z=y1,则有OA=xOB+yOC+zOD,且x+y+z=1.

链接·提示

向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明点共(线)面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用.

【例2】 已知空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,用向量法证明BD⊥AC.

剖析:我们选择一组基向量,将目标向量用基向量线性表示,从而将向量的运算转化为三个基向量间的运算.

证明:设AB=b,AC=c,AD=d,且b2=d2,

(b-c)2=(d-c)2, ∴b·c=d·c. 而BD·

AC=(d-b)·c=d·c-b·c=0,

∴BD⊥AC.

讲评:合理选择基向量是利用向量解题的基本技能之一,同学们在学习中应加强这方面的训练.

【例3】在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离. 解:如图，因为∠ACD＝90°,

所以

AC·CD＝0.同理,BA·AC＝0.

因为AB与CD成60°角,

所以〈BA，CD〉＝60°或120°. 因为 所以

BD＝BA＋AC＋CD, BD＝BA＋AC＋CD2

2

2

2

＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD

＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉

??4, ＝???2,?BA,CD??60?,?BA,CD??120?.

所以｜BD｜＝2或2,即B、D间的距离为2或2.

【例4】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：

(1)BD1⊥平面ACB1； (2)BE=

1ED1. 2证明:(1)我们先证明BD1⊥AC.

CD+DD1, ∵BD1=BC+

∴BD1·

AC=AB+BC,

AC=(BC+CD+DD1)·(AB+BC)=BC·BC+CD·AB

=BC·BC-

AB·AB=|BC|2-|AB|2=1-1=0.

BM=1BD=1B1D1，即

22 ∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB1. (2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则

OD1=d1，则上述等2BM=B1D1.对于空间任意一点O，设OB=b,OM=m,OB1=b1,

b1?2md1?2b==e.此即表明，由e向量所对

1?21?2应的点E分线段B1M及D1B各成λ(λ=2)之比，所以点E既在线段B1M(B1M?面ACB1)

式可改写成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记

上又在线段D1B上.所以点E是D1B与平面ACB1的交点.此交点E将D1B分成2与1之比，即D1E∶EB=2∶1.所以BE=链接·聚焦

利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.

1ED1. 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r98f.html